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浙江省杭州第二中学、温州中学、金华一中、绍兴一中、舟山中学等校2026届高三下学期模拟预测数学试题
1．已知集合 全集U={-2，-1，0，1，2}，则= (　　)
A． B．{-2} C．{2} D．{-2，2}
2．复数 的虚部为(　　)
A． B． C． D．
3．对四组数据进行统计，获得以下散点图(如图)，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
4．已知向量，若 则x= (　　)
A．1 B．- 1 C．16 D．- 16
5．已知函数 则(　　)
A．f(x)的最大值为 3 B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)在 上单调递增 D．f(x)的最小正零点为π/2
6． 已知一个圆台的上下底面半径分别为 3和 6，球O与该圆台的上下底面和侧面都相切，则球O的表面积为(　　)
A．36π B．72π C．108π D．144π
7． 已知双曲线 的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与C的右支交于点A，B， 设双曲线的离心率为e，则 (　　)
A． B． C． D．
8．若曲线 上存在至少两点到直线l：x+my+2=0的距离为 1，则实数m的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
9． 某城市连续 6天的最低温度(单位：℃)为 0、2、5、5、6、6，则这组数据的(　　)
A．极差为 6 B．40%分位数为 3.5
C．平均数为 4 D．方差为 5
10．已知函数 则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的定义域为{x|x<0或x>1}
B．不等式f(x)>0的解集为
C．函数f(x)的图象为轴对称图形
D．函数f(x)的图象为中心对称图形
11．已知数列{an}的通项公式为 是其前n项的和. n，m∈N*，下列结论正确的是(　　)
A． B．
C． D．
12．二项式 的展开式中的常数项为　 　.
13．已知函数 的图象在x=1处的切线与直线x+3y-2=0垂直，则a=　 　.
14． 设矩形 ABCD(AB>AD)的周长为 24. 把△ABC 沿AC 向ADC 折叠， AB 折过去后交DC于点P，则△ADP 面积的最大值为　 　.
15．已知公差不为零的等差数列{an}中， 且a1，a4，a13成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式：
（2）若数列{bn}满足 求数列{bn}的前n项和Sn.
16．如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的菱形， PA=1， PC=2， M是AD的中点.
（1）证明： PA⊥CM ；
（2）求直线AB 和平面PCM 所成角的正弦值.
17．已知函数
（1）设f'(x)是f(x)的导函数，求f'(x)的单调区间；
（2）设x0是f(x)的极小值点，求证：
（3）若 恒成立，求实数a的取值范围.
18．已知椭圆 过点 离心率为 ，O是坐标原点.
（1）求c的方程；
（2）过C的右焦点F 作直线l与椭圆交于A，B两点，以OA，OB 为邻边作平行四边形OAQB .
(i)求点Q的轨迹方程并说明其形状；
(ii)过F的任意一条直线l'与椭圆C交于P1，P2两点，与Q的轨迹交于P3，P4两点，其中P1，P3在x轴上方，求△OP1P3和△OP2P4面积之和的范围.
19．某景点周边文创店推出了一款单价 10元的“幸运文创刮刮卡”，每购买一张即可参与抽奖，奖项设置如下(未中奖则无奖金)：
①一等奖：奖金 40元，中奖概率 5%；
②二等奖：奖金 20元，中奖概率 10%；
③三等奖：奖金 10元，中奖概率 30%.
（1）小明初始有 20元零花钱.
(i)若他购买 1张刮刮卡，求抽奖后剩余金额的数学期望；
(ii)小明想要购买一款定价 40元的航模配件，他打算通过反复购买刮刮卡的方式凑齐钱款，求他最终能够凑齐钱款的概率.
（2）若小明初始有n元(n为正整数且n≥10)，他采取的购买策略是：一旦当前总金额超过初始的n元就立刻停止购买.设他最终能够成功挣到钱的概率为p，求证：
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】补集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：易知集合，则.
故答案为：D .
【分析】解绝对值不等式，结合集合的特征求得集合A，再根据集合的补集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则复数的虚部为.
故答案为：B .
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得复数z，再根据复数的概念判断即可.
