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甘肃省酒泉市玉门市2024-2025学年下学期期末考试数学试卷
一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）
1．国际数学家大会每四年举行一次， 是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议． 下列四个图形分别是四届大会的会标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：观察图形，只有D选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿着直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形；
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义：在为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，然后再对各个选项进行逐一分析即可求解。
2．你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（　　）
A．化学物质 B．温度 C．电池 D．电瓶车
【答案】B
【知识点】函数的概念；自变量、因变量
【解析】【解答】解：由题意可知，在这个变化过程中，自变量是温度，
故答案为：B．
【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量．若一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化，那么我们称前一个变量为因变量，后一个变量为自变量。题中“ 随着温度降低，电池中的化学物质活性降低 ”，即温度数值的变化导致电池中化学物质活性发生变化，因此温度是自变量。
3．细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大.某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（　　）
A．25×10﹣5米 B．25×10﹣6米
C．2.5×10﹣5米 D．2.5×10﹣6米
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000025=2.5×10-6.
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般表示为a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于从小数点开始数，一直数到第一个不为零为止时的位数.
4．2025年3月23日，全国“沙戈荒”大型风光电基地关键配套工程一金塔千伏输变电工程正式投运，成为今年河西地区首个建成投运的千伏输变电工程．其中的高压电线塔采用三角形结构设计，主要利用的数学性质是（　　）
A．三角形内角和是 B．三角形具有稳定性
C．三角形的轴对称性 D．三角形的三边关系
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：高压电线塔采用三角形结构设计，主要利用三角形的稳定性．
故选：B．
【分析】本题考查三角形基本性质在实际工程中的应用，高压电线塔需要结构稳固不易变形，而三角形具有稳定性这一独特性质，能够有效防止结构发生形变，因此采用三角形结构设计。
5．下列事件中，是不可能事件的是（　　）
A．明天会下雨 B．淋雨会感冒
C．垂线段最短 D．太阳围绕地球转
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：选项A：“明天会下雨”是随机事件，可能发生也可能不发生，不符合不可能事件的定义．
选项B：“淋雨会感冒”是随机事件，虽然淋雨可能增加感冒概率，但并非必然发生．
选项C：“垂线段最短”是几何公理，属于必然事件，描述的是必然成立的结论．
选项D：“太阳围绕地球转”与科学事实完全相悖，属于绝对不可能发生的事件，因此为不可能事件．
故选：D．
【分析】本题考查事件的分类及各类事件的定义，不可能事件是指在一定条件下，绝对不会发生的事件，解题时需结合生活常识和科学事实，逐一分析每个选项事件发生的可能性。
6．将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、由，此选项不符合题意；
B、由，此选项不符合题意；
C、由，此选项符合题意；
D、由，此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，三角形任意两边之和必须大于第三边，解题时只需验证每个选项中较短两条边的长度之和是否大于最长边的长度，满足该条件的即为正确答案。
7．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（　　）
A．边角边 B．角边角
C．边边边 D．全等三角形的对应角相等
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，的中点都是，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
8．如图是某绿色植物的光谱反射曲线，它反映的是反射率和波长之间的关系，则反射率为时，波长为（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图象知，反射率为时，波长为或，
故选：D．
【分析】本题考查从函数图象中提取有效信息的能力，图象的横坐标表示波长，纵坐标表示反射率，解题时需在纵轴上找到反射率为10%的点，然后作水平线与曲线相交，交点对应的横坐标即为所求的波长。
9．图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用两直线平行内错角相等得，，再根据等边对等角求得，最后再利用三角形内角和定理即可．
10．定义：如果，那么叫作以为底的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法正确的个数为（　　）
①；②若，则；③．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：① 根据定义，若，则．因，故，①正确．
