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2025-2026学年安徽省宿州市皖北十三校高二（下）段考
数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知件产品中有件次品，件正品，检验员从中随机抽取件进行检测，则取到的正品数为的概率为( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
5.某能源汽车制造公司近年的利润情况如下表所示：
第年
利润亿元
已知变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为：，则的值为( )
A. B. C. D.
6.现将红楼梦、水浒传、三国演义、西游记、史记本不同的书籍分发给甲乙丙人，每人至少分得本，已知西游记分发给了甲，则不同的分发方式种数是( )
A. B. C. D.
7.已知事件，相互独立，，若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有( )
A. B. C. D.
10.下列关于概率统计的说法，正确的是( )
A. 若随机变量，则，
B. 若随机变量；，则
C. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
D. 设关于分类变量与的独立性检验的零假设为：与无关，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为与无关．
11.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，设质点位于点的概率为则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 若出发点改变，其余不变，则不变 D. 若出发点改变，其余不变，则不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用，，，，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为 ．
13.曲线在点处的切线方程为 ．
14.在的展开式中，系数最大的项是第 项
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在二项式的展开式中前项的二项式系数和为，
求展开式中所有项的二项式系数的和．
求含的项的系数．
16.本小题分
甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为．
当时，求甲第二局获胜的概率．
设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望．
17.本小题分
一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的组观测数据如下表：
温度
产卵数个
经计算得，，线性回归模型的残差平方和，，其中，分别为观测数据中的温度和产卵数，，，，，，．
Ⅰ若用线性回归模型，求关于的回归方程精确到；
Ⅱ若用非线性回归模型求得关于的回归方程为，且决定系数．
(ⅰ)试与Ⅰ中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好．
(ⅱ)用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数结果取整数．
18.本小题分
“你好我是，很高兴见到你我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，大模型正在改变着我们的工作和生活的方式为了了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了人，得到如下数据：
单位：人
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上
本科以下
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关？
某校组织“模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有道题目，甲、乙同时依次作答，道试题作答完毕后比赛结束规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得分；若一人答对另一人答错，答对的得分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为．
求比赛结束后甲获胜的概率；
求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对道题的概率．
附：，其中．
19.本小题分
已知函数．
若恒成立，求实数的值；
当时，方程有两个不同的根，分别为，
求实数的取值范围；
求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】；
．
16.【答案】 的分布列为：
期望为
17.【答案】 ⅠⅠ；
18.【答案】认为的使用情况与学历无关；
；
．
19.【答案】 ；证明：由题意可知：，
即且，
构造函数：，
则，
所以在上单调递减，故，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
因为在上单调递增，，，
所以，得
要证，
即证，
即，
即证，
因为，故只须证明：，
因为成立．
所以原不等式成立
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