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四川省达州市渠县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题（下列各题给出的四个答案选项中，只有一个符合题目要求，请把符合要求的答案代号填入下表对应空格内，本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知a＜b，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＜b+3 C．3a＜3b D．﹣3a＜﹣3b
3．若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（　　）
A．十边形 B．八边形 C．六边形 D．四边形
4．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．某茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如图，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶住屋顶处（连接处的损耗不计），这根木头的长度可能是（　　）
A．5米 B．12米 C．8米 D．16米
6．中华优秀传统文化是中华民族的瑰宝，为弘扬古代科技智慧，我市某校为各班采购《天工开物》和《齐民要术》科普类读本若干套．已知每套《天工开物》的价格比每套《齐民要术》的价格贵30元，用1800元购买《天工开物》的套数是用600元购买《齐民要术》套数的2倍，求每套《齐民要术》的价格．若设每套《齐民要术》的价格为x元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形
B．等腰三角形两底角的平分线相等
C．“对顶角相等”的逆命题是真命题
D．用反证法证明“”时应假设“”
8．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（　　）
A．且 B． C． D．且
9．一次函数与的图象如图，则的解集是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点恰好落在边上的处，再将绕点顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点．设交于点，连接．有如下结论：①；②；③的长度是；④．上述结论中，正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，把最后答案直接填写在答题卡相应的横线上）
11．若分式的值为0，则　 　．
12．分解因式：　 　 ．
13．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是　 　．
14．如图，AD是的角平分线，，垂足为E，交ED的延长线于点F，BC恰好平分，．若，则　 　．
15．如图，在，，，，点D在线段上，点E在线段的延长线上，且，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共10小题，满分90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（1）解不等式组：；
（2）解分式方程：．
17．化简求值：，并从，0，1三个数中选一个合适的数代入求值．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）平移，使得点的对应点的坐标为，画出平移后的，并写出点的对应点的坐标；
（2）画出关于原点的中心对称图形．
19．某科技公司正在研发两款神经形态计算机，一款是基于传统半导体工艺的A型计算机，另一款是基于新兴材料的B型计算机．在一次图像识别测试任务中，A型计算机处理张图像需要的时间比B型计算机处理同样数量的图像多5分钟．已知两款计算机处理图像的速度恒定，B型计算机处理图像的速度是A型计算机的8倍．现有张图像要紧急处理，若使用B型计算机，判断能否在分钟内处理完，并说明理由．
20．如图，四边形为平行四边形．
（1）过点作直线的垂线，垂足为点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）若，试探究与的数量关系，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
21．如图，在中，于点D，点E，F分别是的中点，点O是的中点，的延长线交线段于点G，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求的长．
22．阅读理解：
转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的：解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．例如：解方程．
解：两边平方得：．
解得：，
经检验，是原方程的根，
代入原方程中不合理，是原方程的增根．
原方程的根是．
解决问题：
（1）已知关于的方程有一个根是，那么的值为____；
（2）仿照以上方法，解方程：；
（3）代数式的值能否等于8？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
23．2025年，国家卫健委开展持续实施“体重管理年”行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．为响应该政策，某商场计划购进甲、乙两种品牌的足球．已知甲种品牌足球的进价比乙种品牌足球的进价多65元，用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌足球的进价各多少元？
（2）商场计划每个甲种品牌足球的售价为198元，每个乙种品牌足球的售价为100元，商场决定同时购进甲、乙两种品牌足球共100个，假设能全部售出．若商场用不低于10100元且不高于10425元的资金购入甲、乙两种品牌的足球．请你帮商场设计利润最大的进货方案，并求出此时的最大利润，说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线相交于点．
（1）求m和b的值；
（2）若直线与x轴相交于点D，动点P以每秒2个单位的速度从点D开始沿x轴运动至点A停止，设点P的运动时间为t秒．当的面积为10时，求t的值；
（3）若平面内有一点Q，当以点A、C、D、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的Q点的坐标．
25．综合与实践
（1）问题初探
如图1，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点D旋转，得到，则的取值范围可解．请直接写出的取值范围．
（2）问题解决
如图2，P为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小．（提示：将绕点B顺时针旋转）
（3）问题拓展
如图3，在正方形中，E，F分别为，边上的点，满足，若，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将图形沿某一点旋转后能够与原图形重合的图形为中心对称图形，再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，正确；
B、∵a＜b，∴a+3＜b+3，正确；
C、∵a＜b，∴3a＜3b，正确；
D、∵a＜b，∴﹣3a＞﹣3b，故D选项错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用不等式的性质1，可对A、B作出判断；利用不等式的性质2，可对C作出判断；利用不等式的性质3，可对D作出判断.