3．【答案】A
【知识点】散点图；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势是正相关，数据呈递减趋势是负相关，数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，故第（1）（3）正相关，（2）（4）负相关，即，又（1）与（2）中散点图更接近一条直线，得，所以.
故答案为：A .
【分析】根据散点图，以及相关系数的定义判断即可.
4．【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，可得，，
若 则，解得.
故答案为：A .
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示列式即可求解即可.
5．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：
A、函数的最大值为，故A错误；
B、函数的最小正周期，故B错误；
C、令，解得，则函数在区间上单调递增，故C正确；
D、令，得，解得或，即或，则函数的最小正零点为，故D正确.
故答案为：C .
【分析】先利用正弦、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简函数，再根据正弦型函数的性质、三角函数的最小正周期公式等知识求解逐项判断即可.
6．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：作出圆台的轴截面，如图所示：
由题意可得，斜边为圆台的母线长，等腰梯形的高等于球的直径，
因为球与圆台侧面相切，所以，则，，
所以，，所以，
同时，由勾股定理可得，将，，代入，得，化简求得，则球的表面积为.
故 答案为：B .
【分析】作出圆台的轴截面，根据球与圆台侧面相切，可得，则，，求得母线长，再利用勾股定理，结合求得半径，最后根据球的表面积公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意作出图形，如图所示：
由过点的直线与的右支交于点，
可得为等腰直角三角形，，可得。
可得，解得.
故答案为：B .
【分析】作出图形，由题意可得为等腰直角三角形，利用余弦定理，结合双曲线的离心率公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：曲线两边平方整理可得，即，则曲线是以为圆心，为半径的上半圆，所有点满足，直线恒过点，圆心到直线的距离为，
要求上半圆上至少存在2个点到直线的距离为1，等价于与直线平行、距离为1的两条直线和上半圆的交点总数大于等于2，
由于曲线是上半圆，上下不对称，因此m正负对应的边界不同：
当时，直线的斜率，直线向上倾斜；
当圆心到直线的距离，即，解得，即时，直线与上半圆至少交于两个的点，满足至少两点的要求；
当时，直线的斜率，直线向下倾斜，即点到直线的距离，则，解得，此时上半圆上至少存在两个点到直线的距离为1，
则实数m的取值范围为：.
故答案为：D .
【分析】先将曲线两边平方化为圆的标准方程，确定其圆心和半径，再根据曲线C上存在至少两点 到直线7的距离为1，得到圆心到直线的距离a与点到直线l的距离的取值范围，最后根据点到直线的距离公式求解m的取值范围.
9．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解： 某城市连续 6天的最低温度(单位：℃)为 0、2、5、5、6、6，
A、极差为，故A正确；
B、，则 分位数为5，故B错误；
C、平均数为，故C正确；
D、方差，故D正确.
故答案为：ACD .
【分析】分别计算极差，百分位数以及平均数和方差判断即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】函数的定义域及其求法；指、对数不等式的解法；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，即，
解得或，即函数的定义域为，故A正确；
由，可得或，无解，故B正确；
因为，所以函数关于对称，故C正确；
若函数为中心对称，设对称中心为，结合定义域可知对称中心的横坐标为，结合C可知，D错误.
故答案为：ABC .
【分析】根据对数函数有意义，列式求得函数的定义域即可判断A；解对数不等式即可判断B；根据函数的对称性检验，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：由，可得，故A正确；
由均为递减数列，则为递增数列，故B错误；
由，可得，，
可取，可得，，则，故C错误；
，
，且，，则，故D正确.
故答案为：AD .
【分析】由题意，利用等比数列的求和公式结合分组求和法求得即可判断AB；取求解即可判断C；根据分别计算和，比较大小即可判断D.
12．【答案】15
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解： 二项式 的展开式的通项公式为，
令，解得，则展开式中常数项为15.
故答案为：15 .
【分析】先写出展开式的通项，令，求得r的值，即可得展开式中的常数项的值.
13．【答案】-1
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解： 函数 定义域为 ，，
由题意可得，解得.
故答案为：-1 .
