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2025-2026学年河北省保定市高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知二项式的展开式共有项，则( )
A. B. C. D.
2.某企业为河北农产品设计包装，有两类方式：方式一是使用现成包装模板，共种选择；方式二是自主定制，分两步完成，第一步先从种材质中选种，第二步再从种配色方案中选种不同的包装选择种数为( )
A. B. C. D.
3.某非遗工坊推出款不同的榫卯结构文创盲盒，其中款为故宫联名隐藏款某游客一次性购买个盲盒，则买到的盲盒中至少有个故宫联名隐藏款的购买种数为( )
A. B. C. D.
4.若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为( )
A. B. C. D.
5.将棵相同的小多肉种进个不同的花盆，要求每个花盆至少种棵小多肉，则总的种法数为( )
A. B. C. D.
6.展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
7.某项目组有名算法工程师含工程师甲和名实习生，共名成员现从中随机选取人组成项目攻坚小组，参与大模型优化任务，则在攻坚小组中既有工程师又有实习生的条件下，工程师甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
8.某六角星徽章由，，，，，六个平行四边形区域构成，现有种颜色可供这六个区域进行涂色，要求每个区域只能涂种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设离散型随机变量的分布列如下表所示，其中，则( )
A. B. C. D.
10.若展开式中所有二项式系数之和为，且，则( )
A.
B.
C. 能被整除
D. 除以所得的余数为
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A.
B. ，存在极值
C. 存在，使得恒成立
D. 若在上存在单调递减区间，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中第 项的二项式系数最大，展开式中含的项的系数为 ．
13.将名协警分配到个交通岗亭执勤，每个岗亭至少分配名协警，每名协警只去个岗亭，则分配方案共有 种
14.设正整数，其中，或，记若且，则满足题意的共有 个
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
抛掷一枚质地均匀的骰子次，记向上的点数大于的次数为．
求的分布列；
记，证明服从两点分布，并求的分布列．
16.本小题分
已知函数．
若，求的单调区间；
若在上恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
用个，个，个可以组成多少个不同的九位数？
由数字，，，，，，可以组成多少个没有重复数字，并且比大的偶数？
甲、乙、丙、丁、戊等名同学站成一排拍照，其中甲、乙必须相邻，且丁在戊的左边、在丙的右边，其中丁、戊、丙可以不相邻，则共有多少种站法？
18.本小题分
某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花艺作品占，现代花艺作品占设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因意境独特仍被客户采纳设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因创意新颖仍被客户采纳现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品．
求这单花艺作品达到设计标准的概率；
若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；结果用分数表示
求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率．
19.本小题分
设函数．
求在上的值域．
设关于的方程有两个不相等的根，．
证明：．
证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】

13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】的分布列如下：
记，则的可能取值为：，；，，
，
因为的取值只有和两种可能，所以服从两点分布，
的分布列如下：

16.【答案】单调递减区间为，单调递增区间为
17.【答案】种 个 种
18.【答案】
19.【答案】 证明：由，得，
令，求导得，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，，，
所以存在唯一的，使得，
当，，所以在上单调递增，
当，，所以在上单调递减，
当时，，当时，，
因为关于的方程有两个不相等的根，，
所以，
设，得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，所以，所以，当且仅当时取到等号，
因为，所以，解得．
可得在上单调递增，
所以，
所以，所以．
因为，，所以曲线在处的切线方程为，
因为，，所以曲线在处的切线方程为．
由得，所以，
设，则，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
且当时，，，
所以当时，，即，所以在上单调递增，
当时，，即，所以在上单调递减，
所以，所以，
设直线与两条切线的交点横坐标为，，
由，解得，
由，解得，
所以，
所以
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