资源简介

浙江省杭州市文海中学2025学年第二学期期中考试八年级数学试卷
1． 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3． 函数中，自变量的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4． 下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5． 下面是根据八（2）班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，则由图不能确定这组数据的（　　）
A．最大值、最小值 B．中位数
C．上四分位数、下四分位数 D．平均数
6． 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．杭州市95号汽油价格二月中旬是7.82元/升，4月中旬是9.53元/升．设杭州95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7． 将一元二次方程转化为的形式，则的值为（　　）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
8． 若是一元二次方程的两个根，则的值为（　　）
A． B．0 C．2 D．3
9． 如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）．
A．24 B．17 C．18 D．10
10． 如图，在，相交于点，．过点作的垂线交于点，记长为长为．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
11． 化简 的结果为　 　．
12． 学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是　 　．
序号 分组情况 组内离差平方和
① 第一组1个，第二组3个 44
② 第一组2个，第二组2个 28
③ 第一组3个，第二组1个 16.67
13． 如果关于的一元二次方程的一个根是0，那么的值为　 　．
14． 如图，平行四边形的对角线、交于点，若，，，则的长为　 　．
15．如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为，则所修道路的宽为　 　m．
16． 韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别为，，，现给出以下结论：①；②；③，其中正确的是　 　．
17． 计算：
（1）；
（2）．
18． 解方程：
（1）；
（2）．
19． 如图，在平面直角坐标系中，的对称中心在原点O．
（1）在如图直角坐标系中画出这个平行四边形；
（2）的面积为　 　．
20． 汉字是传承中华文明的重要载体．阳光中学于12月24日～26日开展了第一届汉字书写大赛，本次大赛满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生的成绩（单位：分）如下：
甲组：4，5，5，6，6，6，6，8，9，10；
乙组：3，5，6，6，7，7，7，7，8，9．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 6 6
乙组 7
（1）根据以上成绩，统计分析表中：　 　，　 　，　 　．
（2）从平均数和方差看，若从甲、乙两组中选择一个组参加决赛，应选哪个组？请说明理由．
21． 如图，在中，对角线、交于点，过点，并与、分别交于点、，，．
（1）求证：；
（2）若，求的周长．
22． 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个．
（1）商场为了保证经营该商品赚得8750元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？
（2）商场是否能获得10000元的利润？若能，请计算售价是多少；不能，请说明理由．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
24． 如图，为的对角线，平分为射线上一点．
（1）如图1，在延长线上，连接与交于点若；
①当为中点时，求证：；
②当时，求长度；
（2）如图2，在线段上，连接与交点于，若，试探究三条线段之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“沿着一条直线折叠，直线两旁的部分不想重合的图形是轴对称图形；绕一点旋转180°后能够和自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断解答即可.
2．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°=2×360，
解得：n=6．
即这个多边形为六边形．
故选：B．
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2） 180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
3．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，
∴对于，可得，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
4．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；求算术平方根；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据二次根式的除法，减法法则，算术平方根的的定义逐项判断解答即可．
5．【答案】D
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：∵箱线图能够直观展示数据的最小值、最大值、中位数、上四分位数和下四分位数，
∴A、B、C选项中的统计量均可通过箱线图确定；
∵平均数需根据所有数据的总和除以数据个数计算，箱线图未给出每个数据的具体数值，无法计算出平均数，
∴不能确定的是平均数．
故选：D．
【分析】根据箱线图中的数据依次为最大值，上四分位数，中位数，下四分位数，最小值，据此解答即可．
6．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每月增长率为，
∵二月中旬是7.82元/升，4月中旬是9.53元/升，
∴．
故答案为：A.
【分析】设平均每月增长率为，根据“ 95号汽油价格二月中旬是7.82元/升，4月中旬是9.53元/升 ”列方程解答即可.
7．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据移项，添加一次项系数一半的平方，左边写成完全平方形式，即可求出a，b的值，然后代入求和解答即可.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两个根
∴，
∴
∴
．
故答案为：D.
【分析】根据方程根的定义和根与系数的关系得到，，然后将代数式变形为，然后整体代入解答即可．
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接，
∵F是平行四边形的边上的点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】连接，根据AAS得到，即可得到四边形是平行四边形，求出，同理得出，即可求出阴影部分的面积．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当的值发生变化时，的值不变，
故选：B．
【分析】过点作，交的延长线于点，根据平行四边形的性质，利用AAS得到，即可得到，，根据勾股定理求出，
，即可得到，整理得到，解答即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质化简解答即可.