【分析】求函数的定义域，以及导函数，根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为-1，列式求解即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：如图所示：设，则， ，，，即，所以，
解得， 因为，所以，
则的面积，
当且仅当，即时等号成立，
则面积的最大值为.
故答案为： .
【分析】设，则，利用 ，可得，，利用勾股定理可得，求得x的取值范围，再表示的面积，利用基本不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
因为， 所以①，
又因为成等比数列，所以 ，
即，化简得 ，
因为d≠0，所以 ②，联立①②解得 ，
则数列的通项公式是 ；
（2）解：由(1)得 ，
则 .
【知识点】等差数列的通项公式；数列的前n项和；等比中项
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意，根据等差数列的通项公式以及等比中项列式求得基本量，即可得数列的通项公式；
（2）由(1)得 ，利用裂项相消法求和即可.
16．【答案】（1）证明：连接AC，由题意△ACD是等边三角形，M是AD的中点，所以CM⊥AD，
因为AD=2，所以，
又因为∠APD=90°，所以 ，
又PC=2，则，所以CM⊥PM， 且AD∩PM=M， AD，PM 平面PAD，
所以CM⊥平面PAD，而PA 平面PAD，所以PA⊥CM；
（2）解：以M为原点，MA为x轴，MC为y轴，过M作垂直于底面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
由(1)可知平面 PAD⊥平面ABCD，
于是M(0，0，0)， A(1，0，0)， D(-1，0，0)， C(0，，0)， B(2， ，0)， P(，0，)，
，，
设平面PCM的一个法向量为，则 则y=0，令z=-1，得，
于是可得一个法向量 ，
设直线AB和平面PCM所成角为θ，
则
即直线AB和平面PCM所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接AC，根据等边三角形的性质，结合勾股定理以及线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以M为原点，MA为x轴，MC为y轴，过M作垂直于底面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解直线AB 和平面PCM 所成角的正弦值即可.
17．【答案】（1）解：函数f(x)的定义域为， ，
易得在单调递增，在单调递减；
（2）解：由 ，
且当x→0+时， f'(x)→-∞，当x→+∞时， f'(x)→-∞，
所以存在 ，使得f(x)在(0，x0)单调递减，在(x0，1)单调递增，
其中x0满足 ，
即 ，
于是 ，
因为 所以 ；
（3）解：由题意， 恒成立，即
因为x>0，所以
设 则
于是g(x)在(0，)单调递增，在( 单调递减，
所以
所以实数a的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，对函数进行二次求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）由 ，再根据零点存在性定理可得存在，使得f(x)在(0，x0)单调递减，在(x0，1)单调递增，求得函数的极小值，其中x0满足 ，再结合的取值范围证明结论即可；
（3）分离参数，原问题转化为恒成立，设，利用导数判断函数的单调性，求最大值，即可求得实数a的取值范围.
18．【答案】（1）解：椭圆C ，椭圆过点 代入方程得到 ，
又离心率 ，所以 ，联立解得( ，
所以椭圆方程为： ；
（2）解：(i) 椭圆右焦点F(1，0)， 设直线l：x = ky + 1， A(x1，y1)， B(x2，y2)， Q(x，y)，
由平行四边形性质 所以( ，
联立l与椭圆方程 ，得到 ，
由韦达定理： ，
，消去参数k得到Q点的轨迹方程为( ，
其形状为焦点在x轴上，中心在(1，0)，长轴长2、短轴长 的一个椭圆(不包括原点)；
(ii) 设直线方程为l'：x = my +1，联立直线与椭圆 ，消元整理可得 ，
设 ，
则： ，
l'：x = my + 1和( 联立得到 即
设 则，
设 则 ，
，于是g(θ)在(0，π/6]单调递增，令θ=0和( 代入即得.
方法四： 直接关于m求导
进一步判断可得函数S(m)为偶函数，且在[0，+∞)单调递减，于是同理可得值域.
