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浙江省浙里2026年初中升学联考仿真卷（四）数学试卷
1． 2025年10月，我国深地川科1井首次突破10000米. 以水平地面为基准面，向上为正方向. 若当时深度记为-10000米，后续钻井又下探910米，则钻井最终下探深度可记为（　　)
A．- 10910米 B．- 9090米 C．- 910米 D．10910米
2． 据浙江省经济信息中心发布的数据，2025年，浙江数字经济核心产业增加值12268亿元. 将数12268亿用科学记数法表示为（　　)
A． B．
C． D．
3． 下列运算结果为x5的是（　　)
A． B． C． D．（x2)3
4． 下列常见的几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　)
A． B．
C． D．
5． 投掷5次硬币，有3次反面朝上，2次正面朝上. 那么，投掷第6次硬币正面朝上的概率是（　　)
A． B．100% C． D．
6． 如图，这是2026年5月的月历表，任意圈出一竖列上相邻的四个数，这四个数的和可能是（　　)
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
　 　 　 　 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31
A．42 B．50 C．59 D．68
7． 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，两个正方形在原点O同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若F的坐标为（9，6)，则点D的坐标为（　　)
A．（2，3) B．（3，2) C．（1，3) D．（1，2)
8． 已知点A（x1，y1)， B（x2，y2)， C（x3，y3)在反比例函数 的图象上，且 则下列结论一定正确的是（　　)
A．若 则 B．若 则
C．若 则 D．若 则
9． 如图，在扇形AOB中， ∠AOB=90°， OA=6，点C在弧AB上，连结OC， AD垂直平分OC交OB于点D，则弧BC的长度为（　　)
A．π B．2π C． D．
10． 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，我们称这个点为二倍点. 若二次函数 （c为常数)在-1≤x≤2的图象上有且仅有一个二倍点，则c的取值范围是（　　)
A．c=4 B．c≥-5 C．- 5≤c≤4 D．c≥4
11．因式分解： 　 　.
12． 解不等式组： 的解集是　 　.
13． 如图，小嘉在点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得BC=15m，则树的高度AB为　 　m. （用含α的三角函数表示)
14． 《周髀算经》《九章算术》《测圆海镜》及《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献. 某校九年级准备从这四部著作中随机抽取两本开展“数学文化”活动，则该年级的学生恰好抽取到《周髀算经》和《测圆海镜》的概率是　 　.
15． 符号“f”“g”分别表示一种运算，它们对一些数的运算结果如下：①f（1）=1，f（2）=3，f（3）=5，f（4）=7， …利用以上规律计算： f（2026)-　 　.
16． 如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作交⊙O于点D，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点M，连结AD. 若点M是BC的中点，则 　 　.
17．先化简，再求值： 其中x=1，y=-2.
18．解方程：
19．如图， 在△ABC中， ∠C=60°， AC=2， BC=8， 点D是边BC上的中点.
（1） 求线段 AD的长.
（2） 求tan∠ABC的值.
20．为弘扬传统文化，某中学组织全校学生参加传统文化知识竞赛，并从中抽取了部分学生的成绩数据（成绩为整数，满分为100分)，将收集的数据分 A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）所抽取的学生人数是　 　，频数分布条线图中　 　扇形统计图中 　 　.
（2）成绩在81分及以上为优秀，若该校以2000人计算，估计成绩优秀的学生人数.
21．某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品. 为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级. 其中塑料与纸张的奖励积分y （分)与投放质量x（kg)的函数关系如图所示，已知投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分/kg，规定积分满400分，可以兑换智能扫地机器人一台.
（1）求a的值；
（2）问一次性投放8kg塑料和12kg纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗 通过计算说明.
22．如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， D为AB的中点，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F. 记△BEF的面积为S1，四边形CDFE的面积为S2.
（1）求证：直线EF与⊙O相切；
（2）若 求m的值.
23．已知二次函数 （m为常数).
