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广东韶关市仁化县2025-2026学年八年级下学期期中质量监测数学试题
1．使 有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
2．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． + = B． ﹣ = C． × =6 D． ÷ =4
4．在下列长度的线段中，能构成直角三角形的是 (　　)
A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．，，
5．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（　　）.
A．34 B．26 C．6.5 D．8.5
6．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC
8．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且连接AE、AF、EF、AC，EF交AB于点则下列结论：≌； ；若，，则； 若，E为DC的中点，则其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4 个
11．计算：　 　．
12．如图，在正方形网格中，，，，，都是格点，则　 　．
13．如图，从数轴的原点O向右数出4个单位，记为点A，过点A作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C所表示的实数为　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为　 　．
15．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是　 　.
16．计算：
17．如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离．
18．如图，在四边形中，是对角线，点分别是边，的中点，依次连接．求证：四边形是平行四边形．
19．如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，．
（1）求证：是直角三角形．
（2）八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用．
20．小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的：
，，
，，，
．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：．
（2）若．
①求的值；
②求的值．
21．综合与实践
【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为．
【操作探究】
（1）如图1，逐梦组将三角板的边与三角板的边重合，得到的四边形．证明四边形是平行四边形．
（2）如图2，追光组将三角板沿三角板的边平移一定距离时，得到四边形是矩形，且点在上，求三角板平移的距离．
22．项目式学习．
项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣．
素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树．
素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：①画出不同类型三角形形成的树形图；②所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究．
【解决问题】
（1）任务一：小明画出了锐角，，，计算的值，并写出过程；
（2）任务二：小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程；
（3）任务三：小山画出了钝角，，，则______．
【项目总结】
（4）综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形形成的总面积最大．
23．综合与实践
【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形中，点E是边上的任意一点，，与正方形的外角的平分线交于点P，说明．
【思考尝试】（1）①张金发现：在边上截取，连接（如图2）便可以通过证明解决这个问题．其中，说明时，需先求得二者度数均为________；
②刘鼎有不一样的思路：延长至点，使，连接，（如图3），通过证明四边形是平行四边形后，巧妙地将证明的问题转化为证明．请写出刘鼎的证明过程．
【实践探究】（2）课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程．
【拓展迁移】（3）刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接．当正方形的边长确定时，可以确定的最小值．若记，请你用含的代数式表示的最小值（直接写出答案）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 有意义，
∴x-3≥0，
解得x≥3．
故答案为：C．
【分析】先根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0）列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故Ａ错误.
B、满足最简二次根式的两个条件，故B正确.
C：的被开方数是小数，不是最简二次根式，故Ｃ错误.
D：，不是最简二次根式，故Ｄ错误.
故答案为：Ｂ.
【分析】根据最简二次根式需满足条件判断、、都可以化简，不是最简二次根式，不可以化简，是最简二次根式即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 + 不能合并，故选项错误；
B、 ﹣ =2 ﹣ = ，故选项正确；
C、 × = = ，故选项错误；
D、 ÷ = = =2，故选项错误．
故选B．
【分析】A、原式不能合并；
B、原式第一项化简后，合并即可得到结果；
C、原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
D、原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.：32+52≠92，故不是直角三角形，错误；
B：42+62≠82，故不是直角三角形，错误；
C：12+（）2=22，故是直角三角形，正确；
D：（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，错误．
故答案为：C．
【分析】要判断一个三角形是否为直角三角形，可以依据勾股定理的逆定理进行判定：若一个三角形中，存在两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；不存在这种数量关系的三角形，则不是直角三角形，只需按照这个规则对选项逐一验证即可。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】由勾股定理可得，斜边长为13，再由斜边上的中线等于斜边的一半可得，斜边上的中线长为6.5，
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理可计算出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线定理可计算出斜边中线的长度。
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n，
∴（n-2）×180°=540°
解得n=5
故答案为：B．
【分析】根据内角和公式即可求解．
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断，
平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选A．
【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．
8．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，已知，，根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得斜边。
在中，已知，，由勾股定理可得：
故答案为：A。
【分析】 本题重点考查勾股定理，先利用含 30° 角的直角三角形的性质求出中间边长OB，再结合勾股定理计算出OC的长度。
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质可得，结合求出∠B的度数，再结合，最后求出∠A的度数即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
，，，
≌，故正确．
≌，
，．
，
，即，
为等腰直角三角形，
，故正确．
，，
．
．
，故错误.