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解；设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得：，
∴该多边形的边数为8，即该多边形为八边形，
故答案为：B．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为，列方程求解即可.
4．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
C、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用提公因式法可对A、B作出判断；利用完全平方公式的结构特点，可对C作出判断；利用平方差公式的特点，可对D作出判断.
5．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，作于点，
∵米，米，
∴米，
米，
，
∴，
故这根木头需要长度可能是8米，
故答案为：C．
【分析】过点A作于点，利用等腰三角形三线合一的性质可可求出BE的长，然后利用勾股定理求出AE的长，再根据，即可得到符合要求的答案．
6．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意得：．
故答案为：．
【分析】设每套《齐民要术》的价格为x元，可得出每套《天工开物》的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用1800元购买《天工开物》的套数是用600元购买《齐民要术》套数的2倍，即可得出关于x的分式方程.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；反证法；轴对称图形；逆命题
【解析】【解答】解：A：平行四边形不一定是轴对称图形．轴对称图形需存在一条直线使其对折后重合，而普通平行四边形无此性质（如矩形、菱形为特殊平行四边形，具有对称轴，但题目未限定），故A不符合题意；
B：等腰三角形两底角的平分线相等，
等腰三角形两底角相等，作底角的平分线后，平分后的角仍相等．
可构造全等三角形证明：设等腰中，作底角和的平分线．
由可证，故．故B符合题意；
C、原命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，
这个逆命题是不成立的，因为存在很多相等的角并不是对顶角，比如平行线截得的同位角相等、等腰三角形的两个底角相等，它们都不是对顶角，因此逆命题为假，故C不符合题意；
D、该选项中反证法的假设是错误的。
反证法的第一步，需要假设原命题结论的反面成立，“”的反面应该是“”，而不是“”，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用轴对称图形的定义可对A作出判断；利用等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，可对B作出判断；再根据相等的角不一定是对顶角，可对C作出判断；再根据反证法，可对D作出判断.
8．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：去分母得，
解之：，
∵关于x的分式方程的解是正数，
∴，且，
即且，
∴且，
故答案为：A．
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程的解为正数可得到关于x的不等式组，然后求解即可.
9．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：∵kx+b-(x+a)＞0
∴kx+b＞x+a
∴从图象可知该不等式的解集是．
故答案为：C．
【分析】由于kx+b-(x+a)＞0可变形为kx+b＞x+a，故从函数的角度看， 求不等式kx+b-(x+a)＞0的解集就是求一次函数y1=kx+b图象在y2=x+a的图象上方的部分对应的x的取值范围，结合交点横坐标即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
由折叠得：，
四边形是正方形，
，
，
是的中点，
．故①正确；
在中
，
如图，取的中点，连接，
，
，
是等边三角形，
，
，
，故②正确；
在中
，
由旋转得：，
，故③正确；
四边形是正方形，
，
，，
，
，故④正确．
①②③④均正确．
故答案为：D．
【分析】利用矩形的判定和性质可推出四边形ADED'是矩形，利用折叠的性质可求出AD'的长，利用正方形的性质及线段中点的定义可求出DF的长，可对①作出判断；再利用勾股定理求出EF的长，取的中点，连接，可求出DM'的长，可证得△D'MF是等边三角形，可求出∠D'FE的度数，即可动点∠D'EF的长，即可求出α的度数。可对②作出判断；在中，可求出AE的长，利用旋转的性质可求出AE'的长，即可求出A'F的长，可对③作出判断；利用正方形及等腰三角形的性质可求出∠A'AE的度数，据此可求出∠A'AF的度数，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
11．【答案】-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故答案为：-1．
【分析】由分式值为零的条件“分子等于零，且分母不为零”建立不等式组，求解即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行分解因式.
