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浙江省衢州市柯城区兴华中学教育集团2025-2026学年七年级下学期数学期中试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列图形中，可以由其中一部分平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：Ａ：形状不规则，无法找到基本部分通过平移来组成图形；
Ｂ：是轴对称图形，左右两边无法通过平移得到，需要对折才能重合；
Ｃ：图形可以从中间分成两部分，但无法通过平移得到，需要旋转图形才能重合；
Ｄ：是三个完全相同的图形组成，通过向右平移左边的线条，可以得到整个图形．
故答案为：D.
【分析】根据平移的定义“一个图形沿着某一方向移动一定距离，这种变换是平移”逐项判断解答即可.
2．如图，直线l与直线AB，CD分别交于点E，F，AB∥CD，若∠1=130°，则∠2的度数为（　　）
A．50° B．60° C．120° D．130°
【答案】A
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】因为，
所以．
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补解答即可.
3．空气中一个微小尘埃的质量约为0.0000000028克，用科学记数法表示0.0000000028是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
4．下列各组数中，是二元一次方程3x-y=8的一个解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解： A、把 代入方程3x-y=8，左边=3×0-4=-4，右边=8，左边≠右边，所以 不是方程3x-y=8的解，故此选项不符合题意；
B、把 代入方程3x-y=8，左边=3×3-1=8，右边=8，左边=右边，所以 是方程3x-y=8的解，故此选项符合题意；
C、把 代入方程3x-y=8，左边=3×1-3=0，右边=8，左边≠右边，所以 不是方程3x-y=8的解，故此选项不符合题意；
D、把 代入方程3x-y=8，左边=3×2-6=0，右边=8，左边≠右边，所以 不是方程3x-y=8的解，故此选项不符合题意；
故答案为：.
【分析】把每个选项中x、y的值代入验证即可.
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：选项 计算正确，符合题意；
选项 计算错误，不符合题意；
选项 计算错误，不符合题意；
选项 计算错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项逐项分析判断即可.
6．在下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同位角的概念；三线八角模型
【解析】【解答】解：根据同位角的定义可知图A中的 和 是同位角.
故答案为：A.
【分析】根据同位角的定义“截线同侧，被截线同旁的两个角是同位角”判断即可.
7．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　）
A．（a+b）（-a-b） B．（a+b）（b-a）
C．（a-b）（b-a） D．（-a+b）（a-b）
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：(a+b)(-a-b)=-(a+b)(a+b)，不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则A不符合题意，
(a+b)(b-a)=(b+a)(b-a)，符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则B符合题意，(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)，不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则C不符合题意，
(-a+b)(a-b)=-(a-b)(a-b)，不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可.
8．《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺，屈绳量之，不足五寸，长几何 ”译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4尺，将绳子对折再量长木，绳子还剩余0.5尺，问木长多少尺 设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4尺，
∵将绳子对折再量长木，绳子还剩余0.5尺，
∴根据题意可列出方程组
故答案为：B.
【分析】根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4尺，将绳子对折再量长木，绳子还剩余0.5尺”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
9．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图）.根据杨辉三角，可得（a+b）8的展开式中从左起第五项的系数是（　　）
（a+b）0 1
（a+b）1 1 1
（a+b）2 1 2 1
（a+b）3 1 3 3 1
（a+b）4 1 4 6 4 1
（a+b）5 1 5 10 10 5 1
……
A．70 B．36 C．84 D．126
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：根据杨辉三角第n行对应( 的展开式系数，
对应第10行，
∵观察杨辉三角的图形，每项的系数等于上一行这一项上方的左右两个系数的和，
∴逐行构建至第10行，
第7行： 1 6 15 20 15 6 1，
第8行： 1 7 21 35 35 21 7 1，
第9行： 1 8 28 56 70 56 28 8 1，
故答案为：70.
【分析】 观察图中数字的变化规律，得出 的行数和每项的系数，从而得出答案.