，E为DC的中点，
，
依据勾股定理可知：，则，则，故错误．
故答案为：B．
【分析】根据相等，相等，相等，即可证明、全等，即可判断正确，根据全等性质得相等，相等，再根据和为90度即可得，即可得为等腰直角三角形，可得，可判断正确，再根据等于3，相等得，根据勾股定理得，根据三角形面积公式即可得，即可判断，再根据，E为DC的中点，得，，再结合勾股定理得，进一步得即可判断.
11．【答案】6
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，
故答案为：6
【分析】这道题主要考察对算术平方根定义的理解，以及根据定义计算出指定数的算术平方根，按照算术平方根的定义计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，
连接AD、BE，
∵BF=CF，CK=EK，
∴∠FBC=CEK=45°，
∴∠1+∠BAC=45°，∠2+∠CDE=45°，
∵BC2=22+22=8，CE2=12+12=2，BE2=32+12=10，
∴BC2+CE2=BE2，
∴∠BCE=90°，
∵AD2=32+12=10，CD2=32+12=10，AC2=42+22=20，
∴AD2+CD2=AC2，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠BAC+∠CDE=45°.
故答案为：45°．
【分析】连接AD、BE，根据BF、CF相等，CK、EK相等，即可得∠FBC、CEK等于45度，即可得∠1、∠BAC和为45°，∠2、∠CDE和为45°，再根据BC2=8，CE2=2，BE2=10，即可得BC2+CE2=BE2，
即可得∠BCE=90°，再求出AD2=10，CD2=10，AC2=20，即可得AD2+CD2=AC2，可∠ADC=90°，
进一步得∠ACD=45°，即可得∠1+∠2=45°，从而得到∠BAC+∠CDE=45°.
13．【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】在Rt△OAB中，根据勾股定理：OB＝＝，
∴点C所表示的实数为，
故答案为：．
【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出线段 OB 的长度，再根据数轴上的点与实数的对应关系，得出点 C 所表示的实数。
14．【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故答案为：4．
【分析】根据矩形性质即可求出答案.
15．【答案】2
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BDA=∠ADC=×120°=60°，
∵AB=AD（菱形的邻边相等），
∴△ABD是等边三角形，
连接DE，∵B、D关于对角线AC对称，
∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵菱形ABCD周长为16，
∴AD=16÷4=4，
∴DE=．
故答案为：2．
【分析】先连接BD，根据菱形的性质，菱形的对角线会平分一组对角，由此可以得到∠BDA=∠ADC=60°，据此可以判断出△ABD是等边三角形。接着连接DE，结合轴对称找最短路径的原理，DE和AC的交点就是要找的满足条件的点P，此时PE+PB的最小值就等于DE的长度，最后根据等边三角形的性质求出DE的长，就能得到最终答案。
16．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先化简的，然后计算小括号得，最后算除法即可得答案.
17．【答案】解：如图，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴的距离为．
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【分析】再中，根据，结合勾股定理即可求解为4cm，再根据计算即可得答案.
18．【答案】证明：如图，
分别是的中点，
是的中位线，
，，
同理：，，
，，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【分析】根据分别是的中点，结合三角形中位线概念得是是的中位线，根据三角形中位线定理得平行，相等，同理得：平行，相等，即可得相等，平行，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形.