（1）若该二次函数的图象与y轴交于点（0，-1)，
①求该二次函数的表达式；
②求x的取值范围，使得y随x的增大而增大；
（2）若对于任意实数x，都有 且二次函数 的图象与直线y=a交于M， N两点，若 求a的值.
24．如图，在矩形ABCD中， AB=a·BC，点E是边BC上的一个动点，连结DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连结AF交DE于点 P.
（1）求证： ∠CEF=∠CDE；
（2）当AF经过点C时，点E恰好是BC的中点.
①求a的值；
②当 时，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：．
故答案为：A.
【分析】根据有理数的减法法则解答即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，不是同类项不能合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法、幂的乘方法则逐项计算解答即可．
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：解：对于选项A：主视图和俯视图都是矩形，但大小不一样，故A错误；
对于选项B：主视图和俯视图是等大的矩形，故B正确；
对于选项C：主视图是矩形，俯视图是三角形，故C错误；
对于选项D：主视图是三角形，俯视图是圆，故D错误．
故答案为：B.
【分析】根据从正面和左面看到的几何图形解答即可.
5．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：投掷第6次硬币正面朝上的概率为．
故答案为：C.
【分析】根据概率公式求解即可．
6．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设一竖列上相邻的四个数分别为，，，，则它们的和为，
∵圈出的四个数都必须在月历内，
∴，
解得，
因此必须是到之间的正整数．
A．令，解得：，不是正整数，故不符合题意；
B．令，解得：，是正整数，且在日历上成立，符合题意；
C．令，解得：，不是整数，故不符合题意；
D．令，解得：，不是整数，故不符合题意．
故答案为：D.
【分析】设一竖列上相邻的四个数分别是，，，，然后求和可得，然后根据选项列方程求出x的值解答即可．
7．【答案】D
【知识点】位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：由知，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据点及正方形的性质可得，即可得到，求出位似比，可然后求出点D的坐标即可.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，
∴函数图象在第一象限，第三象限，在每个象限中，随的增大而减小；
A、当，，
∴点，点在同一个象限，
若三个点都在第一象限时，则；若，则
∴A错误；
B、当，，
∴点，点在同一个象限，
若三点在第一象限，则；若点在第三象限，则；
B、错误；
C、当，
∴点，点在不同的象限，
∵，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴当点在第一象限时，；当点在第三象限时，；
∴C错误；
D、当，
∴点在第三象限，点在第一象限，点在第一象限，
∴；
D、正确．
故答案为：D.
【分析】根据k>0，反比例函数的图象位于一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，然后根据选项条件得到点A，B，C所在象限，根据函数的增减性判断解答即可．
9．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵垂直平分，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长度．
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质可得为等边三角形，即可得到，进而求出，根据弧长公式解答即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由（为常数）可知，抛物线的对称轴为直线，因为在的图象上有且仅有一个二倍点，
如图所示，
当抛物线与相切时，，即，
令，可得，
当抛物线过点时，可得，
所以．
故答案为：C.
【分析】求出抛物线的对称轴为直线，再根据“在的图象上有且仅有一个二倍点”的条件，联立抛物线与直线得到一元二次方程，分别求出抛物线与直线相切（令）时和抛物线过点时的c的值，解答即可．
11．【答案】a(a+3)(a-3)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=a(a2-9)=a(a+3)(a-3).
故答案为a(a+3)(a-3).
【分析】先提取公因式a，再用平方差公式分解即可.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为．
故答案为：.
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
13．【答案】15tanα
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可知，是直角三角形，，
根据正切函数的定义：，
已知，代入得：
．
故答案为：15tanα.
【分析】利用正切的定义解答即可．
14．【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：将四部著作分别记为： ：《周髀算经》，：《九章算术》，：《测圆海镜》，：《四元玉鉴》，
从四部著作中随机抽取两本，所有等可能出现的结果为：
、、、、、，共6种，
其中，恰好抽到《周髀算经》和《测圆海镜》的结果只有共1种，
根据概率公式：恰好抽到《周髀算经》和《测圆海镜》的概率为．
故答案为：.