12．【答案】③
【知识点】按组内离差平方和最小的原则进行数据分类
【解析】【解答】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组.
比较表格中三组的组内离差平方和，得，
因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组.
故答案为：③ .
【分析】根据组内离差平方和的意义“最优分组对应组内离差平方和最小”解答即可.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入方程，得，
解得：；
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】把代入方程得到，根据一元二次方程的定义得到a≠3，求出a的值解答即可.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质得到AO=OC，BD=2BO，然后根据勾股定理求出AC长，即可得到OC长，再利用沟渎定理求出BO长解答即可．
15．【答案】1
【知识点】平移的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设所修道路的宽为．根据题意，得，
整理，得，解得（不合题意，舍去），，
即所修道路的宽为．
故答案为：1．
【分析】
利用平移法将不规则的种植区转化为规则的矩形，从而根据面积公式列出方程求解.
16．【答案】①②③
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：一元三次方程三个非零实数根分别为，，，
原方程可写为
展开多项式得：
整理得
将上式与原方程对比系数可得：
，即，故①正确；
，即，故③正确；
，即，故②正确．
综上所述，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【分析】根据方程的解可得原方程可写为，然后展开合并，根据对应系数相等解答即可.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，运算二次根式的乘法运算，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式、完全平方公式展开，然后加减解答即可.
18．【答案】（1）解：，
移项，得，
配方，得，
即，
开方，得，
解得，．
（2）解：，
方程变形为，
因式分解，得，
所以或，
解得，．

【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项、添加一次项系数一半的平方，左边写为完全平方公式，然后开方解方程即可；
（2）移项，提取公因式(x+5)，利用因式分解法解一元二次方程即可．
19．【答案】（1）解：根据题意，得，
又的对称中心在原点O．
故，画图如下：
（2）18
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】解：的面积为．
故答案为：18.
【分析】（1）作出点A，B关于原点的对撤店C，D，然后连接得到四边形ABCD，则ABCD即为所作；
（2）利用割补法求出平行四边形的面积即可．
20．【答案】（1）；7；2.45
（2）解：乙组参加决赛．
理由如下：∵甲组平均数，乙组平均数，
∴两组平均数相同，
∵甲组方差，乙组方差，且，
∴乙组成绩更稳定，
∴选乙组参加决赛.
【知识点】中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：甲组平均数是，
∵乙组数据为：3，5，6，6，7，7，7，7，8，9，
∴乙组的中位数为第五和第六位数的平均数，即，
乙组的方差，
故答案为：；7；；
【分析】（1）根据平均数、中位数和方差的定义解答即可；
（2）比较甲、乙两组的平均数与方差，根据方差小的成绩稳定解答即可．
21．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
由（1）知，
，
，
的周长为．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，然后根据得到，根据对应边相等解答即可；
（2）根据平行四边形的性质得到，，即可得到，根据全等三角形的对应边相等得到，进而求出，求出周长解答即可．
22．【答案】（1）解：设每个售价提高x元，
由题意得，，
解得，，
∵尽量兼顾顾客的利益，
∴，
∴（元），
∴售价应定为65元；
（2）解：不能，理由如下：
根据题意得，，
整理得，，
∵，
∴该一元二次方程没有实数根，
∴商场不能获得10000元的利润.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个售价提高x元，根据(售价-进价)×销售量=利润列方程，求出x的值，再根据兼顾顾客的利益取舍根解答即可；
（2）根据题意列一元二次方程，利用判别式判断得到，判断方程解的情况解答即可．
23．【答案】（1）解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤；
（2）解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用判别式得到Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，解得m≤；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=2m-4，（x1-3）（x2-3）=m2-1变形得到x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，代入得到关于m的方程，解得解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
（1）解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤；
（2）根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，
∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
24．【答案】（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AD∥BF，
