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2025-2026学年浙江省丽水市缙云中学等四校高一（下）月考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.某地区运动会在甲、乙、丙三地共同举办，其中甲、乙、丙三地分别承担，，个不同的比赛项目，现采用分层随机抽样的方式抽取个项目检查赛前准备情况，则丙地应抽取比赛项目的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
5.一圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6.若直线不平行于平面，则下列结论成立的是( )
A. 内的所有直线都与异面 B. 内不存在与平行的直线
C. 内的所有直线都与相交 D. 直线与平面有公共点
7.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，若的面积为，则( )
A. B. C. D.
8.如图，边长都为且互相垂直的正方形和的对角线，上分别有一动点，，满足到点的距离等于到点的距离则四面体体积的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.下列选项中，正确的是( )
A. 若向量，满足，则或
B. 若非零向量与相等，则，重合
C. 在平行四边形中，
D. 若与是共线向量，且，则
11.在四边形中，，，，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的有( )
A. B.
C. 平面平面 D. 平面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数若对任意实数都有，则的最小值为 ．
13.一艘船从河岸边出发向河对岸航行已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为 ．
14.已知复数，满足，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足．
求；
若是关于的方程的一个复数根，求的值．
16.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和对称中心；
求在区间内的单调递增区间．
17.本小题分
已知的内角、、所对的边分别为，，，设向量，，且．
求角；
若，的面积为，为边的中点，求的长．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，，为上一点，．
证明：；
求证：平面平面；
若，求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，点，分别是棱，上的动点不含端点．
若平面，
求的长度；
求直线与平面所成角的正弦值；
若三棱锥的内切球半径，求长度的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】；
．
16.【答案】最小正周期，对称中心为 和
17.【答案】
18.【答案】证明：已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点，
则，
在和中，，则三个内角均对应相等，
故∽，
相似比为，
所以，即，
因为，则，
由平行线分线段成比例定理可得，
又因为，分别为，的中点，
所以，
所以 证明：在矩形中，，
所以，
则，
，
则，
因为，
所以，即，
因为底面，底面，故，
因为，且，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面
19.【答案】解：由题意在三棱锥中，，，，
点，分别是棱，上的动点不含端点．
由平面，因为平面，可得，
所以，
因为平面，可得，
又因为且，所以，且．
由知：，因为，所以为的中点，
所以到平面的距离等于点到平面的距离，
又由平面，所以到平面的距离为，
所以，
设与平面所成的角为，
则；
因为，设点在平面的射影为，
则点在的角平分线上，过点作，垂足为，连接，
因为平面，
所以 ，又，
所以平面，所以，
所以，
所以，
所以，
，
则，
所以，
设，，可得，
在中，由余弦定理得，
同理可得：，，
设，可得，
代入整理得，
由，
又由，
所以，
可得，
将其代入，
整理得，即
又由，
因为，所以，
即，解得或舍去，
当且仅当时，等号成立，
此时取得最小值，可得为等边三角形，即的最小值．

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