综上，所求面积和的范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率，以及椭圆过点求得基本量，即可得椭圆方程；
（2）(i)易知椭圆右焦点， 设直线l：x = ky + 1， A(x1，y1)， B(x2，y2)， Q(x，y)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合平行四边形的向量关系推导轨迹方程并判定几何形态；
(ii)联立直线与两条曲线，利用韦达定理、换元法，以及利用导数判断函数的单调性求面积的取值范围即可.
19．【答案】（1）解：(i)小明初始有20元，购买1张刮刮卡花费10元，因此抽奖前已支出10元，剩余10元，假设抽奖后剩余金额为X：
中一等奖(40元)：剩余金额X =20-10+40=50元， P(X =50)=0.05；
中二等奖(20元)：剩余金额X =20-10+20=30元， P(X =30)=0.1；
中三等奖(10元)：剩余金额X =20-10+10=20元， P(X =20)=0.3；
未中奖：剩余金额X =20-10=10元， P(X =10)=0.55，
E(X)=50×0.05+30×0.1+20×0.3+10×0.55 =2.5+3+6+5.5 =17元所以购买后剩余金额的数学期望为17元；
(ii)设P(n)为当前持有n元时，最终能凑到40元的概率：
当n≥40时，已经凑够钱款， P(n)=1；
当n<10时，无法再购买刮刮卡，且金额不足40元，P(n)=0，
当持有10≤n≤30元时，购买1张刮刮卡花费10元，剩余n-10元，根据中奖结果分类讨论：
中一等奖(概率0.05)：总金额变为(n-10)+40=n+30≥40，成功；
中二等奖(概率0.1)：总金额变为(n-10)+20 = n+10；
中三等奖(概率0.3)：总金额变为(n-10)+10 =n；
未中奖(概率0.55)：总金额变为(n-10)+0 = n-10，
于是P(n)= 0.05+0.1P(n+10)+ 0.3P(n)+0.55P(n-10)，
即14P(n)=1+2P(n+10)+11P(n-10)，由题意，只需考虑n=10，20，30的情况：
①当n=30时， P(40)=1，代入公式：
14P(30)=1+2P(40)+11P(20)=1+2×1+11P20=3+11P(20)，所以 ，
②当n=20时，代入公式得到14P(20)=1+2P(30)+11P(10)，
③当n=10时， P(0)=0，代入公式：14P(10)=1+2P(20)+11P(0)=1+2P(20)，所以 ，
将①和③的表达式代入②的表达式得到： ，
于是196P(20)=14+2×(3 +11P(20)) +11×(1 +2P(20))即152P(20)=31，所以 ，
即小明最终能够成功凑到40元的概率为 ；
（2）解：设P(k)表示当前持有k元时最终能够成功挣到钱(即总金额超过初始n元)的概率：
当k > n时，已经挣到钱， P(k)=1；
当k <10时，无法再购买刮刮卡，且金额不超过n，P(k)=0；
对于10≤k≤n的情况，由(1)(ii)，同理可得：14P(k)=P(k+30)+2P(k+10)+11P(k-10) (*)，
若n≥40，先考虑n为10的倍数的情形，
对(*)式从k取10到n累加，注意到k >n时， P(k)=1，于是得到：
14[P(10)+P(20)+…+P(n)]=[P(40)+…+P(n)+3]+2[P(20)+…+P(n)+1]+11[0+P(10)+…+P(n-10)]，
化简得： 3P(10)+P(20)+P(30)+11P(n)=5，
因此5=3P(10)+P(20)+P(30)+11P(n)>11P(n)，所以 ，
若n=10，同理可得 ，
若n=20，同理有3P(10)+12P(20)=4，所以 ，
若n=30，则3P(10)+P(20)+12P(30)=5，所以 ，
所以对任意n为10的倍数的情形，都有 ，
若n不是10的倍数，假设不超过n的最大的10的倍数为n0， ，
综上，对任意 n≥10，最终成功挣到钱的概率 证毕.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） (i) 由题意，先确定变量X的取值，求出相应的概率，再根据期望公式求解即可；
(ii) 设P(n)为当前持有n元时，最终能凑到40元的概率，对n分情况讨论求解即可；
（2）设P(k)表示当前持有k元时最终能够成功挣到钱(即总金额超过初始n元)的概率，对k分情况讨论，证明即可.