② 若，则：
∵，
∴．
∵
∴，即，
解得，
故，②正确．
③（）：
设，，
则，．
故，，③正确．
综上，①②③均正确，
故选：D．
【分析】本题以对数的新定义为背景，考查指数与对数的相互转化及同底数幂的乘法运算，解题时需将对数式转化为指数式进行计算和验证，进而结合同底数幂相乘底数不变指数相加的性质推导对数的加法法则对①②③④逐一运算即可求解。
二、填空题．（每题3分，共18分）
11．中国高铁运营速度处于全球领先水平．设兰州到酒泉的高铁列车的平均时速为，其行驶路程（单位：）与行驶时间（，单位）之间的关系式为　 　．
【答案】
【知识点】函数解析式；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：行驶路程与行驶时间x之间的关系式为．
故答案为：
【分析】本题考查根据实际问题列一次函数关系式，根据行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，将已知的平均时速300km/h代入公式，同时注明自变量x的取值范围即可。
12．甘州古塔位于甘肃省张掖市甘州区，是中国塔和印度塔的融合体．为测量这座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下方案：如图，作的延长线，量出的度数，从而得到的度数，这个方案的依据是　 　．
【答案】对顶角相等
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得：与是对顶角，
∴（对顶角相等），
即这个方案的依据是对顶角相等．
故答案为：对顶角相等．
【分析】本题考查对顶角的性质在实际测量中的应用，AO和BO的延长线形成的与是对顶角，根据对顶角相等的性质，测量出的度数就等于得到了的度数。
13．在 中，若 ， ，则 的度数为　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，
∴∠A=90°-35°=55°，
故答案为：55°．
【分析】根据直角三角形两锐角互余进行解答即可.
14．如图，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为　 　．
【答案】200
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过作于点，
，
，
，
为的平分线，，
，
，，
，
，
此时这个人到的最短距离为，
故答案为：200．
【分析】过作于点，根据角平分线性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是　 　．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据多项式除以单项式即可求出答案.
16．如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若周长最小时，的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵垂直平分，
，
，，
∴，
∵为定值，两点之间线段最短，
∴当在同一条直线上时，最小， 即的周长最小，
，点是的中点，
，
∴，
∴．
故答案为： ．
【分析】连接，根据垂直平分线性质可得，再根据三角形周长可得，当在同一条直线上时，最小， 即的周长最小，根据等腰三角形三线合一性质可得∠PAC，再根据三角形外角性质即可求出答案.
三、解答题：本大题6个小题，共32分
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】本题考查整式的混合运算，涉及多项式乘多项式法则和平方差公式的应用，解题时先分别计算两个乘法运算，第一个乘法用多项式乘多项式法则展开，第二个乘法用平方差公式展开，然后合并同类项得到最终结果。
18．如图1，红梅公园是常州市最大的国家级重点公园，因园内著名古建筑——红梅阁而得名园中天宁宝塔与文笔塔遥相呼应，园内八景吸引无数游客前往．现将公园北侧小东门路与西侧红梅路看成两条线段，天宁宝塔与文笔塔看成两个点，如图2.已知红梅阁到这两条路的距离近似相等，且到这两座塔的距离也近似相等，请在图2中用直尺和圆规找到红梅阁的位置，标注为点 P(保留作图痕迹，不要求写作法）．
【答案】解：如图，点P即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作的角平分线，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求．
19．夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间与蚊香长度之间的关系．数学小组的同学通过试验得到如下数据：
蚊香燃烧时间 0 1 2 …
蚊香长度 105 100 95 90 85 …
请根据以上信息解答下列问题：
（1）当蚊香的燃烧时间为时，蚊香的长度为__________；
（2）直接写出蚊香长度与蚊香燃烧时间之间的关系式．
【答案】（1）75
（2）
【知识点】函数解析式；有理数混合运算的实际应用；通过函数图象获取信息；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：由表格可知，蚊香每燃烧，缩短，
∵蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度，
∴，
故答案为：75；
（2）解：由表格可得：点燃时蚊香每小时缩短，
∴蚊香长度与蚊香燃烧时间t的关系式为；
【分析】（1）本题考查根据表格数据进行函数值的计算，首先观察表格中蚊香燃烧时间和长度的变化规律，发现每燃烧0.5小时蚊香长度缩短5cm，即每小时缩短10cm，用蚊香的初始长度减去3小时燃烧的长度即可得到3小时时的长度；
（2）本题考查根据实际问题列一次函数关系式，根据蚊香长度等于初始长度减去燃烧掉的长度，结合每小时燃烧10cm的规律，即可写出s与t的函数关系式。
（1）解：由表格可知，蚊香每燃烧，缩短，
∵蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度，
∴，
故答案为：75；
（2）解：由表格可得：点燃时蚊香每小时缩短，
∴蚊香长度与蚊香燃烧时间t的关系式为；
20．如图，，．
（1）求证：；
（2）若，则__________°．
【答案】（1）证明：在和中，
，
