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四川省达州市渠县2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题 -
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．2025年1月15日，的横空出世，极大的提振了中国人的民族自信心和自豪感，打破了美国利用AI阻击中国的企图，让我们免于被孤立和边缘的风险．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故答案为：C．
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
2．石墨烯是一种由单层碳原子构成的二维材料，具有超高导电性、导热性、机械强度和柔韧性，能提升器件性能、增强材料强度、加速能源转化．石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解；．
故答案为：A．
【分析】一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
3．下列计算正确的是（　　）
A．3 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故A错误，不符合题意．
B、，故B错误，不符合题意．
C、，故C错误，不符合题意．
D、，故D正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项的法则，可对A作出判断；再利用完全平方公式化简，可对B、C作出判断；利用积的乘方和单项式乘以单项式的法则，可对D作出判断.
4．据网络平台数据，截至2025年5月5日，电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破158亿元，排名全球电影票房榜第五，则（　　）
A．想要调查初一（2）班学生有多少人看过《哪吒之魔童闹海》，选择抽样调查
B．随机抽本市一名学生，看过《哪吒之魔童闹海》是随机事件
C．随机抽本市一名学生，看过《哪吒之魔童闹海》的概率为1
D．随机抽本市一名学生，看过《哪吒之魔童闹海》是不可能事件
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】A、调查初一（2）班学生人数较少，全面调查更易操作且结果准确，因此应选择全面调查而非抽样调查，选项A错误．
B、随机抽取学生是否看过电影存在不确定性，可能发生也可能不发生，属于随机事件，选项B正确．
C、概率为1表示必然事件，但并非所有学生都看过该电影，因此概率不可能为1，选项C错误．
D、不可能事件指一定不会发生，但存在学生看过该电影的情况，因此选项D错误．
综上，正确答案为B．
故答案为：B．
【分析】结合全面调查、抽样调查的适用场景，以及随机事件、不可能事件的定义逐一判断选项.
5．计算的结果为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B．
【分析】先逆用同底数幂的乘法法则变形，然后逆用积的乘方法则计算即可．
6．如图，将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
依题意，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用已知条件可求出∠IOA的度数，再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠DIO的度数，据此可求出∠3的度数.
7．下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用两个数的和与这两个数的差的积满足平方差公式，再对各选项逐一判断即可.
8．数学课上，小王同学用尺规在黑板上作的角平分线，先以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则就是的平分线．根据全等知识我们知道，则所用到的判定定理是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：尺规作图中，，，
即，利用即可判定，
故答案为：D．
【分析】利用作图可知OE=OD，EC=DC，利用SSS可证得结论.
9．如图，在边长为4的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，动点P从点A出发，沿的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A，B），则三角形的面积S随着时间变化的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：当点P在上时，的底不变，高增大，所以的面积S随着时间t的增大而增大；
当点P在上时，的底不变，高不变，所以的面积S不变；
当点P在上时，的底不变，高减小，所以的面积S随着时间t的减小而减小；
当点P在上时，的底不变，高不变，所以的面积S不变；
当点P在上时，的底不变，高减小，所以的面积S随着时间t的减小而减小；
综上分析可知，B选项中的图象符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据点P在、、、、上时，的面积S与时间t的关系确定图象．
10．如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由折叠可知：，，
∴，．
∴，
又∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】利用折叠的性质可证得，，再利用三角形内角和和平角定义求出∠A的度数，即可求出∠ABC+∠ACB的度数；然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可求出∠BPC的度数.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为，
∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为，
∴等腰三角形的顶角的度数为：．
故答案为：．
【分析】利用等腰三角形的两个底角相等，利用三角形的内角和定理可求出结果.
12．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意得到：是中垂线，
∴，，
∴，
∵的周长为，即，
∴周长．
故答案为：．
【分析】先由作图可知是中垂线，利用线段垂直平分线的性质可推出，同时可求出CE的长，由此可推出的周长，然后求出△ABD的周长即可.