10．已知关于xy的方程组的解是，则关于m，n的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】 变形为
∵关于x，y的方程组 的解是
解得：m=-7，n=5，
即关于m，n的方程组 的解是 ，
故答案为：B.
【分析】 将关于m，n的方程组 变形为 再根据已知关于x，y的方程组的解列得关于m，n的方程，解方程即可.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．已知3x+y=5，请你用含x的代数式表示y=　 　。
【答案】5-3x
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得：．
故答案为：5-3x.
【分析】把x看作已知量，移项解答即可.
12．如图所示，请你添加一个适当的条件：　 　使AB∥CD.
【答案】∠ABD=∠BDC
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：根据同位角相等，两直线平行，可填写
根据内错角相等，两直线平行，可填
根据同旁内角互补，两直线平行.可填
故答案为：∠ABD=∠BDC.
【分析】根据平行线的判定定理求解即可.
13．计算：=　 　.
【答案】2ab-1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：原式
=2ab-1，
故答案为： 2ab-1.
【分析】先根据积的乘方法则就是乘方，再根据多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则进行计算即可.
14．如图，将直角三角形ABC沿水平方向向右平移到直角三角形DEF的位置。已知AB=6cm，DG=2cm，四边形CFDG的面积为10cm2，则直角三角形ABC平移的距离为　 　cm。
【答案】2
【知识点】直角梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：已知直角沿水平方向向右平移得到直角，
根据平移的性质：， ，
两边同时减去公共部分的面积，
可得：，
由，得：，
四边形为直角梯形，则，
所以，
解得：，
即直角平移的距离为．
故答案为：2.
【分析】根据平移得到，然后根据梯形的面积公式计算即可．
15．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AD和BC上，点H和G分别是边AD和BC上的点，现将点A，B沿EF向下折叠至点N，M处，将点C，D沿GH向上折叠至点P、K处，且∠KHD=108°，若MN∥PK，则∠EFC的度数为　 　度.
【答案】54
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：延长MN分别交PG和AD的延长线于Q，I两点，如图所示，
由折叠可知，∠KHG =∠DHG.
∵∠KHD =108°，
∵AD∥BC，
∴∠DHG+∠HGC=180°，
∴∠HGC=180°-126°=54°.
由折叠可知， ∠PGH=∠HGC =54°，
∴∠PGB=180°-2×54°=72°.
∵MN//PK，
∴∠P+∠PQI =180°，
∴∠PQI = 180°-90°= 90°.
又∵∠ENI =180°-∠ENM =90°，
∴∠PQI=∠ENI，
∴PG∥EN，
∴∠EJF=∠PGB=72°.
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC.
故答案为：54.
【分析】延长MN分别交PG和AD的延长线于Q，I两点，根据折叠的性质得到∠KHG =∠DHG，然后根据两直线平行，同旁内角互补得到∠HGC=54°，即可得到∠PGB=72°，进而可得∠PQI =90°，PG∥EN，求出∠EJF=∠PGB=72°.再根据两直线平行，内错角相等得到∠AEF=∠EFC解答即可.
三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
=-4+1
=-3；
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】(1)先计算乘方、负整数指数幂和零指数幂；再计算乘法；最后计算加法.
(2)先计算积的乘方；再计算单项式除法解答即可.
17．解方程组：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
把①代入②，得3x+2x-3=7，
移项、合并同类项，得5x=10，
解得：x=2，
把x=2代入①，得y=2×2-3=1，
∴方程组的解为
（2）解：
②×2，得6x+4y=6③，
③-①， 得x=2，
把x= 2代入②， 得：3×2+2y=3，
解得：
∴方程组的解为.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)把①代入②消掉未知数y，求出x的值，然后把x的值代入①求出y的值解方程组即可；
(2)利用②×2-①消去未知数y，求出x的值，然后把x的值代入②求出y的值解方程组即可.
18．下面是小颖化简整式的过程，请仔细阅读后解答所提出的问题.
解：x（-x+2y）+（x+2）2-2x
第1步
=2xy+4. 第2步
（1）小颖的化简过程从第　 　步开始出现错误，并指出错误的项　 　；
（2）请写出此题正确的化简步骤.