13．【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为3时，3+3=6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6=9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为=3+6+6=15．
故答案为：15．
【分析】先根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义得到三角形的三个边，再计算等腰三角形的周长即可.
14．【答案】9
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DC=BD，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF（ASA），
∴DE=DF，CE=BF=3，
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，
∴AB=3BF=9，
故答案为：9．
【分析】根据平行线的性质求出∠C=∠CBF，再利用ASA证明△CDE≌△DBF，最后根据全等三角形的性质计算求解即可.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接、、，以和为邻边作平行四边形，
在，，，
，
，
，，
由轴对称的性质可知，，，，，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
当、、三点共线时，有最小值，为的长，
，，
，
，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】作点关于的对称点，连接、、，以和为邻边作平行四边形，利用30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出AC，BC，AB的长，再利用轴对称的性质可推出△ACG是等边三角形，可求出CG的长；再利用平行四边形的性质可证得，，，据此可推出CE+CD≥CH，当、、三点共线时，有最小值，为的长；然后利用勾股定理可求出CH的长，即可求解.
16．【答案】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
故原不等式组的解集为；
（2）解：，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集.
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解方程求出x的值，然后检验即可.
17．【答案】解：
．
根据分式有意义的条件有：，
即有，
则在，0，1中，只能取，
把代入，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号里的分式加法通分计算，同时将除法转化为乘法运算，约分化简，然后代入使分式有意义的a的值，代入化简后的代数式进行计算.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求，；
（2）解：如图，即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用点的坐标平移规律可知点的对应点，由此可得到向左平移2个单位，向下平移4个单位得到，分别作出点、、的对应点、、，然后画出.
（2）先作出点、、的对应点、、，然后画出.
（1）解：如图，即为所求，；
（2）解：如图，即为所求．
19．【答案】解：使用型计算机，能在分钟内处理完，理由如下：
设型计算机处理图像的速度是张/分钟，则型计算机处理图像的速度是张/分钟．
由题意可知，．
解得．
经检验：是原方程的解且符合实际意义．
所以．
因为，，
所以使用型计算机，能在分钟内处理完张图像
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】 使用B型计算机，能在分钟内处理完，理由如下： 设A型计算机处理图像的速度是x张/分钟， 则B型计算机处理图像的速度是8x张/分钟，根据工作总量除以工作时间等于工作速度及 “在一次图像识别测试任务中，A型计算机处理张图像需要的时间比B型计算机处理同样数量的图像多5分钟”列出分式方程并检验后再算出8x的值，进而用2000÷8x的商与15比较即可得出结论.
20．【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）解：结论：．
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据尺规作垂线的方法作图即可.
（2）利用平行四边形的性质可证得，利用平行线的性质可求出∠DCE的度数，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可证得CD=2CE，据此可证得结论.
（1）解：图形如图所示：
（2）解：结论：．
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）证明：∵点E，F分别是的中点，∴是的中位线，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵，∴，
∵E是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理及平行线的性质可推出∠EFO=∠GDO，再利用ASA可证得△OEF≌△OGD，利用全等三角形的性质可推出EF=GD，据此可证得结论.
（2）利用勾股定理求出AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线性质可求出DE的长，然后利用平行四边形的性质求出FG的长.
（1）证明：∵点E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴．
22．【答案】（1）2
（2）解：，
两边平方得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，代入原方程中不合理，是原方程的增根，是原方程的根，
∴原方程的根是；
（3）解：不能，理由如下：
令，
原方程变形得，
两边平方得，
整理得，
两边平方得，
此方程无解，
∴代数式的值不等于8．
【知识点】无理方程；转化思想
【解析】【解答】（1）解：把代入方程得，
两边平方得，
解得，
经检验，是方程的解；
故答案为：2；
【分析】（1）根据方程解的定义把x=1代入方程，可得关于字母a的无理方程，然后模仿题干提供的解无理方程的方法求解即可得出a的值；
（2）模仿题干提供的解无理方程的方法求解即可；
（3）不能，理由如下：利用反证法，令所给代数式的值为8，并将方程变形为，两边平方后整理，再平方后方法方程无解，从而即可得出结论．
（1）解：把代入方程得，
两边平方得，
解得，
经检验，是方程的解；
（2）解：，
两边平方得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，代入原方程中不合理，是原方程的增根，是原方程的根，
∴原方程的根是；
（3）解：不能．
，
原方程变形得，
两边平方得，
整理得，
两边平方得，
此方程无解，
∴代数式的值不等于8．
23．【答案】（1）解：设乙种品牌足球的进价为a元，则甲种品牌足球的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲种品牌足球的进价为140元，乙种品牌足球的进价为75元；
（2）解：利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元，理由如下：
设购进甲种品牌足球个，则购进乙种品牌足球（）个，
根据题意得：，
解得：，
为非负整数，
，，，，，，
设利润为元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，值最大，最大，
此时，，
利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元.