13．如图所示是关于变量的程序计算，若开始输入自变量的值为4，则最后输出因变量的值为　 　．
【答案】
【知识点】求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：输入，；
再输入，．
∴输出因变量的值为：，
故答案为：
【分析】观察可知当时，选择求函数值，再依次选择性计算即可．
14．如果，那么　 　．
【答案】或
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，，
解得：，，或，，
故或，
故答案为：9或．
【分析】利用完全平方公式：．将已知的完全平方公式化简，再根据对应项系数相等求得和的值，即可求得的值．
15．如图，中，，的角平分线和的邻补角的角平分线相交于点，分别交和的延长线于．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确结论的序号是　 　．
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，
①∵是的外角，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在中，，
，故①正确；
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
垂直平分；故②正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴与都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴不成立，故③错误，
④∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
综上所述①②④正确．
故答案为：①②④．
【分析】利用三角形外角的性质和角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义，然后利用三角形的内角和定理可求出∠APB的度数，可对①作出判断；易证∠FPB=∠APB，∠ABP=∠EBP，利用ASA可证得△ABP≌△FBP，利用全等三角形的性质可证得AB=BF，AP=PF，利用垂直平分线的判定，可对②作出判断；利用已知易证与都是等腰直角三角形，可证得DG=AG，GH=GF，即可证得DG=GH+AF，据此可对③作出判断；利用AAS可证得△AHP≌△FEP，利用全等三角形的性质可证得DF=AH，根据BD=DF+BF，据此可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
三、解答题（本大题共10个小题，共90分，解答题应写出必要的步骤、文字说明或证明过程）
16．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（用乘法公式计算）．
【答案】（1）解：原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】（1）先计算幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算，再合并同类项即可.
（2）先算乘方运算，同时化简绝对值，然后计算加减法即可.
（3）先算乘方运算，再算单项式的乘法，然后合并同类项.
（4）利用平方差公式计算即可.
（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
17．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用平方差公式、完全平方公式先去小括号，再合并同类项，再利用多项式除以单项式的法则进行化简，然后把a，b的值代入化简后的代数式进行计算即可．
18．在一个不透明的口袋中放入6个白球和14个红球，它们除颜色外完全相同．
（1）求从口袋中随机摸出一个球是红球的概率；
（2）现从口袋中取出若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取出了多少个红球．
【答案】（1）解：口袋中共有6个白球和14个红球，所有可能的结果有20种，每种结果出现的可能性相同，
∴红球概率
（2）设取出个红球，放入个白球，根据题意得：，
解得，
故取出了6个红球
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到球的总个数，再用红球的个数除以总球的个数即可.
（2）设取出个红球，放入个白球，根据概率公式列出关于x的方程，解方程求出x的值即可.
（1）解：口袋中共有6个白球和14个红球，所有可能的结果有20种，每种结果出现的可能性相同，
∴红球概率；
（2）设取出个红球，放入个白球，
根据题意得：，
解得，
故取出了6个红球．
19．如图，是上一点，于点，是上一点，于点，求证：．
证明：连接．
，
，
______________________（ ），
___________（ ），
又，
___________（等式的基本性质1），
即___________，
（ ）．
【答案】；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；4；；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】证明：连接．，
，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
又，
（等式的基本性质1），
即，
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；4；；内错角相等，两直线平行．
【分析】利用垂直的定义可证得，利用“同位角相等，两直线平行”可证得，利用“两直线平行，内错角相等”得，然后结合已知可证得，最后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案．
20．如图；在正方形网格上有一个．
（1）画关于直线的对称图形（A与，B与，C与对应，不写画法）；
（2）在上画出点P，使最小；
（3）若网格上每个小正方形的边长为1，求的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：连接交于，点即为所求；
（3）解：．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质先作出、、关于直线的对称点，，，再顺次连接即可；
（2）根据“将军饮马”模型，可知连接交于，点即为所求；
（3）根据割补法求面积即可求得.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：连接交于，点即为所求；
（3）解：．
21．如图，分别以的边、向外作等边三角形、等边三角形，和相交于点M．
（1）求证：．
（2）求．
【答案】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（）知：，
∴，
∴，
∴ ∠DME=∠CDB+∠DBM=∠CDB+∠DBA+∠ABE=120°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由等边三角形性质得出AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，根据角的构成及等量加等量和相等推出∠BAE=∠DAC，从而由“SAS”证△DAC≌△BAE，由全等三角形的对应边相等得出CD=BE；
（2）由全等三角形的对应角相等得出∠ADC=∠ABE，由角的构成、等量代换及等边三角形性质得出∠BDC+∠ABE=60°，然后根据三角形外角性质可求出∠DME=120°.