【分析】先根据列举法得到所有等可能结果，再找出找出符合条件的结果数，根据概率公式求解．
15．【答案】- 2025
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
…，
∴，
∴．
∵，
，
，
，
…，
∴，
∴，
则．
故答案为：-2025.
【分析】根据所给等式得到两种运算的运算法则，，然后代入数值计算即可．
16．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
又是中点，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
设，，，则，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴①，
∵等腰中，是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴②，
将②代入①，得，
整理，得，
因式分解，得，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴ ．．
故答案为：.
【分析】连接，根据ASA得到，即可得到，，设，，，即可得到，进而可得，求出．根据勾股定理得到，，整理得①，再根据两角对应相等得到，根据对应边成比例可得②，联立可得然后求出比值解答即可 ．
17．【答案】解：
所以当x=1， y=-2时，原式：
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则展开，然后合并同类项化简，再代入x，y的值解答即可.
18．【答案】解：
去分母，得： 1-x-1=x-2，
移项、合并同类项，得： 2x=2，
所以x=1，经检验，x=1是原方程的解.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x-2)去分母化为整式方程，解整式方程求出x的值并检验解答即可.
19．【答案】（1）解：过点A作AE⊥BC交BC于点E，
因为∠C=60°， AC=2，
所以∠CAE=30°，
所以CE=1， AE=，
因为点D是边BC上的中点，BC=8，
所以CD=4，所以DE=3，
所以
（2）解：因为
所以
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；求正切值
【解析】【分析】（1）过点作于点，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出，，求出，再根据勾股定理求出AD长解答即可；
（2）根据正切的定义解答即可．
20．【答案】（1）200；16；126°
（2）解：根据题意得，E组人数为：（人）
（人)，
答：估计该校成绩优秀的学生约有940人.
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：根据题意，得B组有40人，占比为，
∴所抽取的学生人数是；
∴频数分布条形图中；
∴；
故答案为：200；16；126°；
【分析】（1）根据B组人数除以占比求出考查总数，再利用考查总数乘以A组人数所占的百分比求出a的值，根据乘以D组人数的占比求出n的值解答即可；
（2）利用样本中优秀学生的占比乘以2000人解答即可．
21．【答案】（1）解：因为投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分/ kg，
∴（300-100)÷25=8kg， ∴a=10+8=18；
（2）解：对于塑料：当x≥5时，设y与x的函数关系式为y= kx+b（k≠0)，
∵当x=5时， y=100，当x=10时， y=300，
解得： ∴y与x的函数关系式为y=40x-100，
当x=8时， y=40x-100=40×8-100=220，即投放8kg塑料的奖励积分为220分，
同理，对于纸张：当x≥10时， y=25x-150，
当x=12时， y=25x-150=25×12-150=150，即投放12kg纸张的奖励积分为150分，
∴积分和： 220+150=370<400，
∴不能兑换智能扫地机器人.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据图象提取相关信息求出a的值解答即可；
（2）分别计算出和时，塑料和纸张的积分与的函数关系式，再计算出投放8kg塑料和12kg纸张对应的积分，比较解答即可．
22．【答案】（1）证明：连接，
在中，，为的中点，
（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
直线与相切．
（2）解：为的直径，
，即，
，
为的中点，
，设，，
由勾股定理得：，
为中点，，
，，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
，
.