1 / 1浙江省杭州第二中学、温州中学、金华一中、绍兴一中、舟山中学等校2026届高三下学期模拟预测数学试题
1．已知集合 全集U={-2，-1，0，1，2}，则= (　　)
A． B．{-2} C．{2} D．{-2，2}
【答案】D
【知识点】补集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：易知集合，则.
故答案为：D .
【分析】解绝对值不等式，结合集合的特征求得集合A，再根据集合的补集运算求解即可.
2．复数 的虚部为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则复数的虚部为.
故答案为：B .
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得复数z，再根据复数的概念判断即可.
3．对四组数据进行统计，获得以下散点图(如图)，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】散点图；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势是正相关，数据呈递减趋势是负相关，数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，故第（1）（3）正相关，（2）（4）负相关，即，又（1）与（2）中散点图更接近一条直线，得，所以.
故答案为：A .
【分析】根据散点图，以及相关系数的定义判断即可.
4．已知向量，若 则x= (　　)
A．1 B．- 1 C．16 D．- 16
【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，可得，，
若 则，解得.
故答案为：A .
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示列式即可求解即可.
5．已知函数 则(　　)
A．f(x)的最大值为 3 B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)在 上单调递增 D．f(x)的最小正零点为π/2
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：
A、函数的最大值为，故A错误；
B、函数的最小正周期，故B错误；
C、令，解得，则函数在区间上单调递增，故C正确；
D、令，得，解得或，即或，则函数的最小正零点为，故D正确.
故答案为：C .
【分析】先利用正弦、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简函数，再根据正弦型函数的性质、三角函数的最小正周期公式等知识求解逐项判断即可.
6． 已知一个圆台的上下底面半径分别为 3和 6，球O与该圆台的上下底面和侧面都相切，则球O的表面积为(　　)
A．36π B．72π C．108π D．144π
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：作出圆台的轴截面，如图所示：
由题意可得，斜边为圆台的母线长，等腰梯形的高等于球的直径，
因为球与圆台侧面相切，所以，则，，
所以，，所以，
同时，由勾股定理可得，将，，代入，得，化简求得，则球的表面积为.
故 答案为：B .
【分析】作出圆台的轴截面，根据球与圆台侧面相切，可得，则，，求得母线长，再利用勾股定理，结合求得半径，最后根据球的表面积公式求解即可.
7． 已知双曲线 的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与C的右支交于点A，B， 设双曲线的离心率为e，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意作出图形，如图所示：
由过点的直线与的右支交于点，
可得为等腰直角三角形，，可得。
可得，解得.
故答案为：B .
【分析】作出图形，由题意可得为等腰直角三角形，利用余弦定理，结合双曲线的离心率公式求解即可.
8．若曲线 上存在至少两点到直线l：x+my+2=0的距离为 1，则实数m的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：曲线两边平方整理可得，即，则曲线是以为圆心，为半径的上半圆，所有点满足，直线恒过点，圆心到直线的距离为，
要求上半圆上至少存在2个点到直线的距离为1，等价于与直线平行、距离为1的两条直线和上半圆的交点总数大于等于2，
由于曲线是上半圆，上下不对称，因此m正负对应的边界不同：
当时，直线的斜率，直线向上倾斜；
当圆心到直线的距离，即，解得，即时，直线与上半圆至少交于两个的点，满足至少两点的要求；
当时，直线的斜率，直线向下倾斜，即点到直线的距离，则，解得，此时上半圆上至少存在两个点到直线的距离为1，
则实数m的取值范围为：.
故答案为：D .
【分析】先将曲线两边平方化为圆的标准方程，确定其圆心和半径，再根据曲线C上存在至少两点 到直线7的距离为1，得到圆心到直线的距离a与点到直线l的距离的取值范围，最后根据点到直线的距离公式求解m的取值范围.