【答案】（1）一；2x
（2）解：
=2xy+2x+4.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：(1)由题目中的解答过程可知，
小颖的化简过程从第一步开始出现错误，错误的项是2x， 应该是4x，
故答案为：一，2x；
【分析】(1)根据题目中的解答过程可知，小颖的化简过程从第一步开始出现错误，错误的项是2x，应该是4x；
(2)先将题目中的式子展开，然后合并同类项即可.
19．如图，已知∠1=∠2，∠ACG+∠G=180°。
（1）试判断AD与CE的位置关系，并说明理由。
（2）若CA平分∠BCE，∠2=40°，求∠ADB的度数。
【答案】（1）解：AD∥CE。理由如下：
因为∠ACG+∠G=180°，
所以AC∥FG，
所以∠2=∠ACE。
因为∠1=∠2，
所以∠1=∠ACE，
所以AD//CE。
（2）由（1）知，AC∥FG，
所以∠ACE=∠2=40°。
因为CA平分∠BCE，
所以∠BCE=2∠ACE=80°。
由（1）知，AD∥CE，
所以∠ADB=∠BCE=80°。
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行得到AC∥FG，根据两直线平行，内错角相等得到∠2=∠ACE，再根据等量代换可得，再根据内错角相等，两直线平行得到结论即可；
（2）先求出∠ACE的度数，然后角平分线的定义求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等解答即可．
20．对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：
例如，
（1）求2 （-5）的值；
（2）若x y=1，化简并求代数式（x+2y）（x-2y）+y（4y-1）的值.
【答案】（1）解：
=4+5
=9；
（2）解：若
则
(x+2y)(x-2y)+y(4y-1)
=1.
【知识点】有理数的乘方法则；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】(1)根据定义的新运算列式计算即可；
(2)根据定义的新运算可得 将原式利用平方差公式及单项式乘多项式展开并计算，最后整体代入已知数值计算即可.
21．如图，图①是一个长为2m，宽为2n（m>n）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形.
（1）观察图②，发现有两种不同的方法表示图中阴影部分的面积.由此得到的等量关系为：（　　）（填选项）；
A． B．
C． D．
（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：
①若a-b=12，ab=-11.求（a+b）2的值；
②如图③，在线段AE上取一点B，分别以AB，BE为边作正方形ABCD和正方形BEFG，连接AG，DF，设AB=x，BE=y，若AE长为5，三角形ABG的面积为2，求GC长.
【答案】（1）D
（2）
=144-44
=100；
②设AB=x，BE=y，
∵AE长为5，三角形ABG的面积为2，
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)图2中的阴影部分的面积可以看成边长为m+n的正方形的面积-4个长为m宽为n的长方形的面积，也可以看成是边长为m-n的正方形的面积，
故选： D；
【分析】(1)图2中的阴影部分的面积可以看成边长为m+n的正方形的面积-4个长为m宽为n的长方形的面积，也可以看成是边长为m-n的正方形的面积，
(2)①把a-b=12，ab=-11代入(1)中的公式即可求解；
②由图可知这是已知 求x-y的值的问题，把 代入(1)公式即可.
22．根据以下素材，探索完成任务.
素材1 随着人工智能的发展，越来越多的行业引入机器人来高效、精准的完成工作，某物流公司先引入了A、B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人.三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 型号工作效率（件/小时台）耗电量（千瓦时/小时台）Am2Bn1.5C6001.8
素材2 1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物； 1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物.
素材3 物流公司需在1小时内（包括1小时）完成4000件货物的分拣任务.
解决问题
⑴任务1 求m和n的值.
⑵任务2 若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成素材3中的任务（两种型号都要使用）.求总耗电量为多少千瓦时.
⑶任务3 该公司引进C型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（三种型号都要使用），且C型机器人台数是A型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务. ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为 ▲ 千瓦时.
