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2025-2026学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高二（下）月考
数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
2.对四组数据进行统计，获得如图散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则( )
A. B. C. D.
3.的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量，设随机变量，则( )
A. B. C. D.
5.已知在上满足，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙两所学校从个研学基地中各自选择个进行研学活动，则这两所学校选择的研学基地中恰好有个相同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.若函数存在极大值，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，记，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知定义在上的函数满足，当时，，，则( )
A. B. 为奇函数
C. 在上单调递减 D. 当时，
10.已知函数，则( )
A. 的极大值为 B. 对，
C. 的单调递增区间为 D. 当时，
11.设随机事件，，，，则( )
A. 若与独立，且，，则
B. 若与互斥，且，，则
C. 若，则与独立
D. 若，则与互斥
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为，则的系数为______．
13.甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本次平局已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也互不影响，则次投篮甲至少获胜次的概率为 ．
14.若函数有两个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校开设了科学、人文、艺体三类校本选修课程，每类课程开设的课程门数与学分设定如下表：
科学类 人文类 艺体类
课程门数
每门课程学分
学校要求学生从这门课程中选修门，假设学生选修每门课程的机会均等．
记事件为“学生甲选修的门课程中有且仅有门是科学类课程”，事件为“学生甲选修的门课程的总学分为分”，试判断与是否独立；
设学生甲选修的门课程的总学分为，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
已知是定义在上的奇函数，且当时，．
求函数在上的解析式；
若函数，，记函数的最小值，求的解析式．
17.本小题分
近年来，为响应节能减排号召，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，以纯电动汽车为主力的新能源汽车逐渐成为中国汽车的新名片据统计，年至年全国新能源汽车保有量百万辆如下：
年份
年份代码
保有量
并计算得，，．
根据上表数据，求出关于的回归直线方程；
根据往年的汽车销售数据可知今年汽车保有量的增量为百万辆，设新能源汽车保有量的年增量的估计值与今年汽车保有量的增量的比为，用作为今年购车的客户购买新能源汽车概率的估计值．
记某汽车销售公司今年位客户中，恰有位购买新能源汽车的概率为，求为何值时，有最大值．
附：．
18.本小题分
设函数．
若直线是曲线的切线，求实数的值；
讨论的单调性；
当时，记函数，若，证明：．
19.本小题分
信息熵是信息论中的一个重要概念，用来刻画一些随机事件的不确定程度设随机变量所有可能的取值为，，，，且，定义的信息熵．
若随机变量的分布列如下表所示求的值；
若，求的最大值及对应的，的值；
若，随机变量所有可能的取值为，，，，，试判断与的大小关系．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】由题意知，，
，
，
因为，所以与不独立．
的取值范围是，
，，
，，，
从而的分布列为
．
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】．
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
证明见解析．
19.【答案】；
时，的最大值为；
．
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