9． 某城市连续 6天的最低温度(单位：℃)为 0、2、5、5、6、6，则这组数据的(　　)
A．极差为 6 B．40%分位数为 3.5
C．平均数为 4 D．方差为 5
【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解： 某城市连续 6天的最低温度(单位：℃)为 0、2、5、5、6、6，
A、极差为，故A正确；
B、，则 分位数为5，故B错误；
C、平均数为，故C正确；
D、方差，故D正确.
故答案为：ACD .
【分析】分别计算极差，百分位数以及平均数和方差判断即可.
10．已知函数 则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的定义域为{x|x<0或x>1}
B．不等式f(x)>0的解集为
C．函数f(x)的图象为轴对称图形
D．函数f(x)的图象为中心对称图形
【答案】A,B,C
【知识点】函数的定义域及其求法；指、对数不等式的解法；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，即，
解得或，即函数的定义域为，故A正确；
由，可得或，无解，故B正确；
因为，所以函数关于对称，故C正确；
若函数为中心对称，设对称中心为，结合定义域可知对称中心的横坐标为，结合C可知，D错误.
故答案为：ABC .
【分析】根据对数函数有意义，列式求得函数的定义域即可判断A；解对数不等式即可判断B；根据函数的对称性检验，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
11．已知数列{an}的通项公式为 是其前n项的和. n，m∈N*，下列结论正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：由，可得，故A正确；
由均为递减数列，则为递增数列，故B错误；
由，可得，，
可取，可得，，则，故C错误；
，
，且，，则，故D正确.
故答案为：AD .
【分析】由题意，利用等比数列的求和公式结合分组求和法求得即可判断AB；取求解即可判断C；根据分别计算和，比较大小即可判断D.
12．二项式 的展开式中的常数项为　 　.
【答案】15
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解： 二项式 的展开式的通项公式为，
令，解得，则展开式中常数项为15.
故答案为：15 .
【分析】先写出展开式的通项，令，求得r的值，即可得展开式中的常数项的值.
13．已知函数 的图象在x=1处的切线与直线x+3y-2=0垂直，则a=　 　.
【答案】-1
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解： 函数 定义域为 ，，
由题意可得，解得.
故答案为：-1 .
【分析】求函数的定义域，以及导函数，根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为-1，列式求解即可.
14． 设矩形 ABCD(AB>AD)的周长为 24. 把△ABC 沿AC 向ADC 折叠， AB 折过去后交DC于点P，则△ADP 面积的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：如图所示：设，则， ，，，即，所以，
解得， 因为，所以，
则的面积，
当且仅当，即时等号成立，
则面积的最大值为.
故答案为： .
【分析】设，则，利用 ，可得，，利用勾股定理可得，求得x的取值范围，再表示的面积，利用基本不等式求解即可.
15．已知公差不为零的等差数列{an}中， 且a1，a4，a13成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式：
（2）若数列{bn}满足 求数列{bn}的前n项和Sn.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
因为， 所以①，
又因为成等比数列，所以 ，
即，化简得 ，
因为d≠0，所以 ②，联立①②解得 ，
则数列的通项公式是 ；
（2）解：由(1)得 ，
则 .
【知识点】等差数列的通项公式；数列的前n项和；等比中项
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意，根据等差数列的通项公式以及等比中项列式求得基本量，即可得数列的通项公式；
（2）由(1)得 ，利用裂项相消法求和即可.
16．如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的菱形， PA=1， PC=2， M是AD的中点.
（1）证明： PA⊥CM ；
（2）求直线AB 和平面PCM 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接AC，由题意△ACD是等边三角形，M是AD的中点，所以CM⊥AD，
因为AD=2，所以，
又因为∠APD=90°，所以 ，
又PC=2，则，所以CM⊥PM， 且AD∩PM=M， AD，PM 平面PAD，
所以CM⊥平面PAD，而PA 平面PAD，所以PA⊥CM；
（2）解：以M为原点，MA为x轴，MC为y轴，过M作垂直于底面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
由(1)可知平面 PAD⊥平面ABCD，
于是M(0，0，0)， A(1，0，0)， D(-1，0，0)， C(0，，0)， B(2， ，0)， P(，0，)，
，，
设平面PCM的一个法向量为，则 则y=0，令z=-1，得，
于是可得一个法向量 ，
设直线AB和平面PCM所成角为θ，
则
即直线AB和平面PCM所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接AC，根据等边三角形的性质，结合勾股定理以及线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以M为原点，MA为x轴，MC为y轴，过M作垂直于底面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解直线AB 和平面PCM 所成角的正弦值即可.