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
【分析】（1）直接利用得到两三角形全等即可；
（2）根据三角形内角和定理得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等解答即可．
（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
21．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个，且从中任意摸出一个球是白球的概率为．
（1）求盒子中黑球的个数；
（2）求任意摸出一个球是黑球的概率．
【答案】（1）解：∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，∴，
故盒子中黑球的个数为：个；
（2）解：任意摸出一个球是黑球的概率为：；
答：任意摸出一个球是黑球的概率为．
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）本题考查概率公式的逆用，已知摸出白球的概率和白球的个数，根据“概率=所求情况数与总情况数之比”，用白球个数除以摸出白球的概率即可得到盒子中球的总个数，再减去红球和白球的个数就能求出黑球的个数；
（2）本题考查概率公式的直接应用，用黑球的个数除以球的总个数，即可得到任意摸出一个球是黑球的概率。
（1）解：∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，
∴，
故盒子中黑球的个数为：个；
（2）解：任意摸出一个球是黑球的概率为：；
答：任意摸出一个球是黑球的概率为．
22．如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数．
【答案】解：是边上的高，
．
，，
，．
．
是的平分线，
．
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】本题考查三角形的高、角平分线的定义以及三角形内角和定理的综合应用，解题时先根据CD是AB边上的高得到，结合求出的度数，再由的度数求出的度数，进而在中求出的度数，然后根据角平分线的定义得到的度数，最后在中利用三角形内角和为计算出的度数。
四、解答题：本大题5个小题，共40分
23．甘肃省博物馆位于兰州市，集文物征集、收藏、研究、展示、教育、服务于一体，是甘肃省最大的综合性博物馆．周末聪聪和家人一起驾车从家出发去甘肃省博物馆，在馆内参观了，随后驾车去姑妈家．如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题：
（1）聪聪家与博物馆的距离是______，博物馆到姑妈家的距离是______；
（2）求聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）．
【答案】（1）15，25
（2）解：（千米/时）．
答：聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度为60千米/时．
【知识点】通过函数图象获取信息；有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】（1）解：由图象可知，聪聪家与博物馆的距离是15千米，博物馆到姑妈家的距离是：（千米），
故答案为：15，25；
【分析】（1）本题考查从函数图象中读取信息的能力，图象的纵坐标表示离开家的距离，横坐标表示离开家的时间，聪聪家到博物馆的距离是图象中OA段对应的最大纵坐标值，博物馆到姑妈家的距离是BC段对应的纵坐标变化量；
（2）本题考查平均速度的计算，平均速度等于路程除以时间，先确定从博物馆到姑妈家行驶的路程，再从图象中找出对应的行驶时间，代入公式计算即可。
（1）解：由图象可知，聪聪家与博物馆的距离是15千米，博物馆到姑妈家的距离是：（千米），
故答案为：15，25；
（2）解：（千米/时）．
答：聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度为60千米/时．
24．已知均为有理数，观察表中运算：
运算
运算结果 3 7
求的值．
【答案】解：∵，，∴，，
∴，
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【分析】本题考查完全平方公式的变形应用，完全平方公式为和，将这两个公式相减可以求出xy的值，相加可以求出的值，最后将所得结果代入所求代数式计算即可。
25．如图，在中，点，分别在，边上，，，连接．
（1）试说明：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）本题考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，由且，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再结合AD为公共边，利用SAS可证明，从而得到，两边同时减去和即可得到；
（2）本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设，根据可得，由可得，再根据三角形外角性质得到，结合可得，最后在中利用内角和定理列方程求解即可。
（1）证明：，，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
．
26．综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形中，．
【操作应用】
（1）如图①，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线．问是的平分线吗？请说明理由．
【实践拓展】
（2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图②，在仪器上的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤（铅垂线），仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的（铅垂线与水平线垂直）．实践小组的判断正确吗？请说明理由．
【答案】解：（1）是的平分线，理由如下：
如图①，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴是的平分线.