19．【答案】（1）证明：如图，
，，，
，
是直角三角形．
（2）解：如图，
过作交于，
，，
为中点，，
，
，
是直角三角形，
，
，
∴购买西红柿苗总共需要的费用为：（元），
∴购买西红柿苗总共需要元．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据，，，计算得，结合勾股定理逆定理得，即可判断是直角三角形．
（2）过作交于，根据等于，垂直，即可得为中点，等于，再根据勾股定理得，再根据三角形面积公式得，
，再根据，计算求出面积，进而得到总费用．
（1）证明：，，，
，
是直角三角形．
（2）解：过作交于，
，，
为中点，，
，
，
是直角三角形，
，
，
则（元），
答：购买西红柿苗总共需要元．
20．【答案】（1）解：，
，
，
.
（2）解：，
，
，，
，
①.
②，
，
，
，
，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）把根据题目中小芳分母有理化的方法进行分母有理化、计算得，进一步观察发现规律，计算即可得答案.
（2）①把分母有理化后推得，将化为后代入求解即可得答案.
②根据①，再将化为，，再把推代入计算即可得答案.
（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
①；
②，
，
，
，
，
．
21．【答案】（1）证明：如图，
根据题意：，
∴，
∴四边形是平行四边形.
（2）解：根据题意：，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
设，则，
在和中，
∵，
∴，即，解得：，
∴三角板平移的距离．
【知识点】二次根式的实际应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据题目情境得全等，根据全等三角形的性质可得相等，相等，再根据平行四边形判定定理即可证明四边形是平行四边形.
（2）根据题意即可得，，根据勾股定理得，根据矩形的性质得到，设，则，再根据勾股定理建立方程求解即可得答案.
（1）证明：根据题意：，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：根据题意：，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
设，则，
在和中，
∵，
∴，即，
解得：，
∴三角板平移的距离．
22．【答案】解：(1)根据题意得：，
，
．
(2)根据题意得：①，
，
，即，
②，
联立①②得：，
∴．
(3)
(4) 钝角.
【知识点】二次根式的性质与化简；含30°角的直角三角形；勾股定理的证明；勾股数；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（3）如图，
过点作，交的延长线于点，
则，
设，则，
，
，
在中，，即，解得，
，
∴，
故答案为：．
（4）小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大．
证明如下：
在任务一中，，
在任务二中，，
在任务三中，，
，
∴周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大．
故答案为：钝角.
【分析】（1）根据题意得，即可得，进一步计算出的值 即可.
（2）根据题目情境，结合勾股定理求出的长，再根据正方形的面积公式得即可.
（3）过点作，交的延长线于点，设，则，，再根据勾股定理列方程，解出，即可得，进一步可求出即可.
（4）根据（1）（2）（3）的结论，分别求出务一中，任务二中，任务三中，再比较大小即可得答案.
23．【答案】解：（1）①
②证明：∵，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）不变，，过程如下：
如图，在上截取，连接，
是等腰直角三角形，
，，
由（1）同理可得，
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵在正方形中，，
∴.
（3）的最小值 为.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵正方形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴时，需先求得二者度数均为.
故答案为：.
（3）如图，过D作交的延长线于点H，连接、．
由（2）知：，
∴点P在与成的直线上运动，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴点H与D关于对称，，
∴，
∴，
当A、P、H三点共线时，即最短，
此时，，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值是．
【分析】（1）①在正方形中，等于90度，即可得等于90度，根据角平分线的定义得等于45度，再根据计算可得答案.
②根据相等，等于90度即可得，进一步求出，由①知，即可得相等，可证明平行，再根据相等，相等，相等即可证明全等，根据全等性质得相等，相等，进一步推理得相等，即可得，即可得四边形是平行四边形，进一步得，即可证明.
（2）在上截取相等，连接，由（1）同理可得相等，即可证明全等，根据全等性质得等于135度，根据正方形性质得即可得答案.
