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广东省河源市正德中学2025-2026学年八年级下学期数学期中考试试卷
1．在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，其中能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．∠A=30°，∠B=60° B．∠A=70°，∠B=50°
C．∠A=40°，∠B=70° D．∠A=60°，∠B=80°
2．不等式2x-6≥0的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为（　　）
A．两个三角形的对应边相等
B．两组对应边相等的两个三角形全等
C．对应边相等的两个三角形全等
D．对应边相等的两个三角形不全等
5．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．BC=CD D．AD=CD
6．如图，将△ADE绕点D顺时针旋转，旋转的角是∠ADE，得到△CDB，那么下列说法中错误的是（　　）
A．DE平分∠ADB B．AD=DC C．AE//BD D．AE=BC
7．已知a>b，下列变形一定正确的是（　　）
A．a+28．图1是高铁站入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）
A．27cm B．54cm C．64cm D．70cm
9．若关于x的不等式的解集为x>2，则m的值为（　　）
A．4 B．2 C． D．
10．某批电子产品的进价为200元/件，售价为350元/件.为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价（　　）
A．120元 B．132.5元 C．140元 D．142.5元
11．在平面直角坐标系中，将点P（-1，4）向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，得到点P1，则点P1的坐标为　 　
12．已知三角形的三边长分别为2，4，x，则x的取值范围是　 　
13．已知∠AOB的平分线上一点C，点C到OA的距离为1.5cm，则点C到OB的距离为　 　.
14．一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为　 　．
15．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD.将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=10，BD=9，则△AED的周长是　 　.
16．
（1）解不等式：4x-2（x-1）<6，并把解集在数轴上表示出来.
（2）解不等式组：并写出它的正整数解.
17．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的角平分线.
18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是A（4，4），B（3，2），C（1，2）.
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形
（2）将绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后的图形
19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°.点D在△ABC外，连接AD，作于点E，交BC于点F，AD=AB，AE=AC，连接AF.
（1）求证：CF=EF；
（2）若BF=5，CF=2，求DF的长.
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E.
（1）求∠BCD的度数；
（2）若DE=3，求AB的长.
21．根据以下信息，按要求完成下列任务.
“诵读经典诗词，弘扬传统文化”图书采购创意探究项目
项目背景 学校即将举办一场盛大的“诵读经典诗词，弘扬传统文化”主题诵读比赛.经典诗词作为中华文化的璀璨明珠，承载着千年的智慧与情感.学校举办此次“诵读经典诗词，弘扬传统文化”比赛旨在激发同学们对经典诗词的热爱，深入领略传统文化的独特魅力.为了鼓励同学们积极参与、展现卓越风采，学校决定采购甲、乙两种图书作为比赛奖品.这两种图书不仅具有丰富的文化内涵，还能为同学们带来知识的滋养
项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性
素材展示
素材1 已知甲图书的单价与乙图书单价存在特定关系，即甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍.
素材2 我们还掌握了一个关键信息：单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元.
素材3 学校计划购买甲、乙两种图书共40本作为奖品.但有两个重要的限制条件需要考虑. 一方面：投入的经费不能超过1020元； 另一方面：要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量.
问题解决
⑴任务一 精准定价 请你通过建立合适的数学模型，精确计算出购买一个甲种图书和一个乙种图书分别需要多少钱.
⑵任务二 方案规划 请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种图书的具体购买数量.
⑶任务三 成本优化 在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案.
22．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E在BC边上，∠DAE=45°，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF.
（1）求证：BF⊥BC；
（2）连接DF，求证：△ADF≌△ADE；
（3）若BD=3，CE=4，求四边形AFDE的面积.
23．我们曾研究过“函数y=2x-5的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系，发现一元一次不等式2x-5>0的解集是函数y=2x-5图象在x轴上方的点的横坐标的集合.
结论：一元一次不等式：kx+b>0（或kx+b<0）的解集，是函数y=kx+b图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合.
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数y=kx+b（k<0）的图象经过点P（3，2），则不等式kx+b<2的解集是　 　
（2）如图2，观察图象，不等式2x-1>x+1的解集是　 　
（3）【拓展延伸】：
如图3，一次函数和图象相交于点A（2，-1），分别与x轴相交于点B和点C（4，0）.
