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湖南省郴州市宜章县2023-2024学年八年级下学期月考数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1． 下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A：，含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B：，是最简二次根式，符合题意；
C：，含能开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D：，含能开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 利用最简二次根式的定义进行逐一判断即可求解.
2． 下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
A：不是同类二次根式，不能直接合并，故该选项错误，不符合题意；
B：，故该选项错误，不符合题意；
C：，故该选项错误，不符合题意；
D：，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的加减法则可判断A、B错误，不符合题意；利用二次根式的乘除法可判断C错误，不符合题意，D正确，符合题意.
3． 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为，，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是
【答案】A
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解： 点A，B的坐标分别为，，
OA=OB，
的形状是等腰三角形，
故答案为：A.
【分析】利用两点间的坐标公式求出OA，OB，AB的长度，从而求解.
4． 在一次函数中，的值随值的增大而增大，且，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： 一次函数中，的值随值的增大而增大，
m-2>0，
m>2，
，
n<0，
点在第四象限，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的性质求得m的取值范围，结合mn<0得到n的取值范围，再根据点的坐标与象限的关系即可求解.
5． 袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙、丙、丁四种水稻进行产量稳定实验，各选取了6块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，四种水稻的平均产量及方差如下：
水稻 甲 乙 丙 丁
平均产量x（千克/亩） 1200 1100 1200 1100
方差 186.9 325.3 325.3 186.9
为得到较高产量的水稻，且保证产量稳定，则适合推广的品种为（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：甲的方差=丁的方差<乙的方差=丙的方差，
甲品种与丁品种的产量稳定性最好，
甲的平均产量>丁的平均产量，
甲品种的产量最高，
为得到较高产量的水稻，且保证产量稳定，则适合推广的品种为甲，
故答案为：A.
【分析】根据方差与平均数的意义即可求解.
6． 如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，连接，，G，H分别是，的中点，已知，，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，EF，如图，
，， ，
E，F分别是，的中点，
EF是的中位线，
G，H分别是，的中点，
GH是的中位线，
，
故答案为：D.
【分析】连接AC，EF，利用勾股定理求得AC的值，再利用三角形中位线性质定理即可求解.
7． 已知小唯的家、体育场和图书馆在同一条直线上，一日，他从家出发，先跑步到达体育场，在体育场锻炼一段时间后骑车前往图书馆，在图书馆看了一会书后，再次骑车回家（速度与来图书馆时相同）．如图为小唯离家的距离与离家的时间之间的函数图象．根据图象，有以下4个结论：①体育场在小唯家和图书馆之间；②体育场距离图书馆；③小唯骑车的速度是；④a的值为117.5．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：小唯先从家到体育场，然后到图书馆，
由图象可得，小唯在体育场和图书馆之间，故 ① 错误，不符合题意；
2.5-（-3.5）=6km，
体育场离图书馆的距离为6km，故 ② 正确，符合题意；
km/min，故 ③ 正确，符合题意；
根据图象可得，小唯家距离体育场2.5km，
30-12.5=17.5min，
在图书馆看了一会书后，再次骑车回家（速度与来图书馆时相同），
a=100+17.5=117.5min，故 ④ 正确，符合题意；
综上所述：正确的有3个，
故答案为：C.
【分析】根据图形进行分析并逐一判断即可求解.
8． 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为a，b，c的全等直角三角形拼成如图①所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明：
则下列说法错误的是（　　）
A．①代表 B．②代表
C．③代表正方形 D．④ 代表
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由图可得 ①代表 ，故A正确，不符合题意；
②代表 ，故B正确，不符合题意；
③代表正方形，故C错误，符合题意；
④ 代表 ，故D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据两种不同的方法表示的面积相等验证勾股定理，利用勾股定理结合图形分析即可求解.
9． 在中，，平分交直线于点E，，则的周长为（　　）
A．14或24 B．14或26 C．16或24 D．16或26
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；数学思想
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
平分 ，
AB=AE=5，
当点D在线段AD上时，如图，
，
AD=AE+DE=5+3=8，
的周长为
当点D在线段AD的延长线上时，如图，
，
AD=AE-DE=5-3=2，
的周长为
综上所述：的周长为14或26，
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得到AB=AE=5，进行分两种情况讨论：当点D在线段AD上时；当点D在线段AD的延长线上时；分别求出两种情况的周长，从而求解.