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）通过设乙种品牌足球进价为a元，则则甲种品牌足球的进价为(a+65)元，利用总价除以单价等于数量及 用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同列出分式方程，求解并家那一年后再求出a+65即可得出答案；；
（2）设购进甲种品牌足球x个，则购进乙种品牌足球(100-x)个，根据单价乘以数量等于总价及购进x个甲品牌足球的费用与购进(100-x)个乙种品牌足球的费用的和不低于10100元且不高于10425元列出不等式组确定甲种足球数量取值范围，再根据单个利润乘以销售数量等于总利润及销售x个甲品牌足球的利润与销售(100-x)个乙品牌足球的利润和等于商场获取的总利润建立出函数表达式，依据函数性质求出最大利润及对应的进货方案．
（1）解：设乙种品牌足球的进价为元，则甲种品牌足球的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲种品牌足球的进价为140元，乙种品牌足球的进价为75元；
（2）解：利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元，
理由如下：
设购进甲种品牌足球个，则购进乙种品牌足球（）个，
根据题意得：，
解得：，
为非负整数，
，，，，，，
设利润为元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，值最大，最大，
此时，，
利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元．
24．【答案】（1）解：当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
将点代入，
，
解得
（2）解：，
，
，
，
解得
（3）点坐标为或或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】（3） 解：设，
当为平行四边形的对角线时，，，
则，
；
当为平行四边形的对角线时，，，
则，
；
当为平行四边形的对角线时，，，
则，
；
综上所述：点坐标为或或
【分析】（1）利用一次函数的解析式 可求出点B、A的坐标，再求出点C的坐标，然后将点C的坐标代入直线 ，可求出b的值.
（2）利用已知条件可求出点D的坐标，利用点的运动方向及速度可表示出点P的坐标，然后利用三角形的面积公式可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
（3）设，分情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；分别可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到符合题意的点Q的坐标.
（1）解：当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
将点代入，
，
解得；
（2）解：，
，
，
，
解得；
（3）解：设，
当为平行四边形的对角线时，，，
则，
；
当为平行四边形的对角线时，，，
则，
；
当为平行四边形的对角线时，，，
则，
；
综上所述：点坐标为或或．
25．【答案】（1）；
（2）解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，
由旋转可知，，
，
是等边三角形，
，
在中，
，，
，
，
，
，
（3）解：将绕点A顺时针旋转得到，
由旋转可知，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】（1）解：如图，将绕点D旋转，得到，连接，
由旋转，，
∴四边形是平行四边形，
，，
又，
，
得，
即，
；
故答案为：【分析】本题以“旋转”为核心方法，分三个层次探究几何问题。
（1）通过旋转构造平行四边形，利用三角形三边关系求中线取值范围；
（2）通过旋转构造等边三角形，将三条共点线段转化到同一三角形中，再运用勾股定理求角度；
（3）通过旋转构造全等三角形，将 BE+DF 转化为一条线段，结合已知角度和边长求出三角形面积，体现了旋转变换在几何最值与角度求解中的重要作用。
（1）解：如图，将绕点D旋转，得到，连接，
由旋转，，
∴四边形是平行四边形，
，，
又，
，
得，
即，
；
（2）如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，
由旋转可知，，
，
是等边三角形，
，
在中，
，，
，
，
，
，
（3）将绕点A顺时针旋转得到，
由旋转可知，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，，
．
1 / 1四川省达州市渠县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题（下列各题给出的四个答案选项中，只有一个符合题目要求，请把符合要求的答案代号填入下表对应空格内，本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将图形沿某一点旋转后能够与原图形重合的图形为中心对称图形，再对各选项逐一判断即可.