（3）过D作交的延长线于点H，连接、，由（2）知：， 点P在与成的直线上运动，当A、P、H三点共线时，即最短，当与相等时，即A、D、P三点共线，即可求解．
1 / 1广东韶关市仁化县2025-2026学年八年级下学期期中质量监测数学试题
1．使 有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 有意义，
∴x-3≥0，
解得x≥3．
故答案为：C．
【分析】先根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0）列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.
2．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故Ａ错误.
B、满足最简二次根式的两个条件，故B正确.
C：的被开方数是小数，不是最简二次根式，故Ｃ错误.
D：，不是最简二次根式，故Ｄ错误.
故答案为：Ｂ.
【分析】根据最简二次根式需满足条件判断、、都可以化简，不是最简二次根式，不可以化简，是最简二次根式即可得答案.
3．下列计算正确的是（　　）
A． + = B． ﹣ = C． × =6 D． ÷ =4
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 + 不能合并，故选项错误；
B、 ﹣ =2 ﹣ = ，故选项正确；
C、 × = = ，故选项错误；
D、 ÷ = = =2，故选项错误．
故选B．
【分析】A、原式不能合并；
B、原式第一项化简后，合并即可得到结果；
C、原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
D、原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果．
4．在下列长度的线段中，能构成直角三角形的是 (　　)
A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.：32+52≠92，故不是直角三角形，错误；
B：42+62≠82，故不是直角三角形，错误；
C：12+（）2=22，故是直角三角形，正确；
D：（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，错误．
故答案为：C．
【分析】要判断一个三角形是否为直角三角形，可以依据勾股定理的逆定理进行判定：若一个三角形中，存在两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；不存在这种数量关系的三角形，则不是直角三角形，只需按照这个规则对选项逐一验证即可。
5．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（　　）.
A．34 B．26 C．6.5 D．8.5
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】由勾股定理可得，斜边长为13，再由斜边上的中线等于斜边的一半可得，斜边上的中线长为6.5，
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理可计算出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线定理可计算出斜边中线的长度。
6．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n，
∴（n-2）×180°=540°
解得n=5
故答案为：B．
【分析】根据内角和公式即可求解．
7．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断，
平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选A．
【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．
8．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，已知，，根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得斜边。
在中，已知，，由勾股定理可得：
故答案为：A。
【分析】 本题重点考查勾股定理，先利用含 30° 角的直角三角形的性质求出中间边长OB，再结合勾股定理计算出OC的长度。
9．如图，在中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质可得，结合求出∠B的度数，再结合，最后求出∠A的度数即可.
10．如图，ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且连接AE、AF、EF、AC，EF交AB于点则下列结论：≌； ；若，，则； 若，E为DC的中点，则其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
，，，
≌，故正确．
≌，
，．
，
，即，
为等腰直角三角形，
，故正确．
，，
．
．
，故错误.
，E为DC的中点，
，
依据勾股定理可知：，则，则，故错误．
故答案为：B．
【分析】根据相等，相等，相等，即可证明、全等，即可判断正确，根据全等性质得相等，相等，再根据和为90度即可得，即可得为等腰直角三角形，可得，可判断正确，再根据等于3，相等得，根据勾股定理得，根据三角形面积公式即可得，即可判断，再根据，E为DC的中点，得，，再结合勾股定理得，进一步得即可判断.
11．计算：　 　．
【答案】6
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，
故答案为：6
【分析】这道题主要考察对算术平方根定义的理解，以及根据定义计算出指定数的算术平方根，按照算术平方根的定义计算求解即可。
12．如图，在正方形网格中，，，，，都是格点，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，
连接AD、BE，
∵BF=CF，CK=EK，
∴∠FBC=CEK=45°，
∴∠1+∠BAC=45°，∠2+∠CDE=45°，
∵BC2=22+22=8，CE2=12+12=2，BE2=32+12=10，
∴BC2+CE2=BE2，
∴∠BCE=90°，
∵AD2=32+12=10，CD2=32+12=10，AC2=42+22=20，
∴AD2+CD2=AC2，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠BAC+∠CDE=45°.
