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2025-2026学年广西南宁市第三十三中学高一（下）月考
数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，满足，且，则( )
A. B. C. D.
2.在中，，若，则( )
A. B. C. D.
3.有以下说法：对某小区全体住户燃气、水电设施安全检查适用全面调查调查一批待售袋装牛奶的细菌数适用抽样调查某班共名同学，指定个子最高的名同学参加学校组织的某项活动用的方法是简单随机抽样某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的一批图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为：：：，现按类别分层，采用分层抽样的方法抽取容量为的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多张，则这些说法，正确的个数是( )
A. B. C. D.
4.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为( )
A. B. C. D.
5.已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则
6.根据某小区居民的月均用电量数据单位：度，得到如图所示的频率分布直方图，则月均用电量数据的分位数为( )
A. 度
B. 度
C. 度
D. 度
7.在直三棱柱中，，，则直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
8.在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 复数的虚部为
D. 在复平面内，复数对应的点位于第四象限
10.下列说法中正确的是( )
A. 若样本数据，，，的方差，则这组样本数据总和等于
B. 若样本数据，，，标准差为，则数据，，，的标准差为
C. 数据，，，，，，，，，的第百分位数是
D. 若一个样本容量为的样本的平均数为，方差为，现样本中又加入一个新数据，此时样本容量为，平均数不变，方差变小
11.如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内含边界，则( )
A. 若，则点的轨迹长度为
B. 若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为
C. 若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为
D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，是虚数单位，复数若是纯虚数，的值为 ．
13.如图所示，一个平面图形在斜二测画法下的直观图为直角梯形上底为，下底为，高为，则原平面图形的面积为 ．
14.在中，，，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，且，．
求在方向的投影向量的坐标；
若，且，求向量的坐标；
若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
16.本小题分
某校名学生某次数学考试成绩单位：分的频率分布直方图如下：
求频率分布直方图中的值；
分别求出成绩落在与中的学生人数；
估计这次考试的众数、平均数及分以上的人数．
17.本小题分
已知，，分别为内角，，的对边，且满足．
求角的大小；
若，求的面积；
若是锐角三角形，且，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点．
求证：平面
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面在新构造的四棱锥中，求解以下问题：
求四棱锥的体积．
求二面角的余弦值．
在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】 或
16.【答案】 ， 众数：分；平均数：分；人
17.【答案】
18.【答案】证明：连接交于，连接，
因为是三角形中边上的中位线，所以，
又因为平面，平面，
所以平面 证明：因为平面，平面，
所以，
又因为四边形是矩形，所以，因为，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为是的中点，，所以，
因为，，平面，
所以平面
19.【答案】 存在，是线段上靠近点的三等分点
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