10． 如图①，在四边形中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（　　）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，如图，
由图象可得，点P从点A运动到点B的路程是3，当点P运动到与点P重合时，的面积为
解得AD=7，
，，
四边形ABCE是矩形，
CE=AB=3，BC=AE，
设BC=x，则DE=7-x，CD=8-x，
在Rt△DCE中，
解得x=3，
a=3+3=6，
故答案为：D.
【分析】过点C作CE⊥AD于点E，根据图象点P从点A运动到点B的路程是3，当点P运动到与点P重合时，的面积为进而求得AD=7，证明四边形ABCE是矩形，得到CE=AB=3，BC=AE，设BC=x，则DE=7-x，CD=8-x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程得到x的值，从而求解.
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11． 若式子在实数范围内有意义，则满足条件的的最小整数为　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：在实数范围内有意义，
2x+4>0，
解得：x>-2，
满足条件的的最小整数为 -1，
故答案为：-1.
【分析】根据二次根式和分式 在实数范围内有意义的条件得到2x+4>0，解不等式即可求解.
12． 已知A，B，C是海上的三座小岛，岛A在岛C的北偏东方向上，距离为5海里，岛B到岛A和岛C的距离分别是13海里和12海里，则岛B在岛C的　 　方向上．
【答案】南偏东或北偏西
【知识点】钟面角、方位角；勾股定理的逆定理；数学思想
【解析】【解答】解：根据题意可得：
AC=5，BC=12，AB=13，
如图，当点B在AC下方时，
岛B在岛C的南偏东52°方向上；
如图，当点B在AC上方时，
岛B在岛C的北偏西52°方向上；
综上所述：岛B在岛C的南偏东或北偏西方向上.
故答案为： 南偏东或北偏西 .
【分析】先利用勾股定理逆定理得到再结合方位角画出图形即可求解.
13． 为激发学生爱护植物，保护生态环境的意识，某校组织学生参加植树活动，活动结束后，将八年级（一）班的学生每人植树的情况进行了统计，并将结果绘制成如下统计表：
植树棵数 3 4 5 6
人数 15 10 5
已知此次植树活动中八年级（一）班学生平均每人植树4棵，则这组数据的中位数和众数分别为　 　．
【答案】4和3
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意可得
解得m=20，
经检验m=20是原分式方程的解，
总人数=20+15+10+5=50，
将数据按小到达排序得5，10，15，20，
第25位数字和第26位数字都是4，出现次数最多的是3，
中位数为4，众数为3，
故答案为： 4和3 .
【分析】根据八年级（一）班学生平均每人植树4棵， 求得m的值，再根据中位数和众数的定义进行求解即可.
14． 定义一种新函数：对于给定的一次函数y＝kx+b（k≠0），我们称函数一次函数y＝kx+b（k≠0）的“相关函数”．已知一次函数y＝2x﹣1，若点A（a，3）在该函数的“相关函数”的图像上，则a的值为　 　．
【答案】2或
【知识点】一次函数的性质；数学思想
【解析】【解答】解：当时，2a-1=3，
解得：a=2，符合题意；
当a<0时，-2a+1=3，
解得：a=-1，符合题意；
综上可得：a的值为-1或2，
故答案为：-1或2.
【分析】分，a<0两种情况，根据 “相关函数”的定义以及点A（a，3）在该函数的“相关函数”的图像上，即可得到关于a的方程，解方程得到a的值并取符合题意的a的值，即可求解.
15． 如图，在中，，，点E是上一点，将四边形沿翻折得到四边形，点D正好落在延长线上的点F处．
（1）的长为　 　；
（2）连接，若，则的度数是　 　．
【答案】（1）2
（2）60
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）根据翻折性质可得，
四边形ABCD是平行四边形，
AB=AE=4，
CE=BC-BE=2，
(2)取AE的中点M，连接DM，DE，如图，
由翻折可知，AD=AF，
M是AE的中点，
DM=EM=AM==DE，
是等边三角形，
故答案为：60.
【分析】(1)利用翻折的性质得到再利用平行四边形的性质求得进而得到于是由AB=AE=4，从而求解；
（2）取AE的中点M，连接DM，DE，利用翻折的性质得到AD=AF，利用勾股定理求得DE，AE的值，再证明是等边三角形，进而求解.
