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江苏泰州市靖江市实验学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试题
一、单选题
1．下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
5．《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为x（m），根据题意可列方程（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，，，点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则当取得最大值时，运动时间为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．一个直角三角形的三边长分别为5，7，x，则x的值为______．
8．正方形一条对角线为2，则正方形的面积为________．
9．分式的值为0，则x的值为______．
10．如图，在中，，，将线段水平向左平移n个单位得到线段，若四边形为菱形，则n的值为______．
11．若关于x的方程有增根，则a的值是______．
12．如图，在中，，，，P为边上任一点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为______．
13．已知，则的平方根是______．
14．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______
15．如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿匀速运动，到达点C时点P停止运动；设点P运动的路程为x，它与对角线交点E之间的距离为y，y与x之间的函数关系如图2所示，则当点P运动至的中点处时，y的值为______．
16．在矩形中，，，P为边上一点，过点P作于E，连接，取的中点F，连接．当最小时，的长为______．
三、解答题
17．计算、解方程：
(1)；
(2)．
18．因式分解：
(1)；
(2)．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为．
(1)仅用无刻度直尺和圆规作图：过点A作直线轴；（直尺只限使用一次，不要求写作法，但保留作图痕迹）
(2)点B在x轴正半轴上，且，点C在（1）中的直线l上，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为______．
20．已知n为奇数（）．
(1)猜想：除以8，余数为______；
(2)证明你的猜想．
21．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现．（不考虑阻力的影响）
(1)直接写出物体从的高空落到地面的时间______s；
(2)已知从高空坠落的物体所带能量E（单位：J）物体质量（）高度（m）．一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙落下对人体是否能造成伤害？（注：杀伤无防护人体只需要的能量）
22．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点，于H．求证：．
23．若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形：，∵，∴．∴的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
(1)下列多项式是“和美多项式”的是______；（填序号即可）
① ② ③
(2)证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值．
24．如图1，在矩形中，E是的延长线上一点，，与相交于点G，与相交于点F，．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，求的度数．
25．阅读材料：
“糖水不等式”的证明
小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多．
糖水的甜度取决于糖水浓度（）．
小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？
——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料”
基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”．
(1)【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”）
(2)【推理论证】证明（1）中，你得到的结论．
(3)【应用拓展】若、、为三边的长，证明：
26．如图1，在中，延长至点E，使得，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，将沿直线翻折，点E刚好落在的中点F处，延长交的延长线于点H，交于点G．写出之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，将沿直线翻折，点E落在上F处，若，，，求的面积．
参考答案
1．A
解：选项A：，被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式；
选项B：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
选项C：，被开方数含分母，不是最简二次根式；
选项D：，被开方数含分母，不是最简二次根式．
2．C
【详解】解：对选项A，右边不是整式，不符合要求，∴A错误；
对选项B，左边是单项式，不是多项式，不符合要求，∴B错误；
对选项C，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，∴C正确；
对选项D，变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，不是因式分解，∴D错误．
3．B
解：由题意可知：，，
，，
该一次函数的图像经过第一、三、四象限，即不经过第二象限，
故选：B．
4．C
解：如图，已知四边形，、、、分别为、、、的中点，连接、，
、是、中点，
且．
、是、中点，
且 ．
且，
∴ 四边形是平行四边形．
若四边形是菱形，则．
、是、中点，
且．
，
∴．
．
∴ 原四边形对角线相等．
故选：C．
5．D
解：由题意，得：，
故选：D．
6．B
解：如图，连接交于点O，取的中点，连接，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，，
∵点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是的中点，且，即，
∴，
∴点G在以H为圆心，为直径的圆弧上运动，
∴当取得最大值时，点G与点O重合，此时，
如图所示，连接，过点作交于点M，
∵，
∴三点共线，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，
∴当取得最大值时，运动时间为．
7．或
解：当该直角三角形的两条直角边长为5和7，则根据三角形三边关系可知，由勾股定理可得：，因为，所以符合三角形三边关系；
当该直角三角形的两条直角边长为5和x，斜边长为7，则根据三角形三边关系可知，由勾股定理可得：，因为，所以符合三角形三边关系；
综上所述：x的值为或．
8．2
解：正方形的一条对角线的长为2，
这个正方形的面积．
故答案为：2．
9．
解：由题意得：且，
∴．
10．2
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴．
11．4
解：将方程两边同乘以得：，
∵分式方程有增根．
∴最简公分母，
解得，
将代入得：．
12．
解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当最小时，也最小，
即当时，最小．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴线段长的最小值为．
13．
解：由可知：，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵25的平方根是，
∴的平方根是．
14．//
解：由旋转得，，，，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
，
故答案为：．
15．
解：根据函数图象，可得，，
∵菱形，
∴，，
∴，
∵当点P运动至的中点时，是的中位线，
∴此时．
16．
解：设点关于直线的对称点为点，连接，延长，交于点，连接，设交于点，如图所示：
∵关于直线对称，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
又，
∴是的中位线，
∴，
∴要使最小，则需取得最小值，
∵点为固定点，在上运动，
∴时，取得最小值，
∵矩形中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
不妨设，那么，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
17．(1)9
(2)原方程无解
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
两边同时乘，得．
移项合并，得，
解得．
经检验是增根．
∴原方程无解．
18．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．(1)见解析
(2)或
（1）解：如图所示，直线l即为所求：
（2）解：①如图所示，当四边形是平行四边形时，点B在x轴正半轴上，，
∴，
∵轴，，
∴点C的横坐标为，纵坐标为4，
∴点C的坐标为；
②如图所示，当四边形是平行四边形时，同理可得点C的坐标为；
综上，点C的坐标为或．
20．(1)1
(2)见解析
（1）解：∵n为奇数且，
∴当时，除以8，余数为1，
∴猜想：除以8，余数为1；
（2）证明：设（k为正整数），
∴．
∵k与一奇一偶，
∴一定是偶数．
∴一定能被8整除．
∴除以8余数为1．
21．(1)
(2)能造成伤害
（1）解：根据题意；
（2）解：当时，，解得，
∴，
∵，
∴能造成伤害．
22．见解析
【详解】证明：∵D、E分别为，中点，
∴，．
∵F为中点，
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∴．
∵，D为中点，
∴．
∴．
∵F为中点，，
∴．
∴．
∴．
即，
∴．
23．(1)①，③
(2)证明见解析，最小值8
（1）解：①，
∵，
∴，故①是“和美多项式”；
②
∵，
∴，故②不是“和美多项式”；
③，
∵，
∴，
∴的值恒为非负数，故③是“和美多项式”；
（2）解：
，
∵，
∴原式，即原式为“和美多项式”，
当时有最小值，最小值是8．
24．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，点E在的延长线上，
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴．即，
故．
（2）解：如图，在线段上取点P，使得．
在与中，
，
∴．
∴．
∴，
∴为等腰直角三角形．
∴．
25．(1)
(2)见解析
(3)见解析
（1）解：当，，时，
，，
∴，
∴；
故答案为：
（2）
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意，，
∴，，，
由“糖水不等式”可知：，
，
，
．
26．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵延长至点E，使得，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵将沿直线翻折，点E刚好落在的中点F处，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图3，过点B作于点M，
∵四边形是平行四边形，，
∴，,
由翻折可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．

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