①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是 ▲ .
②在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：A. ，三个角互不相等，不能判定是等腰三角形；
B. ，三个角互不相等，不能判定是等腰三角形；
C. ，，能判定是等腰三角形；
D. ，三个角互不相等，不能判定是等腰三角形。
故答案为：C
【分析】本题考查等腰三角形的判定定理和三角形内角和定理，根据三角形内角和为计算出每个选项中的度数，再依据"有两个角相等的三角形是等腰三角形"这一判定定理进行判断，只要找到两个相等的内角即可确定该三角形为等腰三角形。
2．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：对不等式进行移项，得，
两边同时除以2，得。
在数轴上表示时，在数字3处画实心圆点，并向右画射线。
故答案为：A
【分析】本题考查一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示方法，先通过移项和系数化为1的步骤解出不等式的解集，注意当不等式两边同时除以正数时，不等号方向不变；在数轴上表示解集时，大于等于用实心圆点，小于等于也用实心圆点，大于和小于用空心圆圈。
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：
A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不符合题意；
C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
4．【答案】C
【知识点】逆命题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：原命题可表述为“若两个三角形全等，则对应边相等”，
逆命题为“若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等”．
故选：C．
【分析】根据逆命题的定义，结合全等三角形判定定理即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：垂直平分，
，，故A、C选项一定成立；
在和中，
，
，即平分，故B选项一定成立；
没有条件能够证明，故D选项不一定成立。
故答案为：D
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可直接得到和；再利用SSS判定定理证明和全等，根据全等三角形对应角相等可推出平分；而和之间没有必然的相等关系，无法通过已知条件证明。
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：绕点顺时针旋转得到，
，
，，，，故A、B、D选项正确；
不一定等于，
不一定等于，
与不一定平行，故C选项错误。
故答案为：C
【分析】本题考查旋转的性质和平行线的判定，旋转前后的两个图形全等，对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；根据旋转的性质可直接得到、以及，从而推出平分；而平行线的判定需要同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，这里无法保证，因此不能判定。
7．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A. ，根据不等式的性质1，两边同时加2，不等号方向不变，得，故A错误；
B. ，根据不等式的性质3，两边同时乘，不等号方向改变，得，故B正确；
C. ，根据不等式的性质2，两边同时乘2，不等号方向不变，得，故C错误；
D. ，根据不等式的性质1，两边同时加，不等号方向不变，得，故D错误。
故答案为：B
【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边同时加或减同一个数或式子，不等号方向不变；性质2：不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；性质3：不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变，解题时需特别注意乘除负数时不等号方向的变化。
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作于点，
在中，，，
，
同理可得，，
可以通过闸机的物体的最大宽度为。
故答案为：C
【分析】本题考查直角三角形中角所对直角边的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，通过作辅助线构造直角三角形，分别求出和的长度，再加上的长度，即可得到能够通过闸机的物体的最大宽度。
9．【答案】B
【知识点】已知不等式的解（集）求参数；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：对不等式去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
不等式的解集为，
，
解得。
故答案为：B
【分析】本题考查一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法，先按照解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，用含的代数式表示，再根据已知的解集，建立关于的一元一次方程，解方程即可求出的值。
10．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设这批电子产品降价元，
根据题意，得，
化简不等式，得，
两边同时乘200，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边同时乘，得。
故答案为：C
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，利润率的计算公式，设降价元，则降价后的售价为元，根据单件利润率不低于5%这一条件列出不等式，解不等式即可得到的取值范围，从而确定最多可降价的金额。
11．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： 点向右平移2个单位长度，
横坐标变为，
再向下平移3个单位长度，
纵坐标变为，
点的坐标为。
故答案为：
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，点的平移规律是：左右平移时，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移时，纵坐标上加下减，横坐标不变，根据这一规律分别计算平移后点的横、纵坐标即可。
12．【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
，
即
故答案为：
【分析】本题考查三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据这一定理列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围。
13．【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：是的平分线，点在上，
点到的距离等于点到的距离，
点到的距离为，
点到的距离为。
故答案为：
【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，已知点在的平分线上，且点到的距离为，根据这一性质可直接得出点到的距离。
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可知：直线与轴的交点为，当时，直线在轴的上方，
∴不等式的解集为；
故答案为：．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则分析求解即可.