三、解答题（共8小题，共75分．解答应写出过程）
16．先化简，再求值：（ ﹣x﹣1） ，其中x＝ .
【答案】解：原式＝（ ﹣ ）
＝
＝ ，
当x＝ +2时，原式＝ ＝1+ .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据异分母分式减法法则以及分式的除法法则对原式进行化简，然后将x的值代入进行计算.
17． 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.我们把每个小正方形的顶点叫做格点，利用网格作图：
（1）已知线段AB，以格点为顶点作一个，使；
（2）以格点为顶点，AC为一边在外侧作一个菱形．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，菱形ADEC即为所求．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；数学思想；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据要求以及网格特点作图即可求解；
（2）根据网格特点以及菱形的定义作图即可求解.
18． 已知一次函数的图象经过点，，且与轴的正半轴交于点A．
（1）求这个一次函数的解析式及点A的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，函数（m为常数）的值都小于的值，请求出m的取值范围．
【答案】（1）解：将点，代入到，
得，解得，
∴，
当时，，
∴点A的坐标为
（2）解：∵，
则当时，，
∵，
∴根据题意得，
∴，
解得
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得k，b的值，得到一次函数的解析式，即可求解；
（2）根据， 得到 则当时，， 结合题意得到关于m的不等式，解不等式即可求解.
19． 如图，在矩形中，是对角线，分别以点B，D为圆心，以大于长为半径作弧，分别交于点M，交于点N，连接交BD于点O，连接，． 已知，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：由题意可知，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（2）解：由（1）可知四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴设，则，
由勾股定理可得：，即：
，
解得：，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，， 进而利用HL证明，根据三角形全等的性质可得， 进一步得到， 结合， 利用平行四边形的判定定理即可求解；
（2）先证明 四边形是菱形， 得到， 结合已知，设，则，利用勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解.
20． 新华学校团支部发起了以“完善自我，服务社会：关爱弱势，大写人生”为主题的志愿活动，鼓励和倡导大家在暑假期间积极参加志愿活动，开学后该校团支部抽取了部分学生进行调查，并对他们参加志愿活动的次数进行了统计，根据调查情况绘制成的统计图表如下：
被抽取学生参加志愿活动的次数统计表：
次数 1 2 3 4 5 6
人数 1 2 a 6 b 2
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）这组数据的中位数和众数各是多少？
（3）若该校初二年级共有700名学生，请估计初二年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数；若要提高学生们主动参加志愿活动的意识，请你帮忙提出两条建议．
【答案】（1）4；5
（2）解：这组数据的中，4出现的次数最多，故众数是4，
20个数中按从小到大排列，第10个和第11个都是4，故中位数是4，
（3）解：700×＝455（名）．
答：初二年级中参加志愿活动在4次及以上的学生约有455名，
建议：①学校可以多组织一些志愿服务讲座和分享具有志愿精神的事迹；
②班级可以多开展一些以“志愿服务”为主题的班会，和同学们进行心得分享（答案不唯一，合理即可）．
【知识点】用样本估计总体；利用统计图表描述数据；中位数；众数
【解析】【解题】（1）总人数为人，
人，a=20-1-2-6-5-2=4人，
故a=4，b=5，
【分析】（1）先求出总人数，再根据圆心角的度数求得b的值，进而求得a的值，从而求解；
（2）根据中位数，众数的定义即可求解；
（3）根据样本估计总体求解即可，并提出合理建议即可.