（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（）知：，
∴，
∴，
∴在中，
；
∴
22．2025年清明节，某校七年级师生乘大客车去革命根据地红军烈士陵园研学．该年级师生8：00从学校出发，13：00到达目的地，可是2班小明同学睡过了头，错过了出发时间，于是小明爸爸开私家车沿同一路线送他去目的地，他们9：00出发．甲车代表大客车，乙车代表私家车，汽车离学校的距离与时间的关系如图所示．
（1）学校距离目的地________千米；
（2）乙车出发多少小时后追上甲车？
【答案】（1）
（2）大客车的速度是：千米小时，
私家车的速度是：千米小时，
设乙车出发小时后追上甲车，则
，
解得：，
答：乙车出发小时后追上甲车
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）观察图象可得，13：00到达目的地时，汽车离学校的距离是千米，
故答案为：
【分析】（1）只需要观察函数图象，找到13：00对应点的纵坐标，就能得到此时汽车距离学校的距离.
（2）第一步分别计算出大客车和自驾私家车的行驶速度，再结合追及问题的数量关系列出方程，即可求出结果.
（1）观察图象可得，13：00到达目的地时，汽车离学校的距离是千米，
故答案为：
（2）大客车的速度是：千米小时，
私家车的速度是：千米小时，
设乙车出发小时后追上甲车，则
，
解得：，
答：乙车出发小时后追上甲车．
23．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题：
（1）若，求的值．
（2）阅读以下解法，并解决相应问题．
“若满足，求的值”
解：设，则，这样就可以利用（1）的方法进行求值了．
①若满足，则________．
②如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为42，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵，
（2）①；
②∵，，长方形的面积为42，
∴，
∴阴影面积为：
．
∴图中阴影部分的面积为100
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（2）①设，
∴，
【分析】（1）利用，整体代入求值.
（2）①设，可求出a+b和ab的值，再利用代入计算即可；②利用长方形CEPF的面积为42，可得到关于x的方程，再表示出阴影部分的面积，整体代入求值即可.
（1）解：∵，
；
（2）①设，
∴，
；
②∵，，长方形的面积为42，
∴，
∴阴影面积为：
．
∴图中阴影部分的面积为100
24．阅读下面的材料并解答后面的问题：
【阅读】
小亮：你能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能．求解过程如下：
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是1．
所以的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题：
（1）将变形为的形式________，则的最小值为________；
（2）求多项式有最大值．
【答案】（1），
（2）解：对进行配方：
因为，
所以，
当，即时，的值最大，最大值是11．
所以多项式的最大值为11．
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】
（1）
将进行配方变形：
因为，
所以当，即时，的值最小，最小值是2．
故答案为：，2．
【分析】
（1）由于二次项系数为1，一次项系数为-10，则利用配方法从常数项中借用，即可把原式表示成一个完全平方式与2的和，显然当x=5时，原式有最小值2；
（2）同（1）先提系数，再配方，则可把原式变形为一个完全平方式的－2倍与11的和，显然当x=1时原式有最大值11.
（1）将进行配方变形：
因为，
所以当，即时，的值最小，最小值是2．
故答案为：，2．
（2）解：对进行配方：
因为，
所以，
当，即时，的值最大，最大值是11．
所以多项式的最大值为11．
25．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型．
【探究问题】
（1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________．
（2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【解决问题】
（3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．
【答案】解：（1）；
（2）结论仍然成立，证明如下：
∵，，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴，
分情况讨论：
①当E在上，D在上时，即，
，，
∵，
∴，
∴；
②当E在上，D在上时，即，
，，
∵，
∴，
∴；
③当E在上，D在上时，即，
，，
∵，
∴，
∴（不符合，舍去）；
④当E到达A，D在上时，即，
，，
∵，
∴，
∴．
综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，即，
故答案为：；
【分析】本题以“一线三等角”模型为背景，综合考查全等三角形的判定（AAS）、同角的余角相等以及动点问题中的分类讨论。
（1）由 ACB = 90 得 EAC + ACE = 90， ACE + FCB = 90，从而 EAC = FCB，结合 AC = BC 及垂直条件证，得 AE = CF，EC = BF，故 EF = EC + CF = BF + AE；
（2）同理可证结论依然成立；
（3）由全等得 CD = CE，根据动点 D、E 的路径及速度，分四种情况讨论：① E 在 BC 上、D 在 AC 上（0 < t）；② E 在 AC 上、D 在 AC 上（< t < 6）；③ E 在 AC 上、D 在 BC 上（6 t <）；④ E 到达 A 后、D 在 BC 上（t 14），分别用含 t 的式子表示 CE 和 CD，由 CD = CE 列方程求解，注意舍去不符合运动范围或逻辑的解，最终得 t = 4 或 或 12。
1 / 1四川省达州市渠县2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题 -
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．2025年1月15日，的横空出世，极大的提振了中国人的民族自信心和自豪感，打破了美国利用AI阻击中国的企图，让我们免于被孤立和边缘的风险．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．石墨烯是一种由单层碳原子构成的二维材料，具有超高导电性、导热性、机械强度和柔韧性，能提升器件性能、增强材料强度、加速能源转化．石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．3 B．
C． D．
4．据网络平台数据，截至2025年5月5日，电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破158亿元，排名全球电影票房榜第五，则（　　）
A．想要调查初一（2）班学生有多少人看过《哪吒之魔童闹海》，选择抽样调查
B．随机抽本市一名学生，看过《哪吒之魔童闹海》是随机事件
C．随机抽本市一名学生，看过《哪吒之魔童闹海》的概率为1