（2）实践小组的判断正确，理由如下：
如图②，
∵，
∴点A，C均在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∵是垂直的，
∴是水平的．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据，，结合全等三角形的判定定理可证明和全等，根据全等性质得相等，即可得是的平分线.
（2）根据线段垂直平分线的判定定理，结合相等，相等，即可得是垂直平分线，即可得是水平的．
27．图1是小明同学的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图2是这盏台灯的示意图，已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下：
（1）小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是__________．
（2）如图3，根据小明的思路求和的度数．
（3）小明在解题中发现，和的度数永远是相等的，与和的度数无关．请结合图3说明理由．
【答案】（1）平行于同一条直线的两直线平行；（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
（2）解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解： 如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解：过点作，
∵，
∴（平行于同一条直线的两直线平行）
故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）；
【分析】（1）本题考查平行公理的推论，即平行于同一条直线的两条直线互相平行，已知，作，因此CF也平行于MN；
（2）本题考查平行线的性质的综合应用，过点C作后，根据两直线平行同旁内角互补可求出的度数，进而得到的度数，再由得出；然后根据，利用两直线平行同旁内角互补求出的度数，最后用减去得到的度数；
（3）本题考查平行线性质的综合推导，同样过点C作，利用平行线的性质分别表示出、与、的关系，再结合得到的与的关系，通过等量代换即可证明。
（1）解：过点作，
∵，
∴（平行于同一条直线的两直线平行）
故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）；
（2）解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解： 如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
1 / 1甘肃省酒泉市玉门市2024-2025学年下学期期末考试数学试卷
一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）
1．国际数学家大会每四年举行一次， 是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议． 下列四个图形分别是四届大会的会标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（　　）
A．化学物质 B．温度 C．电池 D．电瓶车
3．细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大.某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（　　）
A．25×10﹣5米 B．25×10﹣6米
C．2.5×10﹣5米 D．2.5×10﹣6米
4．2025年3月23日，全国“沙戈荒”大型风光电基地关键配套工程一金塔千伏输变电工程正式投运，成为今年河西地区首个建成投运的千伏输变电工程．其中的高压电线塔采用三角形结构设计，主要利用的数学性质是（　　）
A．三角形内角和是 B．三角形具有稳定性
C．三角形的轴对称性 D．三角形的三边关系
5．下列事件中，是不可能事件的是（　　）
A．明天会下雨 B．淋雨会感冒
C．垂线段最短 D．太阳围绕地球转
6．将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（　　）
A．边角边 B．角边角
C．边边边 D．全等三角形的对应角相等
8．如图是某绿色植物的光谱反射曲线，它反映的是反射率和波长之间的关系，则反射率为时，波长为（　　）
A． B．
C． D．或
9．图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．定义：如果，那么叫作以为底的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法正确的个数为（　　）
①；②若，则；③．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题．（每题3分，共18分）
11．中国高铁运营速度处于全球领先水平．设兰州到酒泉的高铁列车的平均时速为，其行驶路程（单位：）与行驶时间（，单位）之间的关系式为　 　．
12．甘州古塔位于甘肃省张掖市甘州区，是中国塔和印度塔的融合体．为测量这座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下方案：如图，作的延长线，量出的度数，从而得到的度数，这个方案的依据是　 　．
13．在 中，若 ， ，则 的度数为　 　．
14．如图，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为　 　．
15．乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是　 　．
16．如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若周长最小时，的度数为　 　．
三、解答题：本大题6个小题，共32分
17．计算：．
18．如图1，红梅公园是常州市最大的国家级重点公园，因园内著名古建筑——红梅阁而得名园中天宁宝塔与文笔塔遥相呼应，园内八景吸引无数游客前往．现将公园北侧小东门路与西侧红梅路看成两条线段，天宁宝塔与文笔塔看成两个点，如图2.已知红梅阁到这两条路的距离近似相等，且到这两座塔的距离也近似相等，请在图2中用直尺和圆规找到红梅阁的位置，标注为点 P(保留作图痕迹，不要求写作法）．