21． 某陕北特产店铺将红枣和小米这两种特产从线下销售转为线上销售，此前网店运营了一段时间，根据此阶段销售经验，下一个季度该网店预计可以销售该种红枣和小米共．已知该网店销售红枣的利润为20元，销售小米的利润为8元．设该网店下一个季度销售红枣的质量为．
（1）下表为该网店销售红枣的质量与销售红枣与小米所获利润的关系，根据题意填表：
销售红枣的质量 100 500 1000 1500 …
销售红枣的利润/元 2000 　 20000 　 …
销售小米的利润/元 15200 　 8000 　 …
（2）设该网店下一个季度销售红枣的利润为元，销售小米的利润为元，分别求出，关于的函数解析式；
（3）若该种红枣的销售量不低于，则该网店下一个季度销售该种红枣和小米至少能够获得利润多少元？
【答案】（1）解：∵销售红枣的利润为20元，
∴销售红枣的质量为时，利润为（元）；
销售红枣的质量为时，利润为（元）；
∵销售红枣的利润为8元，
∴销售红枣的质量为时，利润为（元）；
销售红枣的质量为时，利润为（元）；
填表如下：
销售红枣的质量 100 500 1000 1500 …
销售红枣的利润/元 2000 10000 20000 30000 …
销售小米的利润/元 15200 4000 8000 12000 …
（2）解：已知红枣的销售量为，则小米的销售量为，
∵该网店销售红枣的利润为20元/，
∴下一个季度销售红枣的利润为，
∵销售小米的利润为8元/，
∴下一个季度销售小米的利润为
（3）解：由该种红枣的销售量不低于可得，，
设该网店下一个季度销售该种红枣和小米所获得的总利润为y元，
则，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y最小，最小值为，
∴该网店下一个季度销售该种红枣和小米至少能够获得利润23200元．
【知识点】用表格表示变量间的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润=质量乘以单价即可求解；
（2） 已知红枣的销售量为，则小米的销售量为， 再根据利润=质量乘以单价即可求解；
（3） 设该网店下一个季度销售该种红枣和小米所获得的总利润为y元， 然后根据，利用一次函数的性质即可求解.
22． 如图，点E是正方形边BC上一点，以为边向右侧构造正方形，连接，．
（1）求证：
①点G在的延长线上；
②；
（2）连接交于点H，若，求的长．
【答案】（1）证明：①∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点G在的延长线上；
② 如解图，作于点M，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
由① 知，
∴，
∴，
∴
（2）解：如图，连接，设，
∵，
∴，，
则，由（1）可知，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1） ① 利用正方形的性质证明得到，，， 再根据SAS证明，进而得到，， 推出， 从而求解； ② 作于点M，利先用AAS证明，得到，， 于是有， 利用勾股定理求得CF的值，再根据全等三角形的性质即可求解；
（2） 连接，设， 先求的，， 进一步得到， 再证明， 得到， 最后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可求解.
23． 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点C在x轴正半轴上，OC＝4，
∴C（4，0），
由B（0，5）设直线BC解析式为y＝mx+5，
将C（4，0）代入得：0＝4m+5，
解得m＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5
（2）解：过P作PH⊥AC于H，如图：
设P（n，﹣n+5），则PH＝﹣n+5，
将B（0，5）代入y＝x+b得：
b＝5，
∴y＝x+5，
在y＝x+5中，令y＝0得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AC＝6，
∴S△ABC＝AC OB＝×6×5＝15，S△APC＝AC PH＝×6×（﹣n+5）＝﹣n+15，
∵△ABP的面积等于△AOB的面积，
∴15﹣（﹣n+15）＝×2×5，
解得n＝，
∴P；
（3）解：存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
设直线AP解析式为y＝kx+t，将A（﹣2，0），P代入得：
，
解得，
∴直线AP解析式为y＝x+2，
设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0），
①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，如图：
∴，
解得，
∴D（1，0）；
②若EB，DC为对角线，同理可得：
，
解得，
∴D（﹣11，0）；
③若EC，DB为对角线，
∴，
解得，
∴D（7，0），
综上所述，D的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据点C在x轴正半轴上，OC=4，求得点C的坐标，利用待定系数法求得m的值，即可求解；
（2） 过P作PH⊥AC于H， 设P（n，﹣n+5），则PH＝﹣n+5， 将点B坐标代入求得b的值，得到一次函数的表达式， 在y＝x+5中，令y＝0得x＝﹣2， 得到点A的坐标，进而得到AC的值，利用三角形的面积公式得到 △ABP的面积等于△AOB的面积， 得到 15﹣（﹣n+15）＝×2×5， 解方程即可求解；
（3） 设直线AP解析式为y＝kx+t， 利用待定系数法求得 直线AP解析式为y＝x+2， 设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0）， 分两种情况求解： ①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合； ②若EB，DC为对角线； ③若EC，DB为对角线； 得到关于p，q的方程组，解方程组即可求解即可求解.