∴∠D=∠FCD，
∵G是CD中点，
∴DG=CG，
∵∠FGC=∠DGA，
∴△ADG≌△FCG（ASA），
∴AD=FC，
∴FC=BC．
解：②在Rt△ABC中，AC=8，CD=6，
∴AD==10，
∴BC=10，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AC=AF，
∴∠F=∠CAF，
∵∠ACB=∠F+∠CAF=2∠F=∠ACE+∠BCE=2∠BCE，
∴∠F=∠BCE，
∴CE∥AG，
又∵AB∥CD，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AE=CG，
如图1，过点E作EN⊥BC于N，
∵∠ACE=∠ECN，∠EAC=∠ENC=90°，CE=CE，
∴△ACE≌△NCE（AAS），
∴AC=CN=8，AE=EN，
∴BN=2，
∵BE2=BN2+EN2，
∴（6-EN）2=EN2+4，
∴EN=，
∴AE=CG=；
（2）解：AC=AH+AD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，
∵∠D=3∠ACE，
∴∠B=3∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE+∠B+∠BAC=180°，
∴∠ACE=∠BCE=18°，∠B=54°，
∵AF=CF，
∴∠CAF=∠ACF=36°，
∴∠B=∠BAF=54°，
∴AF=BF=CF=BC=AD，
如图2，以C为顶点作∠BCP=36°，交AF的延长线于P，
∴∠ACP=72°，
又∵∠CAF=36°，
∴∠P=72°=∠ACP，
∴AC=AP，
∵∠CHP=∠ACE+∠CAF=54°，∠PCH=∠BCE+∠BCP=54°，
∴∠CHP=∠PCH，
∴CP=PH，
∵∠CFP=∠ACF+∠FAC=72°，
∴∠CFP=∠P，
∴CP=CF=PH，
∵AC=AP=AH+PH，
∴AC=AH+AD．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的性质，利用ASA得到△ADG≌△FCG，根据对应边相等得到结论即可；
②根据勾股定理求出AD长，然后根据角平分线的定义和等边对等角得到∠ACE=∠BCE，∠F=∠CAF，然后根据三角形的外角性质和角的和差得到∠F=∠BCE，即可得到AB∥CD，进而得到四边形AECG是平行四边形，再根据AAS得到△ACE≌△NCE，根据勾股定理求出EN长解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和三角形内角和定理可求∠ACE=∠BCE=18°，∠B=54°，然后根据等边对等角得到∠CAF=∠ACF=36°，即可得到∠B=∠BAF=54°，进而可得AF=BF=CF=BC=AD，以C为顶点作∠BCP=36°，交AF的延长线于P，根据三角形的外角得到∠CHP=∠PCH，∠CFP=∠P，进而可得CP=CF=PH，进而得到结论即可．
1 / 1浙江省杭州市文海中学2025学年第二学期期中考试八年级数学试卷
1． 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“沿着一条直线折叠，直线两旁的部分不想重合的图形是轴对称图形；绕一点旋转180°后能够和自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断解答即可.
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°=2×360，
解得：n=6．
即这个多边形为六边形．
故选：B．
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2） 180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
3． 函数中，自变量的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，
∴对于，可得，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
4． 下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；求算术平方根；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据二次根式的除法，减法法则，算术平方根的的定义逐项判断解答即可．
5． 下面是根据八（2）班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，则由图不能确定这组数据的（　　）
A．最大值、最小值 B．中位数
C．上四分位数、下四分位数 D．平均数
【答案】D
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：∵箱线图能够直观展示数据的最小值、最大值、中位数、上四分位数和下四分位数，
∴A、B、C选项中的统计量均可通过箱线图确定；
∵平均数需根据所有数据的总和除以数据个数计算，箱线图未给出每个数据的具体数值，无法计算出平均数，
∴不能确定的是平均数．
故选：D．
【分析】根据箱线图中的数据依次为最大值，上四分位数，中位数，下四分位数，最小值，据此解答即可．
6． 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．杭州市95号汽油价格二月中旬是7.82元/升，4月中旬是9.53元/升．设杭州95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每月增长率为，
∵二月中旬是7.82元/升，4月中旬是9.53元/升，
∴．
故答案为：A.
【分析】设平均每月增长率为，根据“ 95号汽油价格二月中旬是7.82元/升，4月中旬是9.53元/升 ”列方程解答即可.
7． 将一元二次方程转化为的形式，则的值为（　　）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据移项，添加一次项系数一半的平方，左边写成完全平方形式，即可求出a，b的值，然后代入求和解答即可.
8． 若是一元二次方程的两个根，则的值为（　　）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两个根
∴，
∴
∴
．
故答案为：D.