【答案】解：(1)根据题意得：，
解得：
答： m的值为500， n的值为400；
(2)设采用x台A型机器人，y台B型机器人，
根据题意得：500x+400y=4000，
又∵x，y均为正整数，
(千瓦时)。
答：总耗电量为15.5千瓦时；
(3)①设采用a台B型机器人，b台C型机器人，则采用2b台A型机器人，
根据题意得： 600b=4000，
又∵a，b均为正整数，
或 或 或
∴共有4种安排方案，
方案1：采用2台A型机器人，16台B型机器人，1台C型机器人；
方案2：采用4台A型机器人，12台B型机器人，2台C型机器人；
方案3：采用6台A型机器人，8台B型机器人，3台C型机器人；
方案4：采用8台A型机器人，4台B型机器人，4台C型机器人；
②14.6
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的其他应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】（3）②方案1的耗电量为 (千瓦时)；
方案2的耗电量为 ×1.8×2=14.8(千瓦时)；
方案3的耗电量为 ×1.8×3=14.7(千瓦时)；
方案4的耗电量为
×1.8×4=14.6(千瓦时)，
∴最省电方案的耗电量为14.6千瓦时.
故答案为： 14.6.
【分析】(1)根据“1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设采用x台A型机器人，y台B型机器人，根据使用的2种机器人1小时完成4000件货物的分拣任务，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出x，y的值，再将其代入2x+1.5y中，即可求出结论；
(3)①设采用a台B型机器人，b台C型机器人，则采用2b台A型机器人，根据使用得三种机器人30分钟完成4000件货物的分拣任务，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各方案；
②求出各方案的耗电量，比较后，即可得出结论.
23．将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置，PQ∥MN，∠ACB=∠D=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DEF=60°，∠DFE=30°.
（1）当三角板如图1放置时，点A，F，C，E在同一条直线上，求∠DEQ的度数.
（2）在图1的基础上，现固定三角形DEF的位置不变，将三角形ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，
①如图2，当∠BAE与∠DEQ互余时，请先判断AC与DF的位置关系，并说明理由.
②如图3，当线段BC与三角形DEF的一条边平行时，请直接写出的度数.
【答案】（1）解：将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置，PQ//MN，∠ACB=∠D=90°，∠ABC=∠BAC =45°，∠DEF=60°， ∠DFE=30°.
∵PQ//MN，
∴∠QEA=∠BAE = 45°，
∵∠DEF=60°，
∴∠EDQ =60°-45°= 15°；
（2）解：①AC⊥DF， 理由如下：
∵∠DEQ = 15°， ∠BAE与∠DEQ互余，
∴∠BAE=75°，
延长EF、CA相交于H点，
∵∠BAC =45°，
∴∠FAH = 180°-75°-45°= 60°，
∵∠DFE=∠AFH=30°，
∴∠FHA=90°，
∴AC⊥DF；
②15°或45°或75°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】(2)②当BC//ED时，
∴∠EGB=∠DEA=60°，
∵∠BGE=∠B+∠BAE=45°+∠BAE，
∴∠BAE=15°；
当BC//EF时，
∴∠C+∠EAB=180°，
∵∠C=90°，∴∠BAE=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAE = 45°；
当BC//DF时，
∴∠BKA+∠FTA=180°，
∵∠FKA=180°-∠FAM-∠AFT =180°-45°-30°=105°，
∴∠CKA=75°，
∵∠ACK = 90°，
∴∠DAK = 15°，
∴∠BAE=180°-∠FAT-∠BAC-∠CAK= 180°-45°-450°-15°= 75°；
综上所述： 为 或 或
故答案为：15°或45°或75°.
【分析】(1)根据题意可得求值即可；
(2)①延长EF、CA相交于H点， 根据平角的定义得到∠FAH的度数，然后根据对顶角得到∠AFH的度数，根据三角形的内角和定理求出∠AHF的度数证明即可；
②分三种情况讨论： ∥DF；分别画出图形根据平行线的性质和角的和差求解即可.
