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2025-2026学年上海市宝山区吴淞中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
2.设，，下列各项中，能推出的一项是( )
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
3.已知点，，点在曲线上，则的面积( )
A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值
4.若有穷整数列：，，，，满足：，，且，则称具有性质，则正确的是( )
A. 存在具有性质的
B. 不存在具有性质的
C. 若具有性质，则，，，中至少有两项相同
D. 对于任意正整数，对任意具有性质的，有，，，中任意两项均不相同
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合，，则 ．
6.和的等差中项是 ．
7.不等式的解是______．
8.双曲线的渐近线方程是_____________．
9.已知圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的侧面积为 ．
10.已知，则的最小值是 ．
11.设随机变量服从正态分布，若，则 ．
12.若的二项展开式中，第项为常数项，则 ．
13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
14.已知、为互斥事件，且，，则 ．
15.已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为 ．
16.已知球的半径为，是球的一条直径，点是球面上一个定点，且设点是球面上异于、、的动点，若点满足，则点运动所形成的曲线周长为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
记等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为棱，的中点．
证明：平面；
求平面与平面所成锐二面角的大小．
19.本小题分
有两个罐子，罐中放有个白球和个黑球，罐中放有个白球．
若从罐不放回地摸个球，求恰好摸到一个白球一个黑球的概率；
若从罐不放回地摸个球，求第二次摸到白球的概率；
现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换次后，记罐中黑球的个数为，求的分布列和期望．
20.本小题分
已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点；
求双曲线的实轴长与离心率；
求面积的最小值；
设直线与双曲线交于，两点，且证明：直线过定点；
21.本小题分
若对于函数和，存在常数，对任意实数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”已知和定义域均为．
证明：函数是函数的“控制函数”；
若函数是函数的“控制函数”，求的取值范围；
若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证“”的充要条件是“为常值函数”．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】或
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】因为平面，平面，
所以，
因为，分别为棱，的中点，所以，
又，所以，
而，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
因为，
所以，
又，所以，即，
又，，平面，
所以平面
19.【答案】 的分布列为：

20.【答案】实轴长，离心率 证明：由知，设，的坐标分别为，
当直线的斜率为时，，，
则，
当时，
，解得，
则，中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为；设直线的方程为，
联立方程，消去后整理，得，
则，，
，
由，得，
所以，
即，
化简，得解得或．
当时，直线过点，不合题意；当时，直线的方程为，所以直线过定点．

21.【答案】证明如下，
由于函数，，因此，，那么导函数，
故，即恒成立，
因此是函数的“控制函数” 证明如下，
必要性：若存在常数使得恒成立，
因此，因此，
由于为偶函数，那么，
所以，得到，
那么可得，得，
那么函数，所以导函数，
因为，所以导函数，
当时，恒成立，
故“”是“为常值函数”必要条件；充分性：当时，，
则
，
所以函数为偶函数，又是偶函数，
那么，，
当时，，因此，
则，因此，
则，即，那么为常值函数．
故“”是“为常值函数”充分条件．
综上可得，当时，“”的充要条件是“为常值函数”
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