2．已知a＜b，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＜b+3 C．3a＜3b D．﹣3a＜﹣3b
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，正确；
B、∵a＜b，∴a+3＜b+3，正确；
C、∵a＜b，∴3a＜3b，正确；
D、∵a＜b，∴﹣3a＞﹣3b，故D选项错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用不等式的性质1，可对A、B作出判断；利用不等式的性质2，可对C作出判断；利用不等式的性质3，可对D作出判断.
3．若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（　　）
A．十边形 B．八边形 C．六边形 D．四边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解；设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得：，
∴该多边形的边数为8，即该多边形为八边形，
故答案为：B．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为，列方程求解即可.
4．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
C、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用提公因式法可对A、B作出判断；利用完全平方公式的结构特点，可对C作出判断；利用平方差公式的特点，可对D作出判断.
5．某茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如图，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶住屋顶处（连接处的损耗不计），这根木头的长度可能是（　　）
A．5米 B．12米 C．8米 D．16米
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，作于点，
∵米，米，
∴米，
米，
，
∴，
故这根木头需要长度可能是8米，
故答案为：C．
【分析】过点A作于点，利用等腰三角形三线合一的性质可可求出BE的长，然后利用勾股定理求出AE的长，再根据，即可得到符合要求的答案．
6．中华优秀传统文化是中华民族的瑰宝，为弘扬古代科技智慧，我市某校为各班采购《天工开物》和《齐民要术》科普类读本若干套．已知每套《天工开物》的价格比每套《齐民要术》的价格贵30元，用1800元购买《天工开物》的套数是用600元购买《齐民要术》套数的2倍，求每套《齐民要术》的价格．若设每套《齐民要术》的价格为x元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意得：．
故答案为：．
【分析】设每套《齐民要术》的价格为x元，可得出每套《天工开物》的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用1800元购买《天工开物》的套数是用600元购买《齐民要术》套数的2倍，即可得出关于x的分式方程.
7．下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形
B．等腰三角形两底角的平分线相等
C．“对顶角相等”的逆命题是真命题
D．用反证法证明“”时应假设“”
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；反证法；轴对称图形；逆命题
【解析】【解答】解：A：平行四边形不一定是轴对称图形．轴对称图形需存在一条直线使其对折后重合，而普通平行四边形无此性质（如矩形、菱形为特殊平行四边形，具有对称轴，但题目未限定），故A不符合题意；
B：等腰三角形两底角的平分线相等，
等腰三角形两底角相等，作底角的平分线后，平分后的角仍相等．
可构造全等三角形证明：设等腰中，作底角和的平分线．
由可证，故．故B符合题意；
C、原命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，
这个逆命题是不成立的，因为存在很多相等的角并不是对顶角，比如平行线截得的同位角相等、等腰三角形的两个底角相等，它们都不是对顶角，因此逆命题为假，故C不符合题意；
D、该选项中反证法的假设是错误的。
反证法的第一步，需要假设原命题结论的反面成立，“”的反面应该是“”，而不是“”，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用轴对称图形的定义可对A作出判断；利用等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，可对B作出判断；再根据相等的角不一定是对顶角，可对C作出判断；再根据反证法，可对D作出判断.
8．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（　　）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：去分母得，
解之：，
∵关于x的分式方程的解是正数，
∴，且，
即且，
∴且，
故答案为：A．
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程的解为正数可得到关于x的不等式组，然后求解即可.
9．一次函数与的图象如图，则的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：∵kx+b-(x+a)＞0
∴kx+b＞x+a
∴从图象可知该不等式的解集是．
故答案为：C．
【分析】由于kx+b-(x+a)＞0可变形为kx+b＞x+a，故从函数的角度看， 求不等式kx+b-(x+a)＞0的解集就是求一次函数y1=kx+b图象在y2=x+a的图象上方的部分对应的x的取值范围，结合交点横坐标即可得出答案.