1 / 1浙江省衢州市柯城区兴华中学教育集团2025-2026学年七年级下学期数学期中试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列图形中，可以由其中一部分平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，直线l与直线AB，CD分别交于点E，F，AB∥CD，若∠1=130°，则∠2的度数为（　　）
A．50° B．60° C．120° D．130°
3．空气中一个微小尘埃的质量约为0.0000000028克，用科学记数法表示0.0000000028是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各组数中，是二元一次方程3x-y=8的一个解的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．在下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　）
A．（a+b）（-a-b） B．（a+b）（b-a）
C．（a-b）（b-a） D．（-a+b）（a-b）
8．《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺，屈绳量之，不足五寸，长几何 ”译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4尺，将绳子对折再量长木，绳子还剩余0.5尺，问木长多少尺 设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图）.根据杨辉三角，可得（a+b）8的展开式中从左起第五项的系数是（　　）
（a+b）0 1
（a+b）1 1 1
（a+b）2 1 2 1
（a+b）3 1 3 3 1
（a+b）4 1 4 6 4 1
（a+b）5 1 5 10 10 5 1
……
A．70 B．36 C．84 D．126
10．已知关于xy的方程组的解是，则关于m，n的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．已知3x+y=5，请你用含x的代数式表示y=　 　。
12．如图所示，请你添加一个适当的条件：　 　使AB∥CD.
13．计算：=　 　.
14．如图，将直角三角形ABC沿水平方向向右平移到直角三角形DEF的位置。已知AB=6cm，DG=2cm，四边形CFDG的面积为10cm2，则直角三角形ABC平移的距离为　 　cm。
15．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AD和BC上，点H和G分别是边AD和BC上的点，现将点A，B沿EF向下折叠至点N，M处，将点C，D沿GH向上折叠至点P、K处，且∠KHD=108°，若MN∥PK，则∠EFC的度数为　 　度.
三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．计算：
（1）；
（2）
17．解方程组：
（1）；
（2）
18．下面是小颖化简整式的过程，请仔细阅读后解答所提出的问题.
解：x（-x+2y）+（x+2）2-2x
第1步
=2xy+4. 第2步
（1）小颖的化简过程从第　 　步开始出现错误，并指出错误的项　 　；
（2）请写出此题正确的化简步骤.
19．如图，已知∠1=∠2，∠ACG+∠G=180°。
（1）试判断AD与CE的位置关系，并说明理由。
（2）若CA平分∠BCE，∠2=40°，求∠ADB的度数。
20．对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：
例如，
（1）求2 （-5）的值；
（2）若x y=1，化简并求代数式（x+2y）（x-2y）+y（4y-1）的值.
21．如图，图①是一个长为2m，宽为2n（m>n）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形.
（1）观察图②，发现有两种不同的方法表示图中阴影部分的面积.由此得到的等量关系为：（　　）（填选项）；
A． B．
C． D．
（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：
①若a-b=12，ab=-11.求（a+b）2的值；
②如图③，在线段AE上取一点B，分别以AB，BE为边作正方形ABCD和正方形BEFG，连接AG，DF，设AB=x，BE=y，若AE长为5，三角形ABG的面积为2，求GC长.
22．根据以下素材，探索完成任务.
素材1 随着人工智能的发展，越来越多的行业引入机器人来高效、精准的完成工作，某物流公司先引入了A、B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人.三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 型号工作效率（件/小时台）耗电量（千瓦时/小时台）Am2Bn1.5C6001.8
素材2 1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物； 1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物.
素材3 物流公司需在1小时内（包括1小时）完成4000件货物的分拣任务.
解决问题
⑴任务1 求m和n的值.
⑵任务2 若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成素材3中的任务（两种型号都要使用）.求总耗电量为多少千瓦时.
⑶任务3 该公司引进C型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（三种型号都要使用），且C型机器人台数是A型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务. ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为 ▲ 千瓦时.
23．将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置，PQ∥MN，∠ACB=∠D=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DEF=60°，∠DFE=30°.
（1）当三角板如图1放置时，点A，F，C，E在同一条直线上，求∠DEQ的度数.