1 / 1湖南省郴州市宜章县2023-2024学年八年级下学期月考数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1． 下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2． 下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3． 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为，，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是
4． 在一次函数中，的值随值的增大而增大，且，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5． 袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙、丙、丁四种水稻进行产量稳定实验，各选取了6块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，四种水稻的平均产量及方差如下：
水稻 甲 乙 丙 丁
平均产量x（千克/亩） 1200 1100 1200 1100
方差 186.9 325.3 325.3 186.9
为得到较高产量的水稻，且保证产量稳定，则适合推广的品种为（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6． 如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，连接，，G，H分别是，的中点，已知，，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
7． 已知小唯的家、体育场和图书馆在同一条直线上，一日，他从家出发，先跑步到达体育场，在体育场锻炼一段时间后骑车前往图书馆，在图书馆看了一会书后，再次骑车回家（速度与来图书馆时相同）．如图为小唯离家的距离与离家的时间之间的函数图象．根据图象，有以下4个结论：①体育场在小唯家和图书馆之间；②体育场距离图书馆；③小唯骑车的速度是；④a的值为117.5．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8． 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为a，b，c的全等直角三角形拼成如图①所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明：
则下列说法错误的是（　　）
A．①代表 B．②代表
C．③代表正方形 D．④ 代表
9． 在中，，平分交直线于点E，，则的周长为（　　）
A．14或24 B．14或26 C．16或24 D．16或26
10． 如图①，在四边形中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（　　）
A． B．4 C．5 D．6
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11． 若式子在实数范围内有意义，则满足条件的的最小整数为　 　．
12． 已知A，B，C是海上的三座小岛，岛A在岛C的北偏东方向上，距离为5海里，岛B到岛A和岛C的距离分别是13海里和12海里，则岛B在岛C的　 　方向上．
13． 为激发学生爱护植物，保护生态环境的意识，某校组织学生参加植树活动，活动结束后，将八年级（一）班的学生每人植树的情况进行了统计，并将结果绘制成如下统计表：
植树棵数 3 4 5 6
人数 15 10 5
已知此次植树活动中八年级（一）班学生平均每人植树4棵，则这组数据的中位数和众数分别为　 　．
14． 定义一种新函数：对于给定的一次函数y＝kx+b（k≠0），我们称函数一次函数y＝kx+b（k≠0）的“相关函数”．已知一次函数y＝2x﹣1，若点A（a，3）在该函数的“相关函数”的图像上，则a的值为　 　．
15． 如图，在中，，，点E是上一点，将四边形沿翻折得到四边形，点D正好落在延长线上的点F处．
（1）的长为　 　；
（2）连接，若，则的度数是　 　．
三、解答题（共8小题，共75分．解答应写出过程）
16．先化简，再求值：（ ﹣x﹣1） ，其中x＝ .
17． 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.我们把每个小正方形的顶点叫做格点，利用网格作图：
（1）已知线段AB，以格点为顶点作一个，使；
（2）以格点为顶点，AC为一边在外侧作一个菱形．
18． 已知一次函数的图象经过点，，且与轴的正半轴交于点A．
（1）求这个一次函数的解析式及点A的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，函数（m为常数）的值都小于的值，请求出m的取值范围．
19． 如图，在矩形中，是对角线，分别以点B，D为圆心，以大于长为半径作弧，分别交于点M，交于点N，连接交BD于点O，连接，． 已知，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
20． 新华学校团支部发起了以“完善自我，服务社会：关爱弱势，大写人生”为主题的志愿活动，鼓励和倡导大家在暑假期间积极参加志愿活动，开学后该校团支部抽取了部分学生进行调查，并对他们参加志愿活动的次数进行了统计，根据调查情况绘制成的统计图表如下：
被抽取学生参加志愿活动的次数统计表：
次数 1 2 3 4 5 6
人数 1 2 a 6 b 2
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）这组数据的中位数和众数各是多少？
（3）若该校初二年级共有700名学生，请估计初二年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数；若要提高学生们主动参加志愿活动的意识，请你帮忙提出两条建议．
21． 某陕北特产店铺将红枣和小米这两种特产从线下销售转为线上销售，此前网店运营了一段时间，根据此阶段销售经验，下一个季度该网店预计可以销售该种红枣和小米共．已知该网店销售红枣的利润为20元，销售小米的利润为8元．设该网店下一个季度销售红枣的质量为．
（1）下表为该网店销售红枣的质量与销售红枣与小米所获利润的关系，根据题意填表：
销售红枣的质量 100 500 1000 1500 …
销售红枣的利润/元 2000 　 20000 　 …
销售小米的利润/元 15200 　 8000 　 …
（2）设该网店下一个季度销售红枣的利润为元，销售小米的利润为元，分别求出，关于的函数解析式；
（3）若该种红枣的销售量不低于，则该网店下一个季度销售该种红枣和小米至少能够获得利润多少元？
22． 如图，点E是正方形边BC上一点，以为边向右侧构造正方形，连接，．
（1）求证：
①点G在的延长线上；
②；
（2）连接交于点H，若，求的长．
23． 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A：，含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B：，是最简二次根式，符合题意；
C：，含能开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D：，含能开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 利用最简二次根式的定义进行逐一判断即可求解.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
A：不是同类二次根式，不能直接合并，故该选项错误，不符合题意；
B：，故该选项错误，不符合题意；
C：，故该选项错误，不符合题意；
D：，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的加减法则可判断A、B错误，不符合题意；利用二次根式的乘除法可判断C错误，不符合题意，D正确，符合题意.
