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七年级数学（人教版）下学期期末压轴题训练
第七章 相交线与平行线
一、选择题
1．如图，O为直线AB上一点，，平分，平分，平分，下列结论：①；②与互补；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，直线AB与CD相交于点O，，，OE平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：；；设，则；，其中，正确的有（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点，，，对于下面四个结论：
，；
；
四边形的周长比三角形的周长大；
四边形的面积是．
其中，正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
7．同一平面内，直线，相交于点，是的角平分线，，于点，则的度数是_______．
8．如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论：
①；
②与互补；
③；
④．
上述结论中，正确结论的序号有________．
9．如图所示，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论，其中正确的结论有________．
①；②；③；④．
10．如图，，，分别平分，，且其所在直线交于点，则与的数量关系为______．
11．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍．不得不调整铺设路线．新的铺设路线在的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证___________．
12．下列命题：①相等的角是对顶角；②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1；③已知关于的二元一次方程组，不论取什么有理数，的值始终不变；④已知正实数的平方根是和，若，则；⑤若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5；
其中真命题是：___________．（请填序号）
13．把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为______．
14．如图，两个相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿方向平移，距离为线段的长，，，，则阴影部分的面积为____________．
三、解答题
15．利用平行线的相关知识，七年级的聪聪做了一个潜望镜，潜望镜中的两面镜子，光线经过镜子反射后，得到光线；光线经过镜子反射后，得到光线进入聪聪的眼中，根据光的反射原理，始终有，．
(1)如图1，光线与光线互相平行吗？请说明理由；
(2)如图2，受聪聪影响，明明思考后发现，当时，镜子和的位置可以发生改变，且，和有不变的数量关系，请求出，和之间的数量关系；
(3)如图3，受启发的丹丹，对聪聪设计的潜望镜上方的镜筒和镜子进行改造，使其成为可调节的潜望镜了，以便更灵活地上下观察，此时，若入射光线和反射光线的夹角为，请直接写出与的数量关系．
16．如图1，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，．
(1)如图1，若，则______；
(2)如图2，在直线上方平面内取一点，直线交于，满足，，求．
(3)如图3，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，求的度数．
17．已知：，，E，G是上的点，F，H是上的点．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数；
(3)如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值．
18．已知直线，直线分别交于点．
【问题提出】
(1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______；
【问题迁移】
(2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数；
【问题拓展】
如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系．
参考答案
1．C
解：①平分，平分，，
，，
，
结论①成立；
②平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的度数未知,
和不一定互补，
结论②不成立；
③为直线AB上一点，
，
，
，
结论③成立；
④平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
结论④成立；
故选：C．
2．D
解：设，则，
∴，
．
平分，
．
，
，即，
解得，则，
．
3．C
解：∵平分，
∴，故正确，符合题意；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故正确，符合题意；
如图，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，故错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
由知，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴，故正确，符合题意；
综上可知，正确．
4．D
解：∵，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
当点P在之间时，如图，过点P作，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，即，故A选项不符合题意；
当点P在的下方时，如图，过点P作，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，即，故B选项不符合题意；
当点P在的上方时，如图，过点P作，此时，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，故C选项不符合题意；D选项符合题意；
5．C
解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作，
由平移得到，
，
，，
，
①当时，
设，则，
∵，
，，
，
，
解得：，
∴ ，
②当时，
设，则，
∵，
，，
，
，
解得：，
∴ ，
第二种情况：当点在外时，过点C作，
由平移得到，
，
，，
∴，
①当时，
设，则，
∵，
，，
，
，
解得：，
∴ ，
②当时，由图可知，，故不存在这种情况，
综上所述，或或，
∴不可能的值为．
6．A
解：由平移的性质可知，，，故正确；
，
．
由平移可知，，
，故正确；
四边形的周长为，
的周长为，
由平移可知，， ，
周长之差 ，故正确；
，
．
，，
，
，
四边形的面积是，故正确．
综上所述，正确的结论有个．
7．或
解：情况一：在内部，
设，则，
∵平分，
∴，
由，
得，
即，
∵，
∴，
则，
因此；
情况二：在内部，
同上，，
∴（对顶角相等），
∵，
∴，
因此；
∴的度数有两种可能：或．
8．①②④
解：∵平分，平分，，
∴，即，
∴，故①正确；
∵平分，，
∴，
∴，
∴与互补，故②正确；
∵，故③不正确；
∵平分，平分，
∴，，
∴，故④正确；
答案为：①②④．
9．①②④
解：∵，
∴，故①正确；
如图，作，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
设，，则，，
如图，作，则，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∴，无法判断是否为，故③错误；
，故④正确；
综上所述，正确的有①②④．
10．
解：分别平分，，
，，
设 ， ，
如下图，过点M作，则，
，
，
如上图，过点N作，则，
，
，
，即．
11．
解：如下图所示，过点作，，
则有，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
12．②③④
解：①对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，所以①是假命题；
②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1，即②是真命题．
③解方程组可得：，则，
所以不论取什么有理数，的值始终不变，③是真命题．
④因为正实数的平方根是和，
所以，即，且，
因为，
所以，即，
因为正实数，则，④是真命题．
⑤：设，
当时，；
当时，；
当时，．
所以的最小值是3，
若不等式对一切实数a都成立，则，即m的最大值是3，则⑤是假命题．
故答案为：②③④．
13．
解：∵大长方形的周长为52，阴影部分①和②的周长之和为40，
∴中间重叠部分长方形的周长为，
由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长，
∴甲、乙的周长和为，
∵甲和乙的周长相等，
∴甲的周长为，
∴正方形甲的边长为，
14．18
解：∵，，
∴．
由平移的性质，得，，
∴．
15．（1）解：，理由如下：
，
，
，，
，
，，
，
；
（2）解：过P作．
，
，
，
，
，
∴数量关系为：，理由如上；
（3）解：与的数量关系是：．
由题意得，，
过P作，过作，
，，，，
，，
∵，，
∴，
整理得，
∴，
整理得．
16．（1）解：设，
，
，
，，
，即，
解得：，
；
（2）解：如下图所示，过点作，
设，，
，，，
，即，
，即，
，，
，，
，，
，，，
，
，
；
（3）解：设，，
平分，
，
，
，
，
，，
，即，
，
平分，，
，
，
，
，
如下图所示，当时，则，
，
解得：，
即；
如下图所示，当时，则，
；
如下图所示，当时，则，
，，，
即，
解得：，
，
当时，
则，
即，
解得：（不符合实际，舍去）；
综上，当四边形的一边与平行时，的度数为或或．
17．（1）证明：如图①，
，
，
，
，
；
（2）解：由题意得：，当时，运动停止．
由得，
①当时，，
解得，
，
，
②当时，，
解得，
，
，
综上所述，的度数为或；
（3）解：，
设，则，
，
，
平分，
，
，
，
，
平分，
，
过点作，
，
，
，
，
，
，
．
18．（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴；
（3）解：设，
过R作，过Q作，
则，，
第一种情况：如图，当点Q在线段上时，
则，，
则，
∴，，
∴，
∴，
∴；
第二种情况：如图，当点Q在点E上方时，
此时，
则，
∴，
∵，
∴；
第三种情况：如图，当点Q在点F下方时，
则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
综上，或．

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