（2）在图1的基础上，现固定三角形DEF的位置不变，将三角形ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，
①如图2，当∠BAE与∠DEQ互余时，请先判断AC与DF的位置关系，并说明理由.
②如图3，当线段BC与三角形DEF的一条边平行时，请直接写出的度数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：Ａ：形状不规则，无法找到基本部分通过平移来组成图形；
Ｂ：是轴对称图形，左右两边无法通过平移得到，需要对折才能重合；
Ｃ：图形可以从中间分成两部分，但无法通过平移得到，需要旋转图形才能重合；
Ｄ：是三个完全相同的图形组成，通过向右平移左边的线条，可以得到整个图形．
故答案为：D.
【分析】根据平移的定义“一个图形沿着某一方向移动一定距离，这种变换是平移”逐项判断解答即可.
2．【答案】A
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】因为，
所以．
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补解答即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
4．【答案】B
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解： A、把 代入方程3x-y=8，左边=3×0-4=-4，右边=8，左边≠右边，所以 不是方程3x-y=8的解，故此选项不符合题意；
B、把 代入方程3x-y=8，左边=3×3-1=8，右边=8，左边=右边，所以 是方程3x-y=8的解，故此选项符合题意；
C、把 代入方程3x-y=8，左边=3×1-3=0，右边=8，左边≠右边，所以 不是方程3x-y=8的解，故此选项不符合题意；
D、把 代入方程3x-y=8，左边=3×2-6=0，右边=8，左边≠右边，所以 不是方程3x-y=8的解，故此选项不符合题意；
故答案为：.
【分析】把每个选项中x、y的值代入验证即可.
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：选项 计算正确，符合题意；
选项 计算错误，不符合题意；
选项 计算错误，不符合题意；
选项 计算错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项逐项分析判断即可.
6．【答案】A
【知识点】同位角的概念；三线八角模型
【解析】【解答】解：根据同位角的定义可知图A中的 和 是同位角.
故答案为：A.
【分析】根据同位角的定义“截线同侧，被截线同旁的两个角是同位角”判断即可.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：(a+b)(-a-b)=-(a+b)(a+b)，不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则A不符合题意，
(a+b)(b-a)=(b+a)(b-a)，符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则B符合题意，(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)，不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则C不符合题意，
(-a+b)(a-b)=-(a-b)(a-b)，不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可.
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4尺，
∵将绳子对折再量长木，绳子还剩余0.5尺，
∴根据题意可列出方程组
故答案为：B.
【分析】根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4尺，将绳子对折再量长木，绳子还剩余0.5尺”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
9．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：根据杨辉三角第n行对应( 的展开式系数，
对应第10行，
∵观察杨辉三角的图形，每项的系数等于上一行这一项上方的左右两个系数的和，
∴逐行构建至第10行，
第7行： 1 6 15 20 15 6 1，
第8行： 1 7 21 35 35 21 7 1，
第9行： 1 8 28 56 70 56 28 8 1，
故答案为：70.
【分析】 观察图中数字的变化规律，得出 的行数和每项的系数，从而得出答案.
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】 变形为
∵关于x，y的方程组 的解是
解得：m=-7，n=5，
即关于m，n的方程组 的解是 ，
故答案为：B.
【分析】 将关于m，n的方程组 变形为 再根据已知关于x，y的方程组的解列得关于m，n的方程，解方程即可.
11．【答案】5-3x
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得：．
故答案为：5-3x.
【分析】把x看作已知量，移项解答即可.
12．【答案】∠ABD=∠BDC
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：根据同位角相等，两直线平行，可填写
根据内错角相等，两直线平行，可填
根据同旁内角互补，两直线平行.可填
故答案为：∠ABD=∠BDC.
【分析】根据平行线的判定定理求解即可.
13．【答案】2ab-1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：原式
=2ab-1，
故答案为： 2ab-1.
【分析】先根据积的乘方法则就是乘方，再根据多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则进行计算即可.
