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浙江省杭州市第十四中学附属学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：6，6，7，7，7，8，8，这组数据的中位数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（3分）若二次根式有意义，则x的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）如图，在 ABCD中，若∠B+∠D＝130°，则∠B的度数是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣nx﹣3＝0，则该方程解的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个解
6．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝4，配方正确的是（　　）
A．（x+3）2＝13 B．（x﹣3）2＝13 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
7．（3分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
8．（3分）若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
9．（3分）已知关于x的两条一元二次方程①ax2+bx+c＝0；②cx2+bx+a＝0（a≠c≠0）．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点：
甲同学，若方程①有一个解为x＝m（m≠0），则方程②一定有一个解为，
乙同学：若方程①②有公共解，则公共解为x1＝1，x2＝﹣1，
正确的结论为（　　）
A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误
B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确
C．甲、乙同学的观点均正确
D．甲、乙同学的观点均错误
10．（3分）如图，在 ABCD中，AB＝2，∠D＝45°，∠ACD＝90°，M是AD的中点，E是AB延长线上的动点，作∠EMF＝90°交AC的延长线于点F．记BE＝x，CF＝y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．x﹣y C．xy D．
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）当x＝2时，二次根式的值是　 　 ．
12．（3分）若一组数据2，3，5，x，8的众数是2，则这组数据的平均数是　 　 ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0有一个根为2，则b的值为 　 　 ．
14．（3分）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步？若设宽为x步，则根据题意可列方程为 　 　 ．
15．（3分）一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是　 　 ．
16．（3分）如图，在 ABCD中，CD＝13，将 ABCD沿对角线AC翻折后，点B落到点B′处，CB′⊥AD，垂足为点F，B′F＝5，则AC＝　 　 ．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x＝0；
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
19．（8分）为了了解八年级学生双休日的上网时间（单位：小时），某校随机抽取了50名学生进行调查，得到了他们上周双休日上网时间的一组样本数据，整理并绘制成如下的统计图．
（1）这50个样本数据的众数是　 　 小时，中位数是　 　 小时．
（2）求出这50个样本数据的平均数．
（3）根据样本数据，估算该校八年级500名学生双休日上网时间超过3小时的人数．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＞AB．以点C为圆心，CD为半径作弧，交边BC于点E，连接AE．
（1）求证：∠ADE＝∠CDE；
（2）若AE⊥BC，CE＝5，BE＝3，求ED的长．
21．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k﹣3）x+k﹣4＝0．
（1）求证：无论k为何实数，此方程总有实数根．
（2）若两根异号且负根的绝对值大，求k的取值范围．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．
（1）若BC＝2，，求AD的长．
（2）设BC＝a，AC＝b．
①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？说明理由．
②若AD＝EC，求的值．
23．（10分）综合与实践：设计商品最优定价方案
【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若枕头的售价定为每个50元时，每月可销售100个；若枕头的售价每降价1元，则销售量增加10个，枕头的进价为每个20元，假设枕头全部售完（进货量＝销售量），设每个枕头降价x元（x为签数），回答下列问题：
【问题】
（1）任务1：枕头的实际售价为　 　 （用含x的代数式表示），枕头的销售量为　 　 （用含x的代数式表示）；