故答案为：45°．
【分析】连接AD、BE，根据BF、CF相等，CK、EK相等，即可得∠FBC、CEK等于45度，即可得∠1、∠BAC和为45°，∠2、∠CDE和为45°，再根据BC2=8，CE2=2，BE2=10，即可得BC2+CE2=BE2，
即可得∠BCE=90°，再求出AD2=10，CD2=10，AC2=20，即可得AD2+CD2=AC2，可∠ADC=90°，
进一步得∠ACD=45°，即可得∠1+∠2=45°，从而得到∠BAC+∠CDE=45°.
13．如图，从数轴的原点O向右数出4个单位，记为点A，过点A作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C所表示的实数为　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】在Rt△OAB中，根据勾股定理：OB＝＝，
∴点C所表示的实数为，
故答案为：．
【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出线段 OB 的长度，再根据数轴上的点与实数的对应关系，得出点 C 所表示的实数。
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为　 　．
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故答案为：4．
【分析】根据矩形性质即可求出答案.
15．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是　 　.
【答案】2
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BDA=∠ADC=×120°=60°，
∵AB=AD（菱形的邻边相等），
∴△ABD是等边三角形，
连接DE，∵B、D关于对角线AC对称，
∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵菱形ABCD周长为16，
∴AD=16÷4=4，
∴DE=．
故答案为：2．
【分析】先连接BD，根据菱形的性质，菱形的对角线会平分一组对角，由此可以得到∠BDA=∠ADC=60°，据此可以判断出△ABD是等边三角形。接着连接DE，结合轴对称找最短路径的原理，DE和AC的交点就是要找的满足条件的点P，此时PE+PB的最小值就等于DE的长度，最后根据等边三角形的性质求出DE的长，就能得到最终答案。
16．计算：
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先化简的，然后计算小括号得，最后算除法即可得答案.
17．如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离．
【答案】解：如图，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴的距离为．
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【分析】再中，根据，结合勾股定理即可求解为4cm，再根据计算即可得答案.
18．如图，在四边形中，是对角线，点分别是边，的中点，依次连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：如图，
分别是的中点，
是的中位线，
，，
同理：，，
，，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【分析】根据分别是的中点，结合三角形中位线概念得是是的中位线，根据三角形中位线定理得平行，相等，同理得：平行，相等，即可得相等，平行，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形.
19．如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，．
（1）求证：是直角三角形．
（2）八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用．
【答案】（1）证明：如图，
，，，
，
是直角三角形．
（2）解：如图，
过作交于，
，，
为中点，，
，
，
是直角三角形，
，
，
∴购买西红柿苗总共需要的费用为：（元），
∴购买西红柿苗总共需要元．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据，，，计算得，结合勾股定理逆定理得，即可判断是直角三角形．
（2）过作交于，根据等于，垂直，即可得为中点，等于，再根据勾股定理得，再根据三角形面积公式得，
，再根据，计算求出面积，进而得到总费用．
（1）证明：，，，
，
是直角三角形．
（2）解：过作交于，
，，
为中点，，
，
，
是直角三角形，
，
，
则（元），
答：购买西红柿苗总共需要元．
20．小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的：
，，
，，，
．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：．
（2）若．
①求的值；
②求的值．
【答案】（1）解：，
，
，
.
（2）解：，
，
，，
，
①.
②，
，
，
，
，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）把根据题目中小芳分母有理化的方法进行分母有理化、计算得，进一步观察发现规律，计算即可得答案.
（2）①把分母有理化后推得，将化为后代入求解即可得答案.
②根据①，再将化为，，再把推代入计算即可得答案.
（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
①；
②，
，
，
，
，
．
21．综合与实践
【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为．
【操作探究】
（1）如图1，逐梦组将三角板的边与三角板的边重合，得到的四边形．证明四边形是平行四边形．
（2）如图2，追光组将三角板沿三角板的边平移一定距离时，得到四边形是矩形，且点在上，求三角板平移的距离．
【答案】（1）证明：如图，
根据题意：，
∴，
∴四边形是平行四边形.