【知识点】三角形的面积；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质得到CD=BD，然后根据等边对等角得到∠OEC=∠B，即可得到OE∥AB，进而可得EF⊥OE，证明结论即可；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得，根据三线合一得到为中点；结合设，然后根据勾股定理求出BC 和DE长，再根据两角对应相等得到△BEF∽△BDE，根据对应面积比等于相似比的平方可得，然后分别求出、，求出比值解答即可．
23．【答案】（1）解：①∵二次函数的图象过点，
，
，
；
②∵二次函数的对称轴为直线，，
当时，随的增大而增大；
（2）解：恒成立，即恒成立，
，
，
，
，
联立与，可得，
，
，
，
，
，
．

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①把代入解析式，求出m的值解答即可；
②根据抛物线的对称轴公式求出对称轴为直线，根据开口方向得到增减性解答即可；
（2）由题意得，求出m的值，得到二次函数的解析式，联立二次函数和y=a的解析式，根据根与系数的关系可得，根据，利用完全平方公式的变形，列方程解答即可．
24．【答案】（1）证明：由题意得∠DEF=90°，
∴∠DEC+∠CEF =90°，
∵矩形ABCD，
∴∠C=90°，
∴∠DEC+∠CDE=90°，
∴∠CEF=∠CDE.
（2）解：①作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∴∠FGE=∠ECD=90°，
∴∠EDC+∠DEC=∠FEG+∠DEC=90°，
∴∠EDC=∠FEG，
∵DE=EF，
∴△CDE≌△GEF，
∴CE=GF， CD=GE，
四边形是矩形，
，
，
，
，即，，
设CG=x，
∵AF经过点C，
∴CE=GF= ax，
∴CD=GE=（a+1)x，
∵此时点E恰好是BC的中点，
∴BE= ax，
∵AB=a·BC，
∴（a+1)x=a·2ax，
（舍) ，
∴a的值为1.
②由①可知，此时矩形ABCD为正方形.
∴不妨令
延长FG交AD的延长线于点H，
∵CD=GE=BC，
∴设BE=CG=DH=x，则CE=GF=3-x，
在Rt△AHF中，
如图， 过点A作 AI⊥DE交于点I，
（i) 当x=1时，
（ii) 当x=2时，
∴综上可得， 的值为 或
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据已知条件，根据同角的余角相等证明即可；
（2）①作，交的延长线于点，根据AAS得到，即可得到，然后根据平行线得到，即可得到，设，，代入比例式求出a的值即可；
②延长交的延长线于点，根据比例令 设，在中根据勾股定理求出x的值，然后分两种情况讨论，过点作交于点，结合，根据对应边成比例解答即可．
1 / 1浙江省浙里2026年初中升学联考仿真卷（四）数学试卷
1． 2025年10月，我国深地川科1井首次突破10000米. 以水平地面为基准面，向上为正方向. 若当时深度记为-10000米，后续钻井又下探910米，则钻井最终下探深度可记为（　　)
A．- 10910米 B．- 9090米 C．- 910米 D．10910米
【答案】A
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：．
故答案为：A.
【分析】根据有理数的减法法则解答即可.
2． 据浙江省经济信息中心发布的数据，2025年，浙江数字经济核心产业增加值12268亿元. 将数12268亿用科学记数法表示为（　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3． 下列运算结果为x5的是（　　)
A． B． C． D．（x2)3
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，不是同类项不能合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法、幂的乘方法则逐项计算解答即可．
4． 下列常见的几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：解：对于选项A：主视图和俯视图都是矩形，但大小不一样，故A错误；
对于选项B：主视图和俯视图是等大的矩形，故B正确；
对于选项C：主视图是矩形，俯视图是三角形，故C错误；
对于选项D：主视图是三角形，俯视图是圆，故D错误．
故答案为：B.
【分析】根据从正面和左面看到的几何图形解答即可.
5． 投掷5次硬币，有3次反面朝上，2次正面朝上. 那么，投掷第6次硬币正面朝上的概率是（　　)
A． B．100% C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：投掷第6次硬币正面朝上的概率为．
故答案为：C.
【分析】根据概率公式求解即可．
6． 如图，这是2026年5月的月历表，任意圈出一竖列上相邻的四个数，这四个数的和可能是（　　)
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
　 　 　 　 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31
A．42 B．50 C．59 D．68
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设一竖列上相邻的四个数分别为，，，，则它们的和为，
∵圈出的四个数都必须在月历内，
∴，
解得，
因此必须是到之间的正整数．
A．令，解得：，不是正整数，故不符合题意；
B．令，解得：，是正整数，且在日历上成立，符合题意；
C．令，解得：，不是整数，故不符合题意；
D．令，解得：，不是整数，故不符合题意．
故答案为：D.