【分析】根据方程根的定义和根与系数的关系得到，，然后将代数式变形为，然后整体代入解答即可．
9． 如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）．
A．24 B．17 C．18 D．10
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接，
∵F是平行四边形的边上的点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】连接，根据AAS得到，即可得到四边形是平行四边形，求出，同理得出，即可求出阴影部分的面积．
10． 如图，在，相交于点，．过点作的垂线交于点，记长为长为．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当的值发生变化时，的值不变，
故选：B．
【分析】过点作，交的延长线于点，根据平行四边形的性质，利用AAS得到，即可得到，，根据勾股定理求出，
，即可得到，整理得到，解答即可．
11． 化简 的结果为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质化简解答即可.
12． 学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是　 　．
序号 分组情况 组内离差平方和
① 第一组1个，第二组3个 44
② 第一组2个，第二组2个 28
③ 第一组3个，第二组1个 16.67
【答案】③
【知识点】按组内离差平方和最小的原则进行数据分类
【解析】【解答】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组.
比较表格中三组的组内离差平方和，得，
因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组.
故答案为：③ .
【分析】根据组内离差平方和的意义“最优分组对应组内离差平方和最小”解答即可.
13． 如果关于的一元二次方程的一个根是0，那么的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入方程，得，
解得：；
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】把代入方程得到，根据一元二次方程的定义得到a≠3，求出a的值解答即可.
14． 如图，平行四边形的对角线、交于点，若，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质得到AO=OC，BD=2BO，然后根据勾股定理求出AC长，即可得到OC长，再利用沟渎定理求出BO长解答即可．
15．如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为，则所修道路的宽为　 　m．
【答案】1
【知识点】平移的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设所修道路的宽为．根据题意，得，
整理，得，解得（不合题意，舍去），，
即所修道路的宽为．
故答案为：1．
【分析】
利用平移法将不规则的种植区转化为规则的矩形，从而根据面积公式列出方程求解.
16． 韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别为，，，现给出以下结论：①；②；③，其中正确的是　 　．
【答案】①②③
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：一元三次方程三个非零实数根分别为，，，
原方程可写为
展开多项式得：
整理得
将上式与原方程对比系数可得：
，即，故①正确；
，即，故③正确；
，即，故②正确．
综上所述，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【分析】根据方程的解可得原方程可写为，然后展开合并，根据对应系数相等解答即可.
17． 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，运算二次根式的乘法运算，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式、完全平方公式展开，然后加减解答即可.
18． 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
移项，得，
配方，得，
即，
开方，得，
解得，．
（2）解：，
方程变形为，
因式分解，得，
所以或，
解得，．

【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项、添加一次项系数一半的平方，左边写为完全平方公式，然后开方解方程即可；
（2）移项，提取公因式(x+5)，利用因式分解法解一元二次方程即可．
19． 如图，在平面直角坐标系中，的对称中心在原点O．
（1）在如图直角坐标系中画出这个平行四边形；
（2）的面积为　 　．
【答案】（1）解：根据题意，得，
又的对称中心在原点O．
故，画图如下：
（2）18
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】解：的面积为．
故答案为：18.
【分析】（1）作出点A，B关于原点的对撤店C，D，然后连接得到四边形ABCD，则ABCD即为所作；
（2）利用割补法求出平行四边形的面积即可．
20． 汉字是传承中华文明的重要载体．阳光中学于12月24日～26日开展了第一届汉字书写大赛，本次大赛满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生的成绩（单位：分）如下：
甲组：4，5，5，6，6，6，6，8，9，10；
乙组：3，5，6，6，7，7，7，7，8，9．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 6 6
乙组 7
（1）根据以上成绩，统计分析表中：　 　，　 　，　 　．
（2）从平均数和方差看，若从甲、乙两组中选择一个组参加决赛，应选哪个组？请说明理由．
【答案】（1）；7；2.45
（2）解：乙组参加决赛．
理由如下：∵甲组平均数，乙组平均数，
∴两组平均数相同，
∵甲组方差，乙组方差，且，
∴乙组成绩更稳定，
∴选乙组参加决赛.