D．随机抽本市一名学生，看过《哪吒之魔童闹海》是不可能事件
5．计算的结果为（　　）
A．2 B． C．1 D．
6．如图，将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（　　）
A． B． C． D．
8．数学课上，小王同学用尺规在黑板上作的角平分线，先以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则就是的平分线．根据全等知识我们知道，则所用到的判定定理是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在边长为4的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，动点P从点A出发，沿的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A，B），则三角形的面积S随着时间变化的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为　 　．
12．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为　 　．
13．如图所示是关于变量的程序计算，若开始输入自变量的值为4，则最后输出因变量的值为　 　．
14．如果，那么　 　．
15．如图，中，，的角平分线和的邻补角的角平分线相交于点，分别交和的延长线于．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确结论的序号是　 　．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分，解答题应写出必要的步骤、文字说明或证明过程）
16．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（用乘法公式计算）．
17．先化简，再求值：，其中，．
18．在一个不透明的口袋中放入6个白球和14个红球，它们除颜色外完全相同．
（1）求从口袋中随机摸出一个球是红球的概率；
（2）现从口袋中取出若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取出了多少个红球．
19．如图，是上一点，于点，是上一点，于点，求证：．
证明：连接．
，
，
______________________（ ），
___________（ ），
又，
___________（等式的基本性质1），
即___________，
（ ）．
20．如图；在正方形网格上有一个．
（1）画关于直线的对称图形（A与，B与，C与对应，不写画法）；
（2）在上画出点P，使最小；
（3）若网格上每个小正方形的边长为1，求的面积．
21．如图，分别以的边、向外作等边三角形、等边三角形，和相交于点M．
（1）求证：．
（2）求．
22．2025年清明节，某校七年级师生乘大客车去革命根据地红军烈士陵园研学．该年级师生8：00从学校出发，13：00到达目的地，可是2班小明同学睡过了头，错过了出发时间，于是小明爸爸开私家车沿同一路线送他去目的地，他们9：00出发．甲车代表大客车，乙车代表私家车，汽车离学校的距离与时间的关系如图所示．
（1）学校距离目的地________千米；
（2）乙车出发多少小时后追上甲车？
23．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题：
（1）若，求的值．
（2）阅读以下解法，并解决相应问题．
“若满足，求的值”
解：设，则，这样就可以利用（1）的方法进行求值了．
①若满足，则________．
②如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为42，求图中阴影部分的面积．
24．阅读下面的材料并解答后面的问题：
【阅读】
小亮：你能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能．求解过程如下：
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是1．
所以的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题：
（1）将变形为的形式________，则的最小值为________；
（2）求多项式有最大值．
25．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型．
【探究问题】
（1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________．
（2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【解决问题】
（3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故答案为：C．
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解；．
故答案为：A．
【分析】一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
3．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故A错误，不符合题意．
B、，故B错误，不符合题意．
C、，故C错误，不符合题意．
D、，故D正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项的法则，可对A作出判断；再利用完全平方公式化简，可对B、C作出判断；利用积的乘方和单项式乘以单项式的法则，可对D作出判断.
4．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】A、调查初一（2）班学生人数较少，全面调查更易操作且结果准确，因此应选择全面调查而非抽样调查，选项A错误．
B、随机抽取学生是否看过电影存在不确定性，可能发生也可能不发生，属于随机事件，选项B正确．
C、概率为1表示必然事件，但并非所有学生都看过该电影，因此概率不可能为1，选项C错误．
D、不可能事件指一定不会发生，但存在学生看过该电影的情况，因此选项D错误．
综上，正确答案为B．
故答案为：B．
【分析】结合全面调查、抽样调查的适用场景，以及随机事件、不可能事件的定义逐一判断选项.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B．
【分析】先逆用同底数幂的乘法法则变形，然后逆用积的乘方法则计算即可．
6．【答案】C
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
依题意，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用已知条件可求出∠IOA的度数，再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠DIO的度数，据此可求出∠3的度数.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用两个数的和与这两个数的差的积满足平方差公式，再对各选项逐一判断即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：尺规作图中，，，
即，利用即可判定，
故答案为：D．
【分析】利用作图可知OE=OD，EC=DC，利用SSS可证得结论.