【分析】设一竖列上相邻的四个数分别是，，，，然后求和可得，然后根据选项列方程求出x的值解答即可．
7． 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，两个正方形在原点O同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若F的坐标为（9，6)，则点D的坐标为（　　)
A．（2，3) B．（3，2) C．（1，3) D．（1，2)
【答案】D
【知识点】位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：由知，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据点及正方形的性质可得，即可得到，求出位似比，可然后求出点D的坐标即可.
8． 已知点A（x1，y1)， B（x2，y2)， C（x3，y3)在反比例函数 的图象上，且 则下列结论一定正确的是（　　)
A．若 则 B．若 则
C．若 则 D．若 则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，
∴函数图象在第一象限，第三象限，在每个象限中，随的增大而减小；
A、当，，
∴点，点在同一个象限，
若三个点都在第一象限时，则；若，则
∴A错误；
B、当，，
∴点，点在同一个象限，
若三点在第一象限，则；若点在第三象限，则；
B、错误；
C、当，
∴点，点在不同的象限，
∵，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴当点在第一象限时，；当点在第三象限时，；
∴C错误；
D、当，
∴点在第三象限，点在第一象限，点在第一象限，
∴；
D、正确．
故答案为：D.
【分析】根据k>0，反比例函数的图象位于一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，然后根据选项条件得到点A，B，C所在象限，根据函数的增减性判断解答即可．
9． 如图，在扇形AOB中， ∠AOB=90°， OA=6，点C在弧AB上，连结OC， AD垂直平分OC交OB于点D，则弧BC的长度为（　　)
A．π B．2π C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵垂直平分，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长度．
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质可得为等边三角形，即可得到，进而求出，根据弧长公式解答即可．
10． 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，我们称这个点为二倍点. 若二次函数 （c为常数)在-1≤x≤2的图象上有且仅有一个二倍点，则c的取值范围是（　　)
A．c=4 B．c≥-5 C．- 5≤c≤4 D．c≥4
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由（为常数）可知，抛物线的对称轴为直线，因为在的图象上有且仅有一个二倍点，
如图所示，
当抛物线与相切时，，即，
令，可得，
当抛物线过点时，可得，
所以．
故答案为：C.
【分析】求出抛物线的对称轴为直线，再根据“在的图象上有且仅有一个二倍点”的条件，联立抛物线与直线得到一元二次方程，分别求出抛物线与直线相切（令）时和抛物线过点时的c的值，解答即可．
11．因式分解： 　 　.
【答案】a(a+3)(a-3)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=a(a2-9)=a(a+3)(a-3).
故答案为a(a+3)(a-3).
【分析】先提取公因式a，再用平方差公式分解即可.
12． 解不等式组： 的解集是　 　.
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为．
故答案为：.
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
13． 如图，小嘉在点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得BC=15m，则树的高度AB为　 　m. （用含α的三角函数表示)
【答案】15tanα
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可知，是直角三角形，，
根据正切函数的定义：，
已知，代入得：
．
故答案为：15tanα.
【分析】利用正切的定义解答即可．
14． 《周髀算经》《九章算术》《测圆海镜》及《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献. 某校九年级准备从这四部著作中随机抽取两本开展“数学文化”活动，则该年级的学生恰好抽取到《周髀算经》和《测圆海镜》的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：将四部著作分别记为： ：《周髀算经》，：《九章算术》，：《测圆海镜》，：《四元玉鉴》，
从四部著作中随机抽取两本，所有等可能出现的结果为：
、、、、、，共6种，
其中，恰好抽到《周髀算经》和《测圆海镜》的结果只有共1种，
根据概率公式：恰好抽到《周髀算经》和《测圆海镜》的概率为．
故答案为：.