17．已知函数
（1）设f'(x)是f(x)的导函数，求f'(x)的单调区间；
（2）设x0是f(x)的极小值点，求证：
（3）若 恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：函数f(x)的定义域为， ，
易得在单调递增，在单调递减；
（2）解：由 ，
且当x→0+时， f'(x)→-∞，当x→+∞时， f'(x)→-∞，
所以存在 ，使得f(x)在(0，x0)单调递减，在(x0，1)单调递增，
其中x0满足 ，
即 ，
于是 ，
因为 所以 ；
（3）解：由题意， 恒成立，即
因为x>0，所以
设 则
于是g(x)在(0，)单调递增，在( 单调递减，
所以
所以实数a的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，对函数进行二次求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）由 ，再根据零点存在性定理可得存在，使得f(x)在(0，x0)单调递减，在(x0，1)单调递增，求得函数的极小值，其中x0满足 ，再结合的取值范围证明结论即可；
（3）分离参数，原问题转化为恒成立，设，利用导数判断函数的单调性，求最大值，即可求得实数a的取值范围.
18．已知椭圆 过点 离心率为 ，O是坐标原点.
（1）求c的方程；
（2）过C的右焦点F 作直线l与椭圆交于A，B两点，以OA，OB 为邻边作平行四边形OAQB .
(i)求点Q的轨迹方程并说明其形状；
(ii)过F的任意一条直线l'与椭圆C交于P1，P2两点，与Q的轨迹交于P3，P4两点，其中P1，P3在x轴上方，求△OP1P3和△OP2P4面积之和的范围.
【答案】（1）解：椭圆C ，椭圆过点 代入方程得到 ，
又离心率 ，所以 ，联立解得( ，
所以椭圆方程为： ；
（2）解：(i) 椭圆右焦点F(1，0)， 设直线l：x = ky + 1， A(x1，y1)， B(x2，y2)， Q(x，y)，
由平行四边形性质 所以( ，
联立l与椭圆方程 ，得到 ，
由韦达定理： ，
，消去参数k得到Q点的轨迹方程为( ，
其形状为焦点在x轴上，中心在(1，0)，长轴长2、短轴长 的一个椭圆(不包括原点)；
(ii) 设直线方程为l'：x = my +1，联立直线与椭圆 ，消元整理可得 ，
设 ，
则： ，
l'：x = my + 1和( 联立得到 即
设 则，
设 则 ，
，于是g(θ)在(0，π/6]单调递增，令θ=0和( 代入即得.
方法四： 直接关于m求导
进一步判断可得函数S(m)为偶函数，且在[0，+∞)单调递减，于是同理可得值域.
综上，所求面积和的范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率，以及椭圆过点求得基本量，即可得椭圆方程；
（2）(i)易知椭圆右焦点， 设直线l：x = ky + 1， A(x1，y1)， B(x2，y2)， Q(x，y)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合平行四边形的向量关系推导轨迹方程并判定几何形态；
(ii)联立直线与两条曲线，利用韦达定理、换元法，以及利用导数判断函数的单调性求面积的取值范围即可.
19．某景点周边文创店推出了一款单价 10元的“幸运文创刮刮卡”，每购买一张即可参与抽奖，奖项设置如下(未中奖则无奖金)：
①一等奖：奖金 40元，中奖概率 5%；
②二等奖：奖金 20元，中奖概率 10%；
③三等奖：奖金 10元，中奖概率 30%.
（1）小明初始有 20元零花钱.
(i)若他购买 1张刮刮卡，求抽奖后剩余金额的数学期望；
(ii)小明想要购买一款定价 40元的航模配件，他打算通过反复购买刮刮卡的方式凑齐钱款，求他最终能够凑齐钱款的概率.