19．夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间与蚊香长度之间的关系．数学小组的同学通过试验得到如下数据：
蚊香燃烧时间 0 1 2 …
蚊香长度 105 100 95 90 85 …
请根据以上信息解答下列问题：
（1）当蚊香的燃烧时间为时，蚊香的长度为__________；
（2）直接写出蚊香长度与蚊香燃烧时间之间的关系式．
20．如图，，．
（1）求证：；
（2）若，则__________°．
21．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个，且从中任意摸出一个球是白球的概率为．
（1）求盒子中黑球的个数；
（2）求任意摸出一个球是黑球的概率．
22．如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数．
四、解答题：本大题5个小题，共40分
23．甘肃省博物馆位于兰州市，集文物征集、收藏、研究、展示、教育、服务于一体，是甘肃省最大的综合性博物馆．周末聪聪和家人一起驾车从家出发去甘肃省博物馆，在馆内参观了，随后驾车去姑妈家．如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题：
（1）聪聪家与博物馆的距离是______，博物馆到姑妈家的距离是______；
（2）求聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）．
24．已知均为有理数，观察表中运算：
运算
运算结果 3 7
求的值．
25．如图，在中，点，分别在，边上，，，连接．
（1）试说明：；
（2）若，，求的度数．
26．综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形中，．
【操作应用】
（1）如图①，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线．问是的平分线吗？请说明理由．
【实践拓展】
（2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图②，在仪器上的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤（铅垂线），仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的（铅垂线与水平线垂直）．实践小组的判断正确吗？请说明理由．
27．图1是小明同学的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图2是这盏台灯的示意图，已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下：
（1）小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是__________．
（2）如图3，根据小明的思路求和的度数．
（3）小明在解题中发现，和的度数永远是相等的，与和的度数无关．请结合图3说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：观察图形，只有D选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿着直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形；
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义：在为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，然后再对各个选项进行逐一分析即可求解。
2．【答案】B
【知识点】函数的概念；自变量、因变量
【解析】【解答】解：由题意可知，在这个变化过程中，自变量是温度，
故答案为：B．
【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量．若一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化，那么我们称前一个变量为因变量，后一个变量为自变量。题中“ 随着温度降低，电池中的化学物质活性降低 ”，即温度数值的变化导致电池中化学物质活性发生变化，因此温度是自变量。
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000025=2.5×10-6.
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般表示为a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于从小数点开始数，一直数到第一个不为零为止时的位数.
4．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：高压电线塔采用三角形结构设计，主要利用三角形的稳定性．
故选：B．
【分析】本题考查三角形基本性质在实际工程中的应用，高压电线塔需要结构稳固不易变形，而三角形具有稳定性这一独特性质，能够有效防止结构发生形变，因此采用三角形结构设计。
5．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：选项A：“明天会下雨”是随机事件，可能发生也可能不发生，不符合不可能事件的定义．
选项B：“淋雨会感冒”是随机事件，虽然淋雨可能增加感冒概率，但并非必然发生．
选项C：“垂线段最短”是几何公理，属于必然事件，描述的是必然成立的结论．
选项D：“太阳围绕地球转”与科学事实完全相悖，属于绝对不可能发生的事件，因此为不可能事件．
故选：D．
【分析】本题考查事件的分类及各类事件的定义，不可能事件是指在一定条件下，绝对不会发生的事件，解题时需结合生活常识和科学事实，逐一分析每个选项事件发生的可能性。
6．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、由，此选项不符合题意；