3．【答案】A
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解： 点A，B的坐标分别为，，
OA=OB，
的形状是等腰三角形，
故答案为：A.
【分析】利用两点间的坐标公式求出OA，OB，AB的长度，从而求解.
4．【答案】D
【知识点】一次函数的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： 一次函数中，的值随值的增大而增大，
m-2>0，
m>2，
，
n<0，
点在第四象限，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的性质求得m的取值范围，结合mn<0得到n的取值范围，再根据点的坐标与象限的关系即可求解.
5．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：甲的方差=丁的方差<乙的方差=丙的方差，
甲品种与丁品种的产量稳定性最好，
甲的平均产量>丁的平均产量，
甲品种的产量最高，
为得到较高产量的水稻，且保证产量稳定，则适合推广的品种为甲，
故答案为：A.
【分析】根据方差与平均数的意义即可求解.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，EF，如图，
，， ，
E，F分别是，的中点，
EF是的中位线，
G，H分别是，的中点，
GH是的中位线，
，
故答案为：D.
【分析】连接AC，EF，利用勾股定理求得AC的值，再利用三角形中位线性质定理即可求解.
7．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：小唯先从家到体育场，然后到图书馆，
由图象可得，小唯在体育场和图书馆之间，故 ① 错误，不符合题意；
2.5-（-3.5）=6km，
体育场离图书馆的距离为6km，故 ② 正确，符合题意；
km/min，故 ③ 正确，符合题意；
根据图象可得，小唯家距离体育场2.5km，
30-12.5=17.5min，
在图书馆看了一会书后，再次骑车回家（速度与来图书馆时相同），
a=100+17.5=117.5min，故 ④ 正确，符合题意；
综上所述：正确的有3个，
故答案为：C.
【分析】根据图形进行分析并逐一判断即可求解.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由图可得 ①代表 ，故A正确，不符合题意；
②代表 ，故B正确，不符合题意；
③代表正方形，故C错误，符合题意；
④ 代表 ，故D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据两种不同的方法表示的面积相等验证勾股定理，利用勾股定理结合图形分析即可求解.
9．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；数学思想
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
平分 ，
AB=AE=5，
当点D在线段AD上时，如图，
，
AD=AE+DE=5+3=8，
的周长为
当点D在线段AD的延长线上时，如图，
，
AD=AE-DE=5-3=2，
的周长为
综上所述：的周长为14或26，
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得到AB=AE=5，进行分两种情况讨论：当点D在线段AD上时；当点D在线段AD的延长线上时；分别求出两种情况的周长，从而求解.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，如图，
由图象可得，点P从点A运动到点B的路程是3，当点P运动到与点P重合时，的面积为
解得AD=7，
，，
四边形ABCE是矩形，
CE=AB=3，BC=AE，
设BC=x，则DE=7-x，CD=8-x，
在Rt△DCE中，
解得x=3，
a=3+3=6，
故答案为：D.