（2）若小明初始有n元(n为正整数且n≥10)，他采取的购买策略是：一旦当前总金额超过初始的n元就立刻停止购买.设他最终能够成功挣到钱的概率为p，求证：
【答案】（1）解：(i)小明初始有20元，购买1张刮刮卡花费10元，因此抽奖前已支出10元，剩余10元，假设抽奖后剩余金额为X：
中一等奖(40元)：剩余金额X =20-10+40=50元， P(X =50)=0.05；
中二等奖(20元)：剩余金额X =20-10+20=30元， P(X =30)=0.1；
中三等奖(10元)：剩余金额X =20-10+10=20元， P(X =20)=0.3；
未中奖：剩余金额X =20-10=10元， P(X =10)=0.55，
E(X)=50×0.05+30×0.1+20×0.3+10×0.55 =2.5+3+6+5.5 =17元所以购买后剩余金额的数学期望为17元；
(ii)设P(n)为当前持有n元时，最终能凑到40元的概率：
当n≥40时，已经凑够钱款， P(n)=1；
当n<10时，无法再购买刮刮卡，且金额不足40元，P(n)=0，
当持有10≤n≤30元时，购买1张刮刮卡花费10元，剩余n-10元，根据中奖结果分类讨论：
中一等奖(概率0.05)：总金额变为(n-10)+40=n+30≥40，成功；
中二等奖(概率0.1)：总金额变为(n-10)+20 = n+10；
中三等奖(概率0.3)：总金额变为(n-10)+10 =n；
未中奖(概率0.55)：总金额变为(n-10)+0 = n-10，
于是P(n)= 0.05+0.1P(n+10)+ 0.3P(n)+0.55P(n-10)，
即14P(n)=1+2P(n+10)+11P(n-10)，由题意，只需考虑n=10，20，30的情况：
①当n=30时， P(40)=1，代入公式：
14P(30)=1+2P(40)+11P(20)=1+2×1+11P20=3+11P(20)，所以 ，
②当n=20时，代入公式得到14P(20)=1+2P(30)+11P(10)，
③当n=10时， P(0)=0，代入公式：14P(10)=1+2P(20)+11P(0)=1+2P(20)，所以 ，
将①和③的表达式代入②的表达式得到： ，
于是196P(20)=14+2×(3 +11P(20)) +11×(1 +2P(20))即152P(20)=31，所以 ，
即小明最终能够成功凑到40元的概率为 ；
（2）解：设P(k)表示当前持有k元时最终能够成功挣到钱(即总金额超过初始n元)的概率：
当k > n时，已经挣到钱， P(k)=1；
当k <10时，无法再购买刮刮卡，且金额不超过n，P(k)=0；
对于10≤k≤n的情况，由(1)(ii)，同理可得：14P(k)=P(k+30)+2P(k+10)+11P(k-10) (*)，
若n≥40，先考虑n为10的倍数的情形，
对(*)式从k取10到n累加，注意到k >n时， P(k)=1，于是得到：
14[P(10)+P(20)+…+P(n)]=[P(40)+…+P(n)+3]+2[P(20)+…+P(n)+1]+11[0+P(10)+…+P(n-10)]，
化简得： 3P(10)+P(20)+P(30)+11P(n)=5，
因此5=3P(10)+P(20)+P(30)+11P(n)>11P(n)，所以 ，
若n=10，同理可得 ，
若n=20，同理有3P(10)+12P(20)=4，所以 ，
若n=30，则3P(10)+P(20)+12P(30)=5，所以 ，
所以对任意n为10的倍数的情形，都有 ，
若n不是10的倍数，假设不超过n的最大的10的倍数为n0， ，
综上，对任意 n≥10，最终成功挣到钱的概率 证毕.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） (i) 由题意，先确定变量X的取值，求出相应的概率，再根据期望公式求解即可；
(ii) 设P(n)为当前持有n元时，最终能凑到40元的概率，对n分情况讨论求解即可；
（2）设P(k)表示当前持有k元时最终能够成功挣到钱(即总金额超过初始n元)的概率，对k分情况讨论，证明即可.
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