B、由，此选项不符合题意；
C、由，此选项符合题意；
D、由，此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，三角形任意两边之和必须大于第三边，解题时只需验证每个选项中较短两条边的长度之和是否大于最长边的长度，满足该条件的即为正确答案。
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，的中点都是，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图象知，反射率为时，波长为或，
故选：D．
【分析】本题考查从函数图象中提取有效信息的能力，图象的横坐标表示波长，纵坐标表示反射率，解题时需在纵轴上找到反射率为10%的点，然后作水平线与曲线相交，交点对应的横坐标即为所求的波长。
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用两直线平行内错角相等得，，再根据等边对等角求得，最后再利用三角形内角和定理即可．
10．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：① 根据定义，若，则．因，故，①正确．
② 若，则：
∵，
∴．
∵
∴，即，
解得，
故，②正确．
③（）：
设，，
则，．
故，，③正确．
综上，①②③均正确，
故选：D．
【分析】本题以对数的新定义为背景，考查指数与对数的相互转化及同底数幂的乘法运算，解题时需将对数式转化为指数式进行计算和验证，进而结合同底数幂相乘底数不变指数相加的性质推导对数的加法法则对①②③④逐一运算即可求解。
11．【答案】
【知识点】函数解析式；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：行驶路程与行驶时间x之间的关系式为．
故答案为：
【分析】本题考查根据实际问题列一次函数关系式，根据行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，将已知的平均时速300km/h代入公式，同时注明自变量x的取值范围即可。
12．【答案】对顶角相等
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得：与是对顶角，
∴（对顶角相等），
即这个方案的依据是对顶角相等．
故答案为：对顶角相等．
【分析】本题考查对顶角的性质在实际测量中的应用，AO和BO的延长线形成的与是对顶角，根据对顶角相等的性质，测量出的度数就等于得到了的度数。
13．【答案】
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，
∴∠A=90°-35°=55°，
故答案为：55°．
【分析】根据直角三角形两锐角互余进行解答即可.
14．【答案】200
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过作于点，
，
，
，
为的平分线，，
，
，，
，
，
此时这个人到的最短距离为，
故答案为：200．
【分析】过作于点，根据角平分线性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据多项式除以单项式即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵垂直平分，
，
，，
∴，
∵为定值，两点之间线段最短，
∴当在同一条直线上时，最小， 即的周长最小，
，点是的中点，
，
∴，
∴．
故答案为： ．
【分析】连接，根据垂直平分线性质可得，再根据三角形周长可得，当在同一条直线上时，最小， 即的周长最小，根据等腰三角形三线合一性质可得∠PAC，再根据三角形外角性质即可求出答案.
17．【答案】解：
．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】本题考查整式的混合运算，涉及多项式乘多项式法则和平方差公式的应用，解题时先分别计算两个乘法运算，第一个乘法用多项式乘多项式法则展开，第二个乘法用平方差公式展开，然后合并同类项得到最终结果。
18．【答案】解：如图，点P即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作的角平分线，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求．
19．【答案】（1）75
（2）
【知识点】函数解析式；有理数混合运算的实际应用；通过函数图象获取信息；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：由表格可知，蚊香每燃烧，缩短，
∵蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度，
∴，
故答案为：75；
（2）解：由表格可得：点燃时蚊香每小时缩短，
∴蚊香长度与蚊香燃烧时间t的关系式为；
【分析】（1）本题考查根据表格数据进行函数值的计算，首先观察表格中蚊香燃烧时间和长度的变化规律，发现每燃烧0.5小时蚊香长度缩短5cm，即每小时缩短10cm，用蚊香的初始长度减去3小时燃烧的长度即可得到3小时时的长度；
（2）本题考查根据实际问题列一次函数关系式，根据蚊香长度等于初始长度减去燃烧掉的长度，结合每小时燃烧10cm的规律，即可写出s与t的函数关系式。
（1）解：由表格可知，蚊香每燃烧，缩短，
∵蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度，
∴，
故答案为：75；
（2）解：由表格可得：点燃时蚊香每小时缩短，
∴蚊香长度与蚊香燃烧时间t的关系式为；
20．【答案】（1）证明：在和中，
，
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
【分析】（1）直接利用得到两三角形全等即可；
（2）根据三角形内角和定理得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等解答即可．
（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