10．如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点恰好落在边上的处，再将绕点顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点．设交于点，连接．有如下结论：①；②；③的长度是；④．上述结论中，正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
由折叠得：，
四边形是正方形，
，
，
是的中点，
．故①正确；
在中
，
如图，取的中点，连接，
，
，
是等边三角形，
，
，
，故②正确；
在中
，
由旋转得：，
，故③正确；
四边形是正方形，
，
，，
，
，故④正确．
①②③④均正确．
故答案为：D．
【分析】利用矩形的判定和性质可推出四边形ADED'是矩形，利用折叠的性质可求出AD'的长，利用正方形的性质及线段中点的定义可求出DF的长，可对①作出判断；再利用勾股定理求出EF的长，取的中点，连接，可求出DM'的长，可证得△D'MF是等边三角形，可求出∠D'FE的度数，即可动点∠D'EF的长，即可求出α的度数。可对②作出判断；在中，可求出AE的长，利用旋转的性质可求出AE'的长，即可求出A'F的长，可对③作出判断；利用正方形及等腰三角形的性质可求出∠A'AE的度数，据此可求出∠A'AF的度数，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，把最后答案直接填写在答题卡相应的横线上）
11．若分式的值为0，则　 　．
【答案】-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故答案为：-1．
【分析】由分式值为零的条件“分子等于零，且分母不为零”建立不等式组，求解即可.
12．分解因式：　 　 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行分解因式.
13．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是　 　．
【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为3时，3+3=6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6=9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为=3+6+6=15．
故答案为：15．
【分析】先根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义得到三角形的三个边，再计算等腰三角形的周长即可.
14．如图，AD是的角平分线，，垂足为E，交ED的延长线于点F，BC恰好平分，．若，则　 　．
【答案】9
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DC=BD，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF（ASA），
∴DE=DF，CE=BF=3，
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，
∴AB=3BF=9，
故答案为：9．
【分析】根据平行线的性质求出∠C=∠CBF，再利用ASA证明△CDE≌△DBF，最后根据全等三角形的性质计算求解即可.
15．如图，在，，，，点D在线段上，点E在线段的延长线上，且，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接、、，以和为邻边作平行四边形，
在，，，
，
，
，，
由轴对称的性质可知，，，，，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
当、、三点共线时，有最小值，为的长，
，，
，
，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】作点关于的对称点，连接、、，以和为邻边作平行四边形，利用30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出AC，BC，AB的长，再利用轴对称的性质可推出△ACG是等边三角形，可求出CG的长；再利用平行四边形的性质可证得，，，据此可推出CE+CD≥CH，当、、三点共线时，有最小值，为的长；然后利用勾股定理可求出CH的长，即可求解.
三、解答题（本大题共10小题，满分90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（1）解不等式组：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
故原不等式组的解集为；
（2）解：，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集.
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解方程求出x的值，然后检验即可.
17．化简求值：，并从，0，1三个数中选一个合适的数代入求值．
【答案】解：
．
根据分式有意义的条件有：，
即有，
则在，0，1中，只能取，
把代入，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号里的分式加法通分计算，同时将除法转化为乘法运算，约分化简，然后代入使分式有意义的a的值，代入化简后的代数式进行计算.
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）平移，使得点的对应点的坐标为，画出平移后的，并写出点的对应点的坐标；
（2）画出关于原点的中心对称图形．
【答案】（1）解：如图，即为所求，；
（2）解：如图，即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用点的坐标平移规律可知点的对应点，由此可得到向左平移2个单位，向下平移4个单位得到，分别作出点、、的对应点、、，然后画出.
（2）先作出点、、的对应点、、，然后画出.