【知识点】中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：甲组平均数是，
∵乙组数据为：3，5，6，6，7，7，7，7，8，9，
∴乙组的中位数为第五和第六位数的平均数，即，
乙组的方差，
故答案为：；7；；
【分析】（1）根据平均数、中位数和方差的定义解答即可；
（2）比较甲、乙两组的平均数与方差，根据方差小的成绩稳定解答即可．
21． 如图，在中，对角线、交于点，过点，并与、分别交于点、，，．
（1）求证：；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
由（1）知，
，
，
的周长为．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，然后根据得到，根据对应边相等解答即可；
（2）根据平行四边形的性质得到，，即可得到，根据全等三角形的对应边相等得到，进而求出，求出周长解答即可．
22． 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个．
（1）商场为了保证经营该商品赚得8750元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？
（2）商场是否能获得10000元的利润？若能，请计算售价是多少；不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设每个售价提高x元，
由题意得，，
解得，，
∵尽量兼顾顾客的利益，
∴，
∴（元），
∴售价应定为65元；
（2）解：不能，理由如下：
根据题意得，，
整理得，，
∵，
∴该一元二次方程没有实数根，
∴商场不能获得10000元的利润.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个售价提高x元，根据(售价-进价)×销售量=利润列方程，求出x的值，再根据兼顾顾客的利益取舍根解答即可；
（2）根据题意列一元二次方程，利用判别式判断得到，判断方程解的情况解答即可．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
【答案】（1）解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤；
（2）解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用判别式得到Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，解得m≤；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=2m-4，（x1-3）（x2-3）=m2-1变形得到x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，代入得到关于m的方程，解得解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
（1）解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤；
（2）根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，
∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
24． 如图，为的对角线，平分为射线上一点．
（1）如图1，在延长线上，连接与交于点若；
①当为中点时，求证：；
②当时，求长度；
（2）如图2，在线段上，连接与交点于，若，试探究三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AD∥BF，
∴∠D=∠FCD，
∵G是CD中点，
∴DG=CG，
∵∠FGC=∠DGA，
∴△ADG≌△FCG（ASA），
∴AD=FC，
∴FC=BC．
解：②在Rt△ABC中，AC=8，CD=6，
∴AD==10，
∴BC=10，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AC=AF，
∴∠F=∠CAF，
∵∠ACB=∠F+∠CAF=2∠F=∠ACE+∠BCE=2∠BCE，
∴∠F=∠BCE，
∴CE∥AG，
又∵AB∥CD，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AE=CG，
如图1，过点E作EN⊥BC于N，
∵∠ACE=∠ECN，∠EAC=∠ENC=90°，CE=CE，
∴△ACE≌△NCE（AAS），
∴AC=CN=8，AE=EN，
∴BN=2，
∵BE2=BN2+EN2，
∴（6-EN）2=EN2+4，
∴EN=，
∴AE=CG=；
（2）解：AC=AH+AD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，
∵∠D=3∠ACE，
∴∠B=3∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE+∠B+∠BAC=180°，
∴∠ACE=∠BCE=18°，∠B=54°，
∵AF=CF，
∴∠CAF=∠ACF=36°，
∴∠B=∠BAF=54°，
∴AF=BF=CF=BC=AD，
如图2，以C为顶点作∠BCP=36°，交AF的延长线于P，
∴∠ACP=72°，
又∵∠CAF=36°，
∴∠P=72°=∠ACP，
∴AC=AP，
∵∠CHP=∠ACE+∠CAF=54°，∠PCH=∠BCE+∠BCP=54°，
∴∠CHP=∠PCH，
∴CP=PH，
∵∠CFP=∠ACF+∠FAC=72°，
∴∠CFP=∠P，
∴CP=CF=PH，
∵AC=AP=AH+PH，
∴AC=AH+AD．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的性质，利用ASA得到△ADG≌△FCG，根据对应边相等得到结论即可；
②根据勾股定理求出AD长，然后根据角平分线的定义和等边对等角得到∠ACE=∠BCE，∠F=∠CAF，然后根据三角形的外角性质和角的和差得到∠F=∠BCE，即可得到AB∥CD，进而得到四边形AECG是平行四边形，再根据AAS得到△ACE≌△NCE，根据勾股定理求出EN长解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和三角形内角和定理可求∠ACE=∠BCE=18°，∠B=54°，然后根据等边对等角得到∠CAF=∠ACF=36°，即可得到∠B=∠BAF=54°，进而可得AF=BF=CF=BC=AD，以C为顶点作∠BCP=36°，交AF的延长线于P，根据三角形的外角得到∠CHP=∠PCH，∠CFP=∠P，进而可得CP=CF=PH，进而得到结论即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