（2）任务2；若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价，反之，请说明理由；备注：利润＝（售价﹣进价）×销售量．
（3）任务3：依靠试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价．
24．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝4，∠BCE＝30°．
（1）求线段EC的长；
（2）求证：∠EMC＝2∠AEM；
（3）如果EM＝8﹣AE，求△AEM的面积．
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C B B B A C B
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11．
2．
12．
【答案】4．
13．
【答案】﹣1．
14．
【答案】x（60﹣x）＝864．
15．
【答案】3.5
16．
【答案】12．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．
解：（1）原式＝4﹣+
＝；
（2）原式＝12﹣1
＝11．
18．
解：（1）x2﹣4x＝0，
因式分解得：x（x﹣4）＝0，
解得：x1＝0，x2＝4；
（2）x2﹣4x﹣5＝0，
因式分解得：（x+1）（x﹣5）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5．
19．
解：（1）这50个样本数据的众数是2小时，中位数是＝2（小时），
故答案为：2，2；
（2）这50个样本数据的平均数为×（1×15+2×20+3×12+4×2+5）＝2.08（小时）；
（3）500×＝30（人），
答：估算该校八年级500名学生双休日上网时间超过3小时的人数为30人．
20．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠ADE＝∠CDE；
（2）解：如图，过点C作CH⊥AD于点H．
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴∠AEC＝∠EAC＝∠CHA＝90°，
∴四边形AECH是矩形，
∴AH＝EC＝5，
∵BE＝3，
∴AD＝BC＝8，
∴DH＝AD﹣AH＝3，
∵CD＝CE＝5，
∴AE＝CH＝＝4，
∴DE＝＝＝4．
21．
（1）证明：Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×（k﹣4）＝k2﹣6k+9﹣4k+16＝k2﹣10k+25＝（k﹣5）2，
∵（k﹣5）2≥0，
即△≥0，
∴无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）解：∵两根异号且负根的绝对值大，
∴，
∴k＜3，
∴k的取值范围为k＜3．
22．
解：（1）∵已知BC＝2，，∠ACB＝90°，由题中作图可知BD＝BC＝2
∴由勾股定理得：（AD+2）2＝+22
∴（AD+2）2＝16
∴AD+2＝4或AD+2＝﹣4
∴AD＝2或AD＝﹣6（舍）
∴AD的长为2．
（2）①由勾股定理得：AB＝＝
∴AD＝﹣a
解方程x2+2ax﹣b2＝0得，x＝＝±﹣a
∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根．
②∵AD＝EC，AD＝AE
∴AD＝EC＝
∴由勾股定理得：a2+b2＝
∴a2+b2＝b2+ab+a2
∴b2＝ab
∴＝．
23．
解：（1）根据题意得：枕头的实际售价为（50﹣x）元；
枕头的销售量为（100+10x）个；
故答案为：（50﹣x）；（100+10x）；
（2）根据题意得，（50﹣x﹣20）（100+10x）＝3750，
整理得，x2﹣20x+75＝0，
解得，x1＝5，x2＝15，
∵进货不超过200个，
∴100+10x≤200，
解得，x≤10，
∴x＝5，
∴此时枕头的售价为50﹣5＝45元；
（3）设利润为w元，根据题意得：
w＝（50﹣x﹣20）（100+10x）＝﹣10（x﹣10）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝10时，w有最大值，为4000元．
此时售价为50﹣10＝40元．
24．
（1）解：∵点M为边AD的中点，AM＝4，
∴AM＝DM，AD＝2AM＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，
∵CE⊥AB，∠BCE＝30°，
∴，
∴．
（2）证明：如图，延长EM，CD，相交于点N，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴∠A＝∠MDN，∠AEM＝∠N，CE⊥CD，
在△AEM和△DNM中，，
∴△AEM △DNM（AAS），
∴EM＝MN，
∴CM＝MN，
∴∠MCN＝∠N，
∴∠EMC＝∠MCN+∠N＝2∠N＝2∠AEM．
（3）解：如图，延长EM，CD，相交于点N，过点E作EF⊥AM，交MA延长线于点F，
由（2）已证：△AEM≌△DNM，
∴EM＝MN，AE＝DN，
设AE＝DN＝x（x＞0），则EM＝8﹣AE＝8﹣x，
∴EN＝EM+MN＝2EM＝16﹣2x，
由（1）已得：，
∴CN＝CD+DN＝AB+DN＝AE+BE+DN＝4+2x，
∵EC2+CN2＝EN2，即，
解得，
即，
∵CE⊥AB，∠BCE＝30°，
∴∠B＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠B＝60°，
∴∠AEF＝90°﹣∠EAF＝30°，
∴，
则△AEM的面积为．

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