（1）解：如图，即为所求，；
（2）解：如图，即为所求．
19．某科技公司正在研发两款神经形态计算机，一款是基于传统半导体工艺的A型计算机，另一款是基于新兴材料的B型计算机．在一次图像识别测试任务中，A型计算机处理张图像需要的时间比B型计算机处理同样数量的图像多5分钟．已知两款计算机处理图像的速度恒定，B型计算机处理图像的速度是A型计算机的8倍．现有张图像要紧急处理，若使用B型计算机，判断能否在分钟内处理完，并说明理由．
【答案】解：使用型计算机，能在分钟内处理完，理由如下：
设型计算机处理图像的速度是张/分钟，则型计算机处理图像的速度是张/分钟．
由题意可知，．
解得．
经检验：是原方程的解且符合实际意义．
所以．
因为，，
所以使用型计算机，能在分钟内处理完张图像
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】 使用B型计算机，能在分钟内处理完，理由如下： 设A型计算机处理图像的速度是x张/分钟， 则B型计算机处理图像的速度是8x张/分钟，根据工作总量除以工作时间等于工作速度及 “在一次图像识别测试任务中，A型计算机处理张图像需要的时间比B型计算机处理同样数量的图像多5分钟”列出分式方程并检验后再算出8x的值，进而用2000÷8x的商与15比较即可得出结论.
20．如图，四边形为平行四边形．
（1）过点作直线的垂线，垂足为点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）若，试探究与的数量关系，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）解：结论：．
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据尺规作垂线的方法作图即可.
（2）利用平行四边形的性质可证得，利用平行线的性质可求出∠DCE的度数，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可证得CD=2CE，据此可证得结论.
（1）解：图形如图所示：
（2）解：结论：．
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．如图，在中，于点D，点E，F分别是的中点，点O是的中点，的延长线交线段于点G，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵点E，F分别是的中点，∴是的中位线，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵，∴，
∵E是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理及平行线的性质可推出∠EFO=∠GDO，再利用ASA可证得△OEF≌△OGD，利用全等三角形的性质可推出EF=GD，据此可证得结论.
（2）利用勾股定理求出AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线性质可求出DE的长，然后利用平行四边形的性质求出FG的长.
（1）证明：∵点E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴．
22．阅读理解：
转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的：解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．例如：解方程．
解：两边平方得：．
解得：，
经检验，是原方程的根，
代入原方程中不合理，是原方程的增根．
原方程的根是．
解决问题：
（1）已知关于的方程有一个根是，那么的值为____；
（2）仿照以上方法，解方程：；
（3）代数式的值能否等于8？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）2
（2）解：，
两边平方得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，代入原方程中不合理，是原方程的增根，是原方程的根，
∴原方程的根是；
（3）解：不能，理由如下：
令，
原方程变形得，
两边平方得，
整理得，
两边平方得，
此方程无解，
∴代数式的值不等于8．
【知识点】无理方程；转化思想
【解析】【解答】（1）解：把代入方程得，
两边平方得，
解得，
经检验，是方程的解；
故答案为：2；
【分析】（1）根据方程解的定义把x=1代入方程，可得关于字母a的无理方程，然后模仿题干提供的解无理方程的方法求解即可得出a的值；
（2）模仿题干提供的解无理方程的方法求解即可；
（3）不能，理由如下：利用反证法，令所给代数式的值为8，并将方程变形为，两边平方后整理，再平方后方法方程无解，从而即可得出结论．
（1）解：把代入方程得，
两边平方得，
解得，
经检验，是方程的解；
（2）解：，
两边平方得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，代入原方程中不合理，是原方程的增根，是原方程的根，
∴原方程的根是；
（3）解：不能．
，
原方程变形得，
两边平方得，
整理得，
两边平方得，
此方程无解，
∴代数式的值不等于8．
23．2025年，国家卫健委开展持续实施“体重管理年”行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．为响应该政策，某商场计划购进甲、乙两种品牌的足球．已知甲种品牌足球的进价比乙种品牌足球的进价多65元，用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌足球的进价各多少元？
（2）商场计划每个甲种品牌足球的售价为198元，每个乙种品牌足球的售价为100元，商场决定同时购进甲、乙两种品牌足球共100个，假设能全部售出．若商场用不低于10100元且不高于10425元的资金购入甲、乙两种品牌的足球．请你帮商场设计利润最大的进货方案，并求出此时的最大利润，说明理由．
【答案】（1）解：设乙种品牌足球的进价为a元，则甲种品牌足球的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲种品牌足球的进价为140元，乙种品牌足球的进价为75元；
（2）解：利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元，理由如下：
设购进甲种品牌足球个，则购进乙种品牌足球（）个，
根据题意得：，
解得：，
为非负整数，
，，，，，，
设利润为元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，值最大，最大，
此时，，
利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元.