21．【答案】（1）解：∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，∴，
故盒子中黑球的个数为：个；
（2）解：任意摸出一个球是黑球的概率为：；
答：任意摸出一个球是黑球的概率为．
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）本题考查概率公式的逆用，已知摸出白球的概率和白球的个数，根据“概率=所求情况数与总情况数之比”，用白球个数除以摸出白球的概率即可得到盒子中球的总个数，再减去红球和白球的个数就能求出黑球的个数；
（2）本题考查概率公式的直接应用，用黑球的个数除以球的总个数，即可得到任意摸出一个球是黑球的概率。
（1）解：∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，
∴，
故盒子中黑球的个数为：个；
（2）解：任意摸出一个球是黑球的概率为：；
答：任意摸出一个球是黑球的概率为．
22．【答案】解：是边上的高，
．
，，
，．
．
是的平分线，
．
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】本题考查三角形的高、角平分线的定义以及三角形内角和定理的综合应用，解题时先根据CD是AB边上的高得到，结合求出的度数，再由的度数求出的度数，进而在中求出的度数，然后根据角平分线的定义得到的度数，最后在中利用三角形内角和为计算出的度数。
23．【答案】（1）15，25
（2）解：（千米/时）．
答：聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度为60千米/时．
【知识点】通过函数图象获取信息；有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】（1）解：由图象可知，聪聪家与博物馆的距离是15千米，博物馆到姑妈家的距离是：（千米），
故答案为：15，25；
【分析】（1）本题考查从函数图象中读取信息的能力，图象的纵坐标表示离开家的距离，横坐标表示离开家的时间，聪聪家到博物馆的距离是图象中OA段对应的最大纵坐标值，博物馆到姑妈家的距离是BC段对应的纵坐标变化量；
（2）本题考查平均速度的计算，平均速度等于路程除以时间，先确定从博物馆到姑妈家行驶的路程，再从图象中找出对应的行驶时间，代入公式计算即可。
（1）解：由图象可知，聪聪家与博物馆的距离是15千米，博物馆到姑妈家的距离是：（千米），
故答案为：15，25；
（2）解：（千米/时）．
答：聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度为60千米/时．
24．【答案】解：∵，，∴，，
∴，
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【分析】本题考查完全平方公式的变形应用，完全平方公式为和，将这两个公式相减可以求出xy的值，相加可以求出的值，最后将所得结果代入所求代数式计算即可。
25．【答案】（1）证明：，，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）本题考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，由且，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再结合AD为公共边，利用SAS可证明，从而得到，两边同时减去和即可得到；
（2）本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设，根据可得，由可得，再根据三角形外角性质得到，结合可得，最后在中利用内角和定理列方程求解即可。
（1）证明：，，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
．
26．【答案】解：（1）是的平分线，理由如下：
如图①，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴是的平分线.
（2）实践小组的判断正确，理由如下：
如图②，
∵，
∴点A，C均在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∵是垂直的，
∴是水平的．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据，，结合全等三角形的判定定理可证明和全等，根据全等性质得相等，即可得是的平分线.
（2）根据线段垂直平分线的判定定理，结合相等，相等，即可得是垂直平分线，即可得是水平的．
27．【答案】（1）平行于同一条直线的两直线平行；（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
（2）解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解： 如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解：过点作，
∵，
∴（平行于同一条直线的两直线平行）
故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）；
【分析】（1）本题考查平行公理的推论，即平行于同一条直线的两条直线互相平行，已知，作，因此CF也平行于MN；
（2）本题考查平行线的性质的综合应用，过点C作后，根据两直线平行同旁内角互补可求出的度数，进而得到的度数，再由得出；然后根据，利用两直线平行同旁内角互补求出的度数，最后用减去得到的度数；
（3）本题考查平行线性质的综合推导，同样过点C作，利用平行线的性质分别表示出、与、的关系，再结合得到的与的关系，通过等量代换即可证明。
（1）解：过点作，
∵，
∴（平行于同一条直线的两直线平行）
故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）；
（2）解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解： 如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
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