9．【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：当点P在上时，的底不变，高增大，所以的面积S随着时间t的增大而增大；
当点P在上时，的底不变，高不变，所以的面积S不变；
当点P在上时，的底不变，高减小，所以的面积S随着时间t的减小而减小；
当点P在上时，的底不变，高不变，所以的面积S不变；
当点P在上时，的底不变，高减小，所以的面积S随着时间t的减小而减小；
综上分析可知，B选项中的图象符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据点P在、、、、上时，的面积S与时间t的关系确定图象．
10．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由折叠可知：，，
∴，．
∴，
又∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】利用折叠的性质可证得，，再利用三角形内角和和平角定义求出∠A的度数，即可求出∠ABC+∠ACB的度数；然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可求出∠BPC的度数.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为，
∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为，
∴等腰三角形的顶角的度数为：．
故答案为：．
【分析】利用等腰三角形的两个底角相等，利用三角形的内角和定理可求出结果.
12．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意得到：是中垂线，
∴，，
∴，
∵的周长为，即，
∴周长．
故答案为：．
【分析】先由作图可知是中垂线，利用线段垂直平分线的性质可推出，同时可求出CE的长，由此可推出的周长，然后求出△ABD的周长即可.
13．【答案】
【知识点】求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：输入，；
再输入，．
∴输出因变量的值为：，
故答案为：
【分析】观察可知当时，选择求函数值，再依次选择性计算即可．
14．【答案】或
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，，
解得：，，或，，
故或，
故答案为：9或．
【分析】利用完全平方公式：．将已知的完全平方公式化简，再根据对应项系数相等求得和的值，即可求得的值．
15．【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，
①∵是的外角，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在中，，
，故①正确；
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
垂直平分；故②正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴与都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴不成立，故③错误，
④∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
综上所述①②④正确．
故答案为：①②④．
【分析】利用三角形外角的性质和角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义，然后利用三角形的内角和定理可求出∠APB的度数，可对①作出判断；易证∠FPB=∠APB，∠ABP=∠EBP，利用ASA可证得△ABP≌△FBP，利用全等三角形的性质可证得AB=BF，AP=PF，利用垂直平分线的判定，可对②作出判断；利用已知易证与都是等腰直角三角形，可证得DG=AG，GH=GF，即可证得DG=GH+AF，据此可对③作出判断；利用AAS可证得△AHP≌△FEP，利用全等三角形的性质可证得DF=AH，根据BD=DF+BF，据此可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
16．【答案】（1）解：原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】（1）先计算幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算，再合并同类项即可.
（2）先算乘方运算，同时化简绝对值，然后计算加减法即可.
（3）先算乘方运算，再算单项式的乘法，然后合并同类项.
（4）利用平方差公式计算即可.
（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
17．【答案】解：
，
当，时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用平方差公式、完全平方公式先去小括号，再合并同类项，再利用多项式除以单项式的法则进行化简，然后把a，b的值代入化简后的代数式进行计算即可．
18．【答案】（1）解：口袋中共有6个白球和14个红球，所有可能的结果有20种，每种结果出现的可能性相同，
∴红球概率
（2）设取出个红球，放入个白球，根据题意得：，
解得，
故取出了6个红球
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到球的总个数，再用红球的个数除以总球的个数即可.
（2）设取出个红球，放入个白球，根据概率公式列出关于x的方程，解方程求出x的值即可.
（1）解：口袋中共有6个白球和14个红球，所有可能的结果有20种，每种结果出现的可能性相同，
∴红球概率；
（2）设取出个红球，放入个白球，
根据题意得：，
解得，
故取出了6个红球．
19．【答案】；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；4；；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】证明：连接．，
，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
又，
（等式的基本性质1），
即，
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；4；；内错角相等，两直线平行．
【分析】利用垂直的定义可证得，利用“同位角相等，两直线平行”可证得，利用“两直线平行，内错角相等”得，然后结合已知可证得，最后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案．
20．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：连接交于，点即为所求；
（3）解：．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质先作出、、关于直线的对称点，，，再顺次连接即可；
（2）根据“将军饮马”模型，可知连接交于，点即为所求；
（3）根据割补法求面积即可求得.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：连接交于，点即为所求；
（3）解：．
21．【答案】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（）知：，
∴，
∴，
∴ ∠DME=∠CDB+∠DBM=∠CDB+∠DBA+∠ABE=120°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由等边三角形性质得出AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，根据角的构成及等量加等量和相等推出∠BAE=∠DAC，从而由“SAS”证△DAC≌△BAE，由全等三角形的对应边相等得出CD=BE；
（2）由全等三角形的对应角相等得出∠ADC=∠ABE，由角的构成、等量代换及等边三角形性质得出∠BDC+∠ABE=60°，然后根据三角形外角性质可求出∠DME=120°.