15．【答案】19
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，，
，
绕点逆时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
的周长为。
故答案为：
【分析】本题考查旋转的性质和等边三角形的判定与性质，旋转前后的图形全等，对应边相等，对应角相等，因此，；又因为旋转角为，所以是等边三角形，从而得到；将的周长转化为，代入已知数值即可求出结果。
16．【答案】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，得，
该不等式的解集在数轴上表示为：
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴它的正整数解为1、2、3．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，以及解集在数轴上的表示和正整数解的确定。
（1）先按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示解集，注意小于号用空心圆圈；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，再找出它们的公共部分得到不等式组的解集，最后在解集中找出所有正整数即可。
17．【答案】证明：如图，作于，
∵平分，，，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的角平分线上，
∴平分．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】本题考查角平分线的性质和判定定理，过点作于点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得；再由是的中点，得到，从而推出；最后根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，即可证明平分。
18．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】本题考查轴对称变换和旋转变换的作图方法。
（1） 关于轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，根据这一特征分别求出点、、关于轴的对称点、、的坐标，再顺次连接这三个点即可得到；
（2） （2）绕点顺时针旋转时，点的位置不变，分别确定点、绕点顺时针旋转后的对应点、的坐标，再顺次连接、、即可得到旋转后的图形。
19．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
在和，
，
∴，
∴．
（2）证明：∵，，
∴，
在和，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】本题考查直角三角形全等的判定与性质。
（1） 由已知条件可知和都是直角三角形，且斜边公共，直角边，根据HL定理可证明这两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可得到；
（2）同理，利用HL定理证明，得到，先求出的长度，再结合，即可求出的长度。
20．【答案】（1）∵AC边上的垂直平分线是DE，
∴CD=AD，DE⊥AC，
∴∠A=∠DCA=30°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACB-∠DCA=90°-30°=60°，
（2）∵∠B=60°
∴∠BCD=∠B=60°
∴BD=CD，
∴BD=CD=AD= AB，
∵DE=3，DE⊥AC，∠A=30°，
∴AD=2DE=6，
∴AB=2AD=12．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质。
（1） 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，从而推出，再结合，即可求出的度数；
（2）先求出，结合（1）中，可证明是等边三角形，从而得到，即；再在中，利用角所对直角边等于斜边的一半求出的长度，进而求出的长度。
21．【答案】解：（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，
由题意得：，
解得：，
则，
答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元．
（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，
根据题意得：，
解得：，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴共有3种方案．
方案一：购买甲种图书20本，乙种图书20本；
方案二：购买甲种图书21本，乙种图书19本；
方案三：购买甲种图书22本，乙种图书18本；
（3）方案一总花费：元，
方案二总花费：元，
方案三总花费：元，
∴购买甲种图书20本，乙种图书20本的采购方案总费用最低．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用。
（1） 设乙种图书的单价为元，则甲种图书的单价为元，根据"单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元"这一等量关系列出一元一次方程，解方程即可求出两种图书的单价；
（2） 设购进甲种图书本，则购进乙种图书本，根据"投入的经费不能超过1020元"和"购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量"这两个条件列出一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围，再根据为正整数确定可行的购买方案；
（3）分别计算出每种可行方案的总费用，比较大小后即可找出总费用最低的采购方案。
22．【答案】（1）证明：∵将绕点顺时针旋转得，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵将绕点顺时针旋转得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（3）解：如图，过点作于，
∵将绕点顺时针旋转得，，，
∴，
由（1）得，，
在中，，
由（2）得，，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴四边形的面积：
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质。
（1） 根据旋转的性质可得，由是等腰直角三角形可知，从而推出，即可证明；
（2） 由旋转的性质可得，，结合和，可推出，再利用SAS定理即可证明；
（3）先在中利用勾股定理求出的长度，由（2）中全