【分析】先根据列举法得到所有等可能结果，再找出找出符合条件的结果数，根据概率公式求解．
15． 符号“f”“g”分别表示一种运算，它们对一些数的运算结果如下：①f（1）=1，f（2）=3，f（3）=5，f（4）=7， …利用以上规律计算： f（2026)-　 　.
【答案】- 2025
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
…，
∴，
∴．
∵，
，
，
，
…，
∴，
∴，
则．
故答案为：-2025.
【分析】根据所给等式得到两种运算的运算法则，，然后代入数值计算即可．
16． 如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作交⊙O于点D，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点M，连结AD. 若点M是BC的中点，则 　 　.
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
又是中点，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
设，，，则，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴①，
∵等腰中，是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴②，
将②代入①，得，
整理，得，
因式分解，得，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴ ．．
故答案为：.
【分析】连接，根据ASA得到，即可得到，，设，，，即可得到，进而可得，求出．根据勾股定理得到，，整理得①，再根据两角对应相等得到，根据对应边成比例可得②，联立可得然后求出比值解答即可 ．
17．先化简，再求值： 其中x=1，y=-2.
【答案】解：
所以当x=1， y=-2时，原式：
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则展开，然后合并同类项化简，再代入x，y的值解答即可.
18．解方程：
【答案】解：
去分母，得： 1-x-1=x-2，
移项、合并同类项，得： 2x=2，
所以x=1，经检验，x=1是原方程的解.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x-2)去分母化为整式方程，解整式方程求出x的值并检验解答即可.
19．如图， 在△ABC中， ∠C=60°， AC=2， BC=8， 点D是边BC上的中点.
（1） 求线段 AD的长.
（2） 求tan∠ABC的值.
【答案】（1）解：过点A作AE⊥BC交BC于点E，
因为∠C=60°， AC=2，
所以∠CAE=30°，
所以CE=1， AE=，
因为点D是边BC上的中点，BC=8，
所以CD=4，所以DE=3，
所以
（2）解：因为
所以
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；求正切值
【解析】【分析】（1）过点作于点，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出，，求出，再根据勾股定理求出AD长解答即可；
（2）根据正切的定义解答即可．
20．为弘扬传统文化，某中学组织全校学生参加传统文化知识竞赛，并从中抽取了部分学生的成绩数据（成绩为整数，满分为100分)，将收集的数据分 A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）所抽取的学生人数是　 　，频数分布条线图中　 　扇形统计图中 　 　.
（2）成绩在81分及以上为优秀，若该校以2000人计算，估计成绩优秀的学生人数.
【答案】（1）200；16；126°
（2）解：根据题意得，E组人数为：（人）
（人)，
答：估计该校成绩优秀的学生约有940人.
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：根据题意，得B组有40人，占比为，
∴所抽取的学生人数是；
∴频数分布条形图中；
∴；
故答案为：200；16；126°；
【分析】（1）根据B组人数除以占比求出考查总数，再利用考查总数乘以A组人数所占的百分比求出a的值，根据乘以D组人数的占比求出n的值解答即可；
（2）利用样本中优秀学生的占比乘以2000人解答即可．
21．某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品. 为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级. 其中塑料与纸张的奖励积分y （分)与投放质量x（kg)的函数关系如图所示，已知投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分/kg，规定积分满400分，可以兑换智能扫地机器人一台.
（1）求a的值；
（2）问一次性投放8kg塑料和12kg纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗 通过计算说明.
【答案】（1）解：因为投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分/ kg，
∴（300-100)÷25=8kg， ∴a=10+8=18；
（2）解：对于塑料：当x≥5时，设y与x的函数关系式为y= kx+b（k≠0)，
∵当x=5时， y=100，当x=10时， y=300，
解得： ∴y与x的函数关系式为y=40x-100，
当x=8时， y=40x-100=40×8-100=220，即投放8kg塑料的奖励积分为220分，
同理，对于纸张：当x≥10时， y=25x-150，
当x=12时， y=25x-150=25×12-150=150，即投放12kg纸张的奖励积分为150分，
∴积分和： 220+150=370<400，
∴不能兑换智能扫地机器人.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据图象提取相关信息求出a的值解答即可；
（2）分别计算出和时，塑料和纸张的积分与的函数关系式，再计算出投放8kg塑料和12kg纸张对应的积分，比较解答即可．
22．如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， D为AB的中点，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F. 记△BEF的面积为S1，四边形CDFE的面积为S2.
