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上海市杨浦区2025-2026学年高二下学期期末样题数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列平面图形旋转后能得到如图所示几何体的为( )
A. ； B. ； C. ； D. ．
2.已知事件和互斥，下列等式一定成立的为( )
A. ； B. ；
C. ； D. ．
3.若数列满足，则称是差增数列．
对于以下两个命题：
若是差增数列，则是严格增数列；
若由的奇数项组成的子数列和偶数项组成的子数列都是差增数列，则是差增数列，
下列判断正确的为( )
A. 是真命题，是假命题； B. 是假命题，是真命题；
C. 是真命题，是真命题； D. 是假命题，是假命题．
4.甲同学要计算图中伞面布料的面积．他观察发现伞面有根伞骨支撑，测量得到伞口处长为厘米，伞拱高为厘米．
甲作假设：
忽略伞面布料重叠和接缝的面积；___________________________________．
甲根据假设和已知条件建立数学模型，计算得到伞面布料的面积约为平方厘米，则假设为( )
A. 将伞面视作圆锥的侧面；
B. 将伞面视作正八棱锥的侧面；
C. 将伞面视作圆台的侧面和上底面之和，其上底面的半径视作下底面半径的三分之二；
D. 将伞面视作正八棱台的侧面和上底面之和，其上底面边长视作下底面边长的三分之二．
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.和的等差中项为 ．
6.抛物线的焦点的坐标为 ．
7.抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为 ．
8.半径为的球的表面积为 ．
9.等比数列的首项为、公比为，其前项的和的值为 ．
10.圆的圆心坐标为 ．
11.某校统计一组学生的单日志愿者服务时长单位：分钟，如下是根据统计数据绘制的茎叶图，以时长的十位数字为“茎”排列在左侧、以时长的个位数字为“叶”排列在右侧：
该组学生单日志愿者服务时长的中位数为 分钟．
12.已知向量，，若与垂直，则实数的值为 ．
13.某社区开展青少年实践活动，现有人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这人分为两组，两组成员的年龄单位：岁如下：
甲组：、、、、、、、；
乙组：、、、、、、．
社区计划将甲组的人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为 岁的成员换到乙组．
14.正方体中，为正方形的中心，若，则的值为 ．
15.如图，在空间中，由点引出三条射线、、，从中任取两条射线与点构成的角均为在上取点，使得线段的长度为过点作直线交于点，且；过点作直线交于点，且；过点作直线交于点，且；，以此类推，得到一系列点为正整数连接点和，则直线与直线所成角的余弦值为 ．
16.已知双曲线：的左右焦点分别是、，在双曲线的右支上取个不同的点、、、，要求同时满足下列两个条件：
，且是锐角三角形；
令，数列是共有项的等差数列，
则数列的公差的一个可能的值为 答案不唯一．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，．

求异面直线与所成角的大小；
求证：平面．
18.本小题分
已知三条直线：，：，：，．
若，求的值；
若、、不能围成三角形，求的值．
19.本小题分
为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取名学生，以他们一周使用图书馆的时间单位：小时作为样本，调查发现样本中的数据均小于，这个数据在各区间内的频数记录如下表、、、、均为自然数：
使用时间
高一
高二
高三
已知该高中三个年级一共有名学生，其中高一年级有名学生，求的值；
用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间；
现从样本中任意抽取个数据，记事件为“抽到的数据是高二学生的”，记事件为“抽到的数据在”，判断事件和事件是否独立，并说明理由．
20.本小题分
如图，“斗”是中国古代标准容积量器，其形状可视作一个正四棱台已知该正四棱台的高为厘米，厘米，厘米．
求证：；
求与平面所成角的大小；注：．
古代的米店里用“斗”给顾客量米时，为了显示诚信，用斗量米并用木尺刮平斗口后，会特意再抓一把米小心翼翼地添在斗口中央，让米堆起来形成一个“尖”的形状．假设将这个“尖”视作以为底面的正四棱锥，记作根据物理学中“休止角”的理论，大米的休止角约为，即可视作二面角的最大值为若忽略“斗”壁的厚度，求这个“斗”加上“尖”最多可以装大米多少立方厘米．保留到整数位
21.本小题分
已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点．
求椭圆的离心率；
设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值；
点满足，直线与椭圆的另一个交点为点过点做垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】答案不唯一
17.【答案】解：解：连接，

则，
平面，平面，
，
，
，
就是异面直线与所成角或其补角，
，
故异面直线与所成角的大小为；
证明：平面，平面，
，
又，平面，
平面；

18.【答案】解：对于直线和，垂直的充要条件为，
代入、的系数得：，解得
三条直线不能围成三角形分两类：三线共点：联立和的方程，解得交点为，
代入得：，化简得，解得或；
存在平行直线：若，则，解得，此时两直线平行；
若，则，解得，此时两直线平行；
若，则，即，无实根，不存在符合条件的，
综上，的取值为、、、．

19.【答案】解：由题意，所抽取的名学生中高一学生人数为人，
所以，可得；
由题意，高二年级学生一周使用图书馆的平均时间为小时；
事件与事件不独立，理由如下：
由题意，，且，
因，则，
所以事件与事件不独立．

20.【答案】解：证明：由正四棱台的性质，与相交于一点，
所以四点共面，
平面平面，
平面平面，
平面平面，
所以．
设上、下底面的中心为，
平面，，
过作交于点，则平面，
即为与平面所成的角，
由已知可得，，
在中，，，
，
则．
由题意可得面，
取的中点，，，
所以为二面角的平面角，
，
二面角的最大值为，
所以，
，
，
立方厘米．

21.【答案】解：解：椭圆：，
则，
则椭圆的离心率；
解：由题可知，
点关于原点中心对称的点为，则三点共线，连接，
由题可知直线的斜率存在，且，设，
联立，得，解得，
则，
点到直线的距离，点到直线的距离，
，当且仅当时取等，
故四边形面积的最大值为；
证明：，则，
易知，设，，
联立
，
则，又，所以，
则，
即，
，
，
故直线过定点．

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