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北京市陈经纶中学2025-2026学年高二下学期六月学习诊断数学试题
一、选择题
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.在线教育平台部署了三款智能批改系统甲、乙、丙，其批改一道数学题的正确率分别为、、平台根据题目难度等级随机调用系统，调用甲、乙、丙的概率依次为、、，现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为( )
A. B. C. D.
4.“”是“函数在区间上单调递增”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.射击中每次击中目标得分，未击中目标得分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击次的得分的数学期望是．
A. B. C. D.
6.某中学准备在校园科技节展示款不同的学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有种不同的放置方式．
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数满足，且，则( )
A. B. C. D.
8.若函数的定义域内存在区间，且，则称函数存在一个“稳定区间”下列说法错误的是( )
A. 存在“稳定区间”的一次函数存在且有无数个
B. 存在“稳定区间”的二次函数存在且有无数个
C. 对任意，函数都存在“稳定区间”
D. 存在，使函数存在“稳定区间”
9.如图，某花坛中有个区域，每个区域只种植一种颜色的花．要把红、黄、蓝、白种不同颜色的花种植到这个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄种不同颜色的花，不同的种植方案种数为( )
A. B. C. D.
10.某生物种群数量在一个有限的环境中增长时，由于资源和空间等因素的限制，该种群数量与时间之间的关系可以由函数刻画，其中常数表示该种群数量的初始值，常数表示该种群环境容纳量，常数表示内禀增长率，函数的图象如图所示．
给出下列三个结论：
函数的导函数有最大值；
存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形；
对于任意的，有成立．
其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、非选择题
11.已知命题为假命题，写出的一个值 ．
12.已知，则 ； ．
13.已知，为正实数且满足，则的最大值是 ，的最大值为 ．
14.设函数若存在最小值，则的一个取值为 ，的最小值为 ．
15.已知函数，给出下列四个结论：
当时，在其定义域上为增函数；
若在其定义域上没有极值点，则实数的取值范围是；
当时，有个零点；
当时，存在过原点的曲线的切线．
其中所有正确结论的序号为 ．
16.某连锁企业为了解两款产品和的收益情况，从所有门店中随机抽取个门店，记录并整理这些门店同一季度的产品，的收益数据单位：万元，如下表：
门店产品
用频率估计概率．
从该企业所有门店中随机抽取个，估计这个门店产品收益高于产品收益的概率；
从表中的个门店中随机抽取个，记为这个门店中产品收益高于产品收益的门店个数，求的分布列及数学期望；
这个门店中，设门店的产品，的收益分别为，，记，，，数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，，，的方差为，写出，，的大小关系结论不要求证明
17.定义在上的函数在取得极小值函数满足其中是的导函数且．
求的最小值；
解不等式；
若，求过点作的切线有多少条？
18.随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了名学生，对使用 四种功能的情况统计如下：
功能种数性别 种 种 种 种 种
男
女
在上述样本所有使用种功能的人中，统计使用的人次如下：
功能
人次
假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率．
从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率；
从该校使用三种功能的学生中，随机选出人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望；
从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小结论不要求证明．
19.若椭圆：上一点处的切线方程为已知椭圆分别为左右顶点且离心率直线过交椭圆于两点当直线垂直于轴时，．
求椭圆的方程；
连接，并过两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点，过作的平行线交于点，直线为坐标原点交直线于点，直线和直线的斜率分别为和两点横坐标分别为．
证明为定值：
为定值．
20.已知函数，．
若是的极值点，求实数的值；
若，求证：；
已知函数在上无零点，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】答案不唯一
12.【答案】

13.【答案】
14.【答案】 答案不唯一，取均可
15.【答案】
16.【答案】解：对个门店的，收益，分别记为满足的门店共个门店、、，用频率估计概率得：；
为抽取的个门店中收益高于的个数，服从超几何分布，的可能取值为，
总门店，符合条件的门店，抽取，：
，，
，，
分布列：
．
设产品收益的方差为，产品收益的方差为
由产品的收益极差为，的收益极差为，
从极差的显著大小关系可以估计其方差的显著大小关系，会显著大于．
因为，，，
线性组合的方差会向权重更大的变量“靠拢”，权重越大，整体方差越接近该变量的方差．
因此权重偏向的方差最大，权重偏向的方差最小，权重均等的的方差居中．

17.【答案】解：因为，则，
由题意可知：，解得，
若，则，，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则在取得极小值，所以符合题意，
所以的最小值为．
由可知：，即，
可知在定义域内单调递增，且，
不等式即为，可得，
所以不等式的解集为．
由题意可知：，可设，，
因为，解得，即，
则，符合题意，
即，，
设切点坐标为，则切线斜率，
则切线方程为，
代入点可得，
整理可得，
设，则，
令，即，解得或；
令，即，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则的极大值为，，
且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；
由图象可知：有个零点，所以过点作的切线有条．

18.【答案】Ⅰ Ⅱ的分布列为：
Ⅲ
19.【答案】解：由题意可知在椭圆上，且由，可得，
联立方程，所以椭圆．
由题意可知直线不与轴重合，设直线，
点，．
，
．
又因为，所以，
由题意可知过点的切线和点的切线分别为：，和，
联立方程．
，所以．
直线，直线，
，
，又由可知，所以，
即．
可得为中点，所以，即．

20.【答案】解：函数的定义域为，，
因为是的极值点，
所以，即，
当时，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以是的极小值点，符合题意，
所以．
当时，，
记．
，
令，有，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
从而，所以，即．
因为，，
当，即时，，
所以在上单调递减，
因为，
所以在上无零点，符合题意
当时，令，则，
当时，当时，，
所以的单调递减区间是单调递增区间是，
的最小值为，
当，即时，无零点，符合题意
当时，有一个零点，不符合题意
当时，，的最小值，
因为，所以，使得，不符合题意
综上，，
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