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2025-2026学年福建省莆田市第五中学九华分校高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数为虚数单位的共轭复数在复平面上对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.在中，，则( )
A. B. C. D.
4.在中，为的中点，为上一点，则( )
A. B. C. D.
5.如图，是的斜二测直观图，其中为正三角形，，则的面积是( )
A.
B.
C.
D.
6.下列命题中，正确的是( )
A. 若直线与平面平行，则平行于内的任何直线
B. 若两直线，都与平面平行，则
C. 若直线平行于平面，直线在平面内，则
D. 若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行
7.如图，、是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于点北偏东、点南偏东的处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于点正西方向且与点相距海里的处的救援船立即前往营救，其航行速度为海里小时则、两点间的距离为( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
8.在中，角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的个数为( )
若，则一定为等腰三角形
若，则一定为锐角三角形
若，，则面积的最大值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是( )
A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
10.下列关于空间几何体的论述，不正确的是( )
A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C. 连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D. 圆台的轴截面不可能为直角梯形
11.已知向量，则下列结论正确的是( )
A.
B. 与同向的单位向量为
C. 在上的投影向量为
D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，为相互垂直的单位向量，则 ．
13.已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积为，则该圆锥的体积为 ．
14.如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，点是上一点，且平面，则四棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数是实数，是虚数单位．
求复数；
在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知向量，．
当时，求的值；
当，，求向量与的夹角．
17.本小题分
如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成已知球的半径是，圆柱筒的高是．
求这种“浮球”的体积；
现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆元，共需花费多少费用？
18.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，已知．
Ⅰ求角；
Ⅱ若的面积，，求边的大小．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．
判断直线与的位置关系直接写答案，不用证明
求证：平面；
求三棱锥的体积．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：，，
，
，
，
，解得或．
，，
则，
，
，解得，
，，
，
，
，
．
17.【答案】； ．
18.【答案】解：由正弦定理得，，
则，
，
在中，，得，
，，
，；
的面积，，，
，
，得，
又因为，所以，或者，，
由余弦定理得，
．

19.【答案】异面；
证明：在直三棱柱中，连接，在直三棱柱中，因为为的中点，
所以，且，
因为，分别，的中点，
所以，且，
所以，，
所以四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，
故平面；

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