14．【答案】2
【知识点】直角梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：已知直角沿水平方向向右平移得到直角，
根据平移的性质：， ，
两边同时减去公共部分的面积，
可得：，
由，得：，
四边形为直角梯形，则，
所以，
解得：，
即直角平移的距离为．
故答案为：2.
【分析】根据平移得到，然后根据梯形的面积公式计算即可．
15．【答案】54
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：延长MN分别交PG和AD的延长线于Q，I两点，如图所示，
由折叠可知，∠KHG =∠DHG.
∵∠KHD =108°，
∵AD∥BC，
∴∠DHG+∠HGC=180°，
∴∠HGC=180°-126°=54°.
由折叠可知， ∠PGH=∠HGC =54°，
∴∠PGB=180°-2×54°=72°.
∵MN//PK，
∴∠P+∠PQI =180°，
∴∠PQI = 180°-90°= 90°.
又∵∠ENI =180°-∠ENM =90°，
∴∠PQI=∠ENI，
∴PG∥EN，
∴∠EJF=∠PGB=72°.
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC.
故答案为：54.
【分析】延长MN分别交PG和AD的延长线于Q，I两点，根据折叠的性质得到∠KHG =∠DHG，然后根据两直线平行，同旁内角互补得到∠HGC=54°，即可得到∠PGB=72°，进而可得∠PQI =90°，PG∥EN，求出∠EJF=∠PGB=72°.再根据两直线平行，内错角相等得到∠AEF=∠EFC解答即可.
16．【答案】（1）解：
=-4+1
=-3；
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】(1)先计算乘方、负整数指数幂和零指数幂；再计算乘法；最后计算加法.
(2)先计算积的乘方；再计算单项式除法解答即可.
17．【答案】（1）解：
把①代入②，得3x+2x-3=7，
移项、合并同类项，得5x=10，
解得：x=2，
把x=2代入①，得y=2×2-3=1，
∴方程组的解为
（2）解：
②×2，得6x+4y=6③，
③-①， 得x=2，
把x= 2代入②， 得：3×2+2y=3，
解得：
∴方程组的解为.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)把①代入②消掉未知数y，求出x的值，然后把x的值代入①求出y的值解方程组即可；
(2)利用②×2-①消去未知数y，求出x的值，然后把x的值代入②求出y的值解方程组即可.
18．【答案】（1）一；2x
（2）解：
=2xy+2x+4.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：(1)由题目中的解答过程可知，
小颖的化简过程从第一步开始出现错误，错误的项是2x， 应该是4x，
故答案为：一，2x；
【分析】(1)根据题目中的解答过程可知，小颖的化简过程从第一步开始出现错误，错误的项是2x，应该是4x；
(2)先将题目中的式子展开，然后合并同类项即可.
19．【答案】（1）解：AD∥CE。理由如下：
因为∠ACG+∠G=180°，
所以AC∥FG，
所以∠2=∠ACE。
因为∠1=∠2，
所以∠1=∠ACE，
所以AD//CE。
（2）由（1）知，AC∥FG，
所以∠ACE=∠2=40°。
因为CA平分∠BCE，
所以∠BCE=2∠ACE=80°。
由（1）知，AD∥CE，
所以∠ADB=∠BCE=80°。
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行得到AC∥FG，根据两直线平行，内错角相等得到∠2=∠ACE，再根据等量代换可得，再根据内错角相等，两直线平行得到结论即可；
（2）先求出∠ACE的度数，然后角平分线的定义求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等解答即可．
20．【答案】（1）解：
=4+5
=9；
（2）解：若
则
(x+2y)(x-2y)+y(4y-1)
=1.
【知识点】有理数的乘方法则；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】(1)根据定义的新运算列式计算即可；
(2)根据定义的新运算可得 将原式利用平方差公式及单项式乘多项式展开并计算，最后整体代入已知数值计算即可.