（2）解：根据题意：，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
设，则，
在和中，
∵，
∴，即，解得：，
∴三角板平移的距离．
【知识点】二次根式的实际应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据题目情境得全等，根据全等三角形的性质可得相等，相等，再根据平行四边形判定定理即可证明四边形是平行四边形.
（2）根据题意即可得，，根据勾股定理得，根据矩形的性质得到，设，则，再根据勾股定理建立方程求解即可得答案.
（1）证明：根据题意：，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：根据题意：，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
设，则，
在和中，
∵，
∴，即，
解得：，
∴三角板平移的距离．
22．项目式学习．
项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣．
素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树．
素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：①画出不同类型三角形形成的树形图；②所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究．
【解决问题】
（1）任务一：小明画出了锐角，，，计算的值，并写出过程；
（2）任务二：小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程；
（3）任务三：小山画出了钝角，，，则______．
【项目总结】
（4）综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形形成的总面积最大．
【答案】解：(1)根据题意得：，
，
．
(2)根据题意得：①，
，
，即，
②，
联立①②得：，
∴．
(3)
(4) 钝角.
【知识点】二次根式的性质与化简；含30°角的直角三角形；勾股定理的证明；勾股数；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（3）如图，
过点作，交的延长线于点，
则，
设，则，
，
，
在中，，即，解得，
，
∴，
故答案为：．
（4）小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大．
证明如下：
在任务一中，，
在任务二中，，
在任务三中，，
，
∴周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大．
故答案为：钝角.
【分析】（1）根据题意得，即可得，进一步计算出的值 即可.
（2）根据题目情境，结合勾股定理求出的长，再根据正方形的面积公式得即可.
（3）过点作，交的延长线于点，设，则，，再根据勾股定理列方程，解出，即可得，进一步可求出即可.
（4）根据（1）（2）（3）的结论，分别求出务一中，任务二中，任务三中，再比较大小即可得答案.
23．综合与实践
【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形中，点E是边上的任意一点，，与正方形的外角的平分线交于点P，说明．
【思考尝试】（1）①张金发现：在边上截取，连接（如图2）便可以通过证明解决这个问题．其中，说明时，需先求得二者度数均为________；
②刘鼎有不一样的思路：延长至点，使，连接，（如图3），通过证明四边形是平行四边形后，巧妙地将证明的问题转化为证明．请写出刘鼎的证明过程．
【实践探究】（2）课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程．
【拓展迁移】（3）刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接．当正方形的边长确定时，可以确定的最小值．若记，请你用含的代数式表示的最小值（直接写出答案）．
【答案】解：（1）①
②证明：∵，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）不变，，过程如下：
如图，在上截取，连接，
是等腰直角三角形，
，，
由（1）同理可得，
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵在正方形中，，
∴.
（3）的最小值 为.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵正方形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴时，需先求得二者度数均为.
故答案为：.
（3）如图，过D作交的延长线于点H，连接、．
由（2）知：，
∴点P在与成的直线上运动，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴点H与D关于对称，，
∴，
∴，
当A、P、H三点共线时，即最短，
此时，，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值是．
【分析】（1）①在正方形中，等于90度，即可得等于90度，根据角平分线的定义得等于45度，再根据计算可得答案.
②根据相等，等于90度即可得，进一步求出，由①知，即可得相等，可证明平行，再根据相等，相等，相等即可证明全等，根据全等性质得相等，相等，进一步推理得相等，即可得，即可得四边形是平行四边形，进一步得，即可证明.
（2）在上截取相等，连接，由（1）同理可得相等，即可证明全等，根据全等性质得等于135度，根据正方形性质得即可得答案.
（3）过D作交的延长线于点H，连接、，由（2）知：， 点P在与成的直线上运动，当A、P、H三点共线时，即最短，当与相等时，即A、D、P三点共线，即可求解．
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