（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（）知：，
∴，
∴，
∴在中，
；
∴
22．【答案】（1）
（2）大客车的速度是：千米小时，
私家车的速度是：千米小时，
设乙车出发小时后追上甲车，则
，
解得：，
答：乙车出发小时后追上甲车
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）观察图象可得，13：00到达目的地时，汽车离学校的距离是千米，
故答案为：
【分析】（1）只需要观察函数图象，找到13：00对应点的纵坐标，就能得到此时汽车距离学校的距离.
（2）第一步分别计算出大客车和自驾私家车的行驶速度，再结合追及问题的数量关系列出方程，即可求出结果.
（1）观察图象可得，13：00到达目的地时，汽车离学校的距离是千米，
故答案为：
（2）大客车的速度是：千米小时，
私家车的速度是：千米小时，
设乙车出发小时后追上甲车，则
，
解得：，
答：乙车出发小时后追上甲车．
23．【答案】（1）解：∵，
（2）①；
②∵，，长方形的面积为42，
∴，
∴阴影面积为：
．
∴图中阴影部分的面积为100
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（2）①设，
∴，
【分析】（1）利用，整体代入求值.
（2）①设，可求出a+b和ab的值，再利用代入计算即可；②利用长方形CEPF的面积为42，可得到关于x的方程，再表示出阴影部分的面积，整体代入求值即可.
（1）解：∵，
；
（2）①设，
∴，
；
②∵，，长方形的面积为42，
∴，
∴阴影面积为：
．
∴图中阴影部分的面积为100
24．【答案】（1），
（2）解：对进行配方：
因为，
所以，
当，即时，的值最大，最大值是11．
所以多项式的最大值为11．
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】
（1）
将进行配方变形：
因为，
所以当，即时，的值最小，最小值是2．
故答案为：，2．
【分析】
（1）由于二次项系数为1，一次项系数为-10，则利用配方法从常数项中借用，即可把原式表示成一个完全平方式与2的和，显然当x=5时，原式有最小值2；
（2）同（1）先提系数，再配方，则可把原式变形为一个完全平方式的－2倍与11的和，显然当x=1时原式有最大值11.
（1）将进行配方变形：
因为，
所以当，即时，的值最小，最小值是2．
故答案为：，2．
（2）解：对进行配方：
因为，
所以，
当，即时，的值最大，最大值是11．
所以多项式的最大值为11．
25．【答案】解：（1）；
（2）结论仍然成立，证明如下：
∵，，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴，
分情况讨论：
①当E在上，D在上时，即，
，，
∵，
∴，
∴；
②当E在上，D在上时，即，
，，
∵，
∴，
∴；
③当E在上，D在上时，即，
，，
∵，
∴，
∴（不符合，舍去）；
④当E到达A，D在上时，即，
，，
∵，
∴，
∴．
综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，即，
故答案为：；
【分析】本题以“一线三等角”模型为背景，综合考查全等三角形的判定（AAS）、同角的余角相等以及动点问题中的分类讨论。
（1）由 ACB = 90 得 EAC + ACE = 90， ACE + FCB = 90，从而 EAC = FCB，结合 AC = BC 及垂直条件证，得 AE = CF，EC = BF，故 EF = EC + CF = BF + AE；
（2）同理可证结论依然成立；
（3）由全等得 CD = CE，根据动点 D、E 的路径及速度，分四种情况讨论：① E 在 BC 上、D 在 AC 上（0 < t）；② E 在 AC 上、D 在 AC 上（< t < 6）；③ E 在 AC 上、D 在 BC 上（6 t <）；④ E 到达 A 后、D 在 BC 上（t 14），分别用含 t 的式子表示 CE 和 CD，由 CD = CE 列方程求解，注意舍去不符合运动范围或逻辑的解，最终得 t = 4 或 或 12。
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