21．【答案】（1）D
（2）
=144-44
=100；
②设AB=x，BE=y，
∵AE长为5，三角形ABG的面积为2，
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)图2中的阴影部分的面积可以看成边长为m+n的正方形的面积-4个长为m宽为n的长方形的面积，也可以看成是边长为m-n的正方形的面积，
故选： D；
【分析】(1)图2中的阴影部分的面积可以看成边长为m+n的正方形的面积-4个长为m宽为n的长方形的面积，也可以看成是边长为m-n的正方形的面积，
(2)①把a-b=12，ab=-11代入(1)中的公式即可求解；
②由图可知这是已知 求x-y的值的问题，把 代入(1)公式即可.
22．【答案】解：(1)根据题意得：，
解得：
答： m的值为500， n的值为400；
(2)设采用x台A型机器人，y台B型机器人，
根据题意得：500x+400y=4000，
又∵x，y均为正整数，
(千瓦时)。
答：总耗电量为15.5千瓦时；
(3)①设采用a台B型机器人，b台C型机器人，则采用2b台A型机器人，
根据题意得： 600b=4000，
又∵a，b均为正整数，
或 或 或
∴共有4种安排方案，
方案1：采用2台A型机器人，16台B型机器人，1台C型机器人；
方案2：采用4台A型机器人，12台B型机器人，2台C型机器人；
方案3：采用6台A型机器人，8台B型机器人，3台C型机器人；
方案4：采用8台A型机器人，4台B型机器人，4台C型机器人；
②14.6
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的其他应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】（3）②方案1的耗电量为 (千瓦时)；
方案2的耗电量为 ×1.8×2=14.8(千瓦时)；
方案3的耗电量为 ×1.8×3=14.7(千瓦时)；
方案4的耗电量为
×1.8×4=14.6(千瓦时)，
∴最省电方案的耗电量为14.6千瓦时.
故答案为： 14.6.
【分析】(1)根据“1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设采用x台A型机器人，y台B型机器人，根据使用的2种机器人1小时完成4000件货物的分拣任务，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出x，y的值，再将其代入2x+1.5y中，即可求出结论；
(3)①设采用a台B型机器人，b台C型机器人，则采用2b台A型机器人，根据使用得三种机器人30分钟完成4000件货物的分拣任务，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各方案；
②求出各方案的耗电量，比较后，即可得出结论.
23．【答案】（1）解：将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置，PQ//MN，∠ACB=∠D=90°，∠ABC=∠BAC =45°，∠DEF=60°， ∠DFE=30°.
∵PQ//MN，
∴∠QEA=∠BAE = 45°，
∵∠DEF=60°，
∴∠EDQ =60°-45°= 15°；
（2）解：①AC⊥DF， 理由如下：
∵∠DEQ = 15°， ∠BAE与∠DEQ互余，
∴∠BAE=75°，
延长EF、CA相交于H点，
∵∠BAC =45°，
∴∠FAH = 180°-75°-45°= 60°，
∵∠DFE=∠AFH=30°，
∴∠FHA=90°，
∴AC⊥DF；
②15°或45°或75°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】(2)②当BC//ED时，
∴∠EGB=∠DEA=60°，
∵∠BGE=∠B+∠BAE=45°+∠BAE，
∴∠BAE=15°；
当BC//EF时，
∴∠C+∠EAB=180°，
∵∠C=90°，∴∠BAE=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAE = 45°；
当BC//DF时，
∴∠BKA+∠FTA=180°，
∵∠FKA=180°-∠FAM-∠AFT =180°-45°-30°=105°，
∴∠CKA=75°，
∵∠ACK = 90°，
∴∠DAK = 15°，
∴∠BAE=180°-∠FAT-∠BAC-∠CAK= 180°-45°-450°-15°= 75°；
综上所述： 为 或 或
故答案为：15°或45°或75°.
【分析】(1)根据题意可得求值即可；
(2)①延长EF、CA相交于H点， 根据平角的定义得到∠FAH的度数，然后根据对顶角得到∠AFH的度数，根据三角形的内角和定理求出∠AHF的度数证明即可；
②分三种情况讨论： ∥DF；分别画出图形根据平行线的性质和角的和差求解即可.
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