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）通过设乙种品牌足球进价为a元，则则甲种品牌足球的进价为(a+65)元，利用总价除以单价等于数量及 用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同列出分式方程，求解并家那一年后再求出a+65即可得出答案；；
（2）设购进甲种品牌足球x个，则购进乙种品牌足球(100-x)个，根据单价乘以数量等于总价及购进x个甲品牌足球的费用与购进(100-x)个乙种品牌足球的费用的和不低于10100元且不高于10425元列出不等式组确定甲种足球数量取值范围，再根据单个利润乘以销售数量等于总利润及销售x个甲品牌足球的利润与销售(100-x)个乙品牌足球的利润和等于商场获取的总利润建立出函数表达式，依据函数性质求出最大利润及对应的进货方案．
（1）解：设乙种品牌足球的进价为元，则甲种品牌足球的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲种品牌足球的进价为140元，乙种品牌足球的进价为75元；
（2）解：利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元，
理由如下：
设购进甲种品牌足球个，则购进乙种品牌足球（）个，
根据题意得：，
解得：，
为非负整数，
，，，，，，
设利润为元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，值最大，最大，
此时，，
利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线相交于点．
（1）求m和b的值；
（2）若直线与x轴相交于点D，动点P以每秒2个单位的速度从点D开始沿x轴运动至点A停止，设点P的运动时间为t秒．当的面积为10时，求t的值；
（3）若平面内有一点Q，当以点A、C、D、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的Q点的坐标．
【答案】（1）解：当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
将点代入，
，
解得
（2）解：，
，
，
，
解得
（3）点坐标为或或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】（3） 解：设，
当为平行四边形的对角线时，，，
则，
；
当为平行四边形的对角线时，，，
则，
；
当为平行四边形的对角线时，，，
则，
；
综上所述：点坐标为或或
【分析】（1）利用一次函数的解析式 可求出点B、A的坐标，再求出点C的坐标，然后将点C的坐标代入直线 ，可求出b的值.
（2）利用已知条件可求出点D的坐标，利用点的运动方向及速度可表示出点P的坐标，然后利用三角形的面积公式可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
（3）设，分情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；分别可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到符合题意的点Q的坐标.
（1）解：当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
将点代入，
，
解得；
（2）解：，
，
，
，
解得；
（3）解：设，
当为平行四边形的对角线时，，，
则，
；
当为平行四边形的对角线时，，，
则，
；
当为平行四边形的对角线时，，，
则，
；
综上所述：点坐标为或或．
25．综合与实践
（1）问题初探
如图1，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点D旋转，得到，则的取值范围可解．请直接写出的取值范围．
（2）问题解决
如图2，P为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小．（提示：将绕点B顺时针旋转）
（3）问题拓展
如图3，在正方形中，E，F分别为，边上的点，满足，若，，求的面积．
【答案】（1）；
（2）解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，
由旋转可知，，
，
是等边三角形，
，
在中，
，，
，
，
，
，
（3）解：将绕点A顺时针旋转得到，
由旋转可知，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】（1）解：如图，将绕点D旋转，得到，连接，
由旋转，，
∴四边形是平行四边形，
，，
又，
，
得，
即，
；
故答案为：【分析】本题以“旋转”为核心方法，分三个层次探究几何问题。
（1）通过旋转构造平行四边形，利用三角形三边关系求中线取值范围；
（2）通过旋转构造等边三角形，将三条共点线段转化到同一三角形中，再运用勾股定理求角度；
（3）通过旋转构造全等三角形，将 BE+DF 转化为一条线段，结合已知角度和边长求出三角形面积，体现了旋转变换在几何最值与角度求解中的重要作用。
（1）解：如图，将绕点D旋转，得到，连接，
由旋转，，
∴四边形是平行四边形，
，，
又，
，
得，
即，
；
（2）如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，
由旋转可知，，
，
是等边三角形，
，
在中，
，，
，
，
，
，
（3）将绕点A顺时针旋转得到，
由旋转可知，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，，
．
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