（1）求证：直线EF与⊙O相切；
（2）若 求m的值.
【答案】（1）证明：连接，
在中，，为的中点，
（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
直线与相切．
（2）解：为的直径，
，即，
，
为的中点，
，设，，
由勾股定理得：，
为中点，，
，，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
，
.
【知识点】三角形的面积；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质得到CD=BD，然后根据等边对等角得到∠OEC=∠B，即可得到OE∥AB，进而可得EF⊥OE，证明结论即可；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得，根据三线合一得到为中点；结合设，然后根据勾股定理求出BC 和DE长，再根据两角对应相等得到△BEF∽△BDE，根据对应面积比等于相似比的平方可得，然后分别求出、，求出比值解答即可．
23．已知二次函数 （m为常数).
（1）若该二次函数的图象与y轴交于点（0，-1)，
①求该二次函数的表达式；
②求x的取值范围，使得y随x的增大而增大；
（2）若对于任意实数x，都有 且二次函数 的图象与直线y=a交于M， N两点，若 求a的值.
【答案】（1）解：①∵二次函数的图象过点，
，
，
；
②∵二次函数的对称轴为直线，，
当时，随的增大而增大；
（2）解：恒成立，即恒成立，
，
，
，
，
联立与，可得，
，
，
，
，
，
．

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①把代入解析式，求出m的值解答即可；
②根据抛物线的对称轴公式求出对称轴为直线，根据开口方向得到增减性解答即可；
（2）由题意得，求出m的值，得到二次函数的解析式，联立二次函数和y=a的解析式，根据根与系数的关系可得，根据，利用完全平方公式的变形，列方程解答即可．
24．如图，在矩形ABCD中， AB=a·BC，点E是边BC上的一个动点，连结DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连结AF交DE于点 P.
（1）求证： ∠CEF=∠CDE；
（2）当AF经过点C时，点E恰好是BC的中点.
①求a的值；
②当 时，求 的值.
【答案】（1）证明：由题意得∠DEF=90°，
∴∠DEC+∠CEF =90°，
∵矩形ABCD，
∴∠C=90°，
∴∠DEC+∠CDE=90°，
∴∠CEF=∠CDE.
（2）解：①作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∴∠FGE=∠ECD=90°，
∴∠EDC+∠DEC=∠FEG+∠DEC=90°，
∴∠EDC=∠FEG，
∵DE=EF，
∴△CDE≌△GEF，
∴CE=GF， CD=GE，
四边形是矩形，
，
，
，
，即，，
设CG=x，
∵AF经过点C，
∴CE=GF= ax，
∴CD=GE=（a+1)x，
∵此时点E恰好是BC的中点，
∴BE= ax，
∵AB=a·BC，
∴（a+1)x=a·2ax，
（舍) ，
∴a的值为1.
②由①可知，此时矩形ABCD为正方形.
∴不妨令
延长FG交AD的延长线于点H，
∵CD=GE=BC，
∴设BE=CG=DH=x，则CE=GF=3-x，
在Rt△AHF中，
如图， 过点A作 AI⊥DE交于点I，
（i) 当x=1时，
（ii) 当x=2时，
∴综上可得， 的值为 或
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据已知条件，根据同角的余角相等证明即可；
（2）①作，交的延长线于点，根据AAS得到，即可得到，然后根据平行线得到，即可得到，设，，代入比例式求出a的值即可；
②延长交的延长线于点，根据比例令 设，在中根据勾股定理求出x的值，然后分两种情况讨论，过点作交于点，结合，根据对应边成比例解答即可．
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