【分析】过点C作CE⊥AD于点E，根据图象点P从点A运动到点B的路程是3，当点P运动到与点P重合时，的面积为进而求得AD=7，证明四边形ABCE是矩形，得到CE=AB=3，BC=AE，设BC=x，则DE=7-x，CD=8-x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程得到x的值，从而求解.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：在实数范围内有意义，
2x+4>0，
解得：x>-2，
满足条件的的最小整数为 -1，
故答案为：-1.
【分析】根据二次根式和分式 在实数范围内有意义的条件得到2x+4>0，解不等式即可求解.
12．【答案】南偏东或北偏西
【知识点】钟面角、方位角；勾股定理的逆定理；数学思想
【解析】【解答】解：根据题意可得：
AC=5，BC=12，AB=13，
如图，当点B在AC下方时，
岛B在岛C的南偏东52°方向上；
如图，当点B在AC上方时，
岛B在岛C的北偏西52°方向上；
综上所述：岛B在岛C的南偏东或北偏西方向上.
故答案为： 南偏东或北偏西 .
【分析】先利用勾股定理逆定理得到再结合方位角画出图形即可求解.
13．【答案】4和3
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意可得
解得m=20，
经检验m=20是原分式方程的解，
总人数=20+15+10+5=50，
将数据按小到达排序得5，10，15，20，
第25位数字和第26位数字都是4，出现次数最多的是3，
中位数为4，众数为3，
故答案为： 4和3 .
【分析】根据八年级（一）班学生平均每人植树4棵， 求得m的值，再根据中位数和众数的定义进行求解即可.
14．【答案】2或
【知识点】一次函数的性质；数学思想
【解析】【解答】解：当时，2a-1=3，
解得：a=2，符合题意；
当a<0时，-2a+1=3，
解得：a=-1，符合题意；
综上可得：a的值为-1或2，
故答案为：-1或2.
【分析】分，a<0两种情况，根据 “相关函数”的定义以及点A（a，3）在该函数的“相关函数”的图像上，即可得到关于a的方程，解方程得到a的值并取符合题意的a的值，即可求解.
15．【答案】（1）2
（2）60
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）根据翻折性质可得，
四边形ABCD是平行四边形，
AB=AE=4，
CE=BC-BE=2，
(2)取AE的中点M，连接DM，DE，如图，
由翻折可知，AD=AF，
M是AE的中点，
DM=EM=AM==DE，
是等边三角形，
故答案为：60.
【分析】(1)利用翻折的性质得到再利用平行四边形的性质求得进而得到于是由AB=AE=4，从而求解；
（2）取AE的中点M，连接DM，DE，利用翻折的性质得到AD=AF，利用勾股定理求得DE，AE的值，再证明是等边三角形，进而求解.
16．【答案】解：原式＝（ ﹣ ）
＝
＝ ，
当x＝ +2时，原式＝ ＝1+ .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据异分母分式减法法则以及分式的除法法则对原式进行化简，然后将x的值代入进行计算.
17．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，菱形ADEC即为所求．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；数学思想；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据要求以及网格特点作图即可求解；
（2）根据网格特点以及菱形的定义作图即可求解.
18．【答案】（1）解：将点，代入到，
得，解得，
∴，
当时，，
∴点A的坐标为
（2）解：∵，
则当时，，
∵，
∴根据题意得，
∴，
解得
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得k，b的值，得到一次函数的解析式，即可求解；
（2）根据， 得到 则当时，， 结合题意得到关于m的不等式，解不等式即可求解.
19．【答案】（1）证明：由题意可知，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（2）解：由（1）可知四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴设，则，
由勾股定理可得：，即：
，
解得：，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，， 进而利用HL证明，根据三角形全等的性质可得， 进一步得到， 结合， 利用平行四边形的判定定理即可求解；
（2）先证明 四边形是菱形， 得到， 结合已知，设，则，利用勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解.
20．【答案】（1）4；5
（2）解：这组数据的中，4出现的次数最多，故众数是4，
20个数中按从小到大排列，第10个和第11个都是4，故中位数是4，
（3）解：700×＝455（名）．
答：初二年级中参加志愿活动在4次及以上的学生约有455名，
建议：①学校可以多组织一些志愿服务讲座和分享具有志愿精神的事迹；
②班级可以多开展一些以“志愿服务”为主题的班会，和同学们进行心得分享（答案不唯一，合理即可）．
【知识点】用样本估计总体；利用统计图表描述数据；中位数；众数
【解析】【解题】（1）总人数为人，
人，a=20-1-2-6-5-2=4人，
故a=4，b=5，
【分析】（1）先求出总人数，再根据圆心角的度数求得b的值，进而求得a的值，从而求解；
（2）根据中位数，众数的定义即可求解；
（3）根据样本估计总体求解即可，并提出合理建议即可.
21．【答案】（1）解：∵销售红枣的利润为20元，
∴销售红枣的质量为时，利润为（元）；
销售红枣的质量为时，利润为（元）；
∵销售红枣的利润为8元，
∴销售红枣的质量为时，利润为（元）；
销售红枣的质量为时，利润为（元）；
填表如下：
销售红枣的质量 100 500 1000 1500 …
销售红枣的利润/元 2000 10000 20000 30000 …
销售小米的利润/元 15200 4000 8000 12000 …
（2）解：已知红枣的销售量为，则小米的销售量为，
∵该网店销售红枣的利润为20元/，
∴下一个季度销售红枣的利润为，
∵销售小米的利润为8元/，
∴下一个季度销售小米的利润为
（3）解：由该种红枣的销售量不低于可得，，
设该网店下一个季度销售该种红枣和小米所获得的总利润为y元，
则，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y最小，最小值为，
∴该网店下一个季度销售该种红枣和小米至少能够获得利润23200元．
【知识点】用表格表示变量间的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润=质量乘以单价即可求解；
（2） 已知红枣的销售量为，则小米的销售量为， 再根据利润=质量乘以单价即可求解；
（3） 设该网店下一个季度销售该种红枣和小米所获得的总利润为y元， 然后根据，利用一次函数的性质即可求解.
22．【答案】（1）证明：①∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点G在的延长线上；
② 如解图，作于点M，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
由① 知，
∴，
∴，
∴
（2）解：如图，连接，设，
∵，
∴，，
则，由（1）可知，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1） ① 利用正方形的性质证明得到，，， 再根据SAS证明，进而得到，， 推出， 从而求解； ② 作于点M，利先用AAS证明，得到，， 于是有， 利用勾股定理求得CF的值，再根据全等三角形的性质即可求解；
（2） 连接，设， 先求的，， 进一步得到， 再证明， 得到， 最后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可求解.
23．【答案】（1）解：∵点C在x轴正半轴上，OC＝4，
∴C（4，0），
由B（0，5）设直线BC解析式为y＝mx+5，
将C（4，0）代入得：0＝4m+5，
解得m＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5
（2）解：过P作PH⊥AC于H，如图：
设P（n，﹣n+5），则PH＝﹣n+5，
将B（0，5）代入y＝x+b得：
b＝5，
∴y＝x+5，
在y＝x+5中，令y＝0得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AC＝6，
∴S△ABC＝AC OB＝×6×5＝15，S△APC＝AC PH＝×6×（﹣n+5）＝﹣n+15，
∵△ABP的面积等于△AOB的面积，
∴15﹣（﹣n+15）＝×2×5，
解得n＝，
∴P；
（3）解：存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
设直线AP解析式为y＝kx+t，将A（﹣2，0），P代入得：
，
解得，
∴直线AP解析式为y＝x+2，
设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0），
①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，如图：
∴，
解得，
∴D（1，0）；
②若EB，DC为对角线，同理可得：
，
解得，
∴D（﹣11，0）；
③若EC，DB为对角线，
∴，
解得，
∴D（7，0），
综上所述，D的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据点C在x轴正半轴上，OC=4，求得点C的坐标，利用待定系数法求得m的值，即可求解；
（2） 过P作PH⊥AC于H， 设P（n，﹣n+5），则PH＝﹣n+5， 将点B坐标代入求得b的值，得到一次函数的表达式， 在y＝x+5中，令y＝0得x＝﹣2， 得到点A的坐标，进而得到AC的值，利用三角形的面积公式得到 △ABP的面积等于△AOB的面积， 得到 15﹣（﹣n+15）＝×2×5， 解方程即可求解；
（3） 设直线AP解析式为y＝kx+t， 利用待定系数法求得 直线AP解析式为y＝x+2， 设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0）， 分两种情况求解： ①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合； ②若EB，DC为对角线； ③若EC，DB为对角线； 得到关于p，q的方程组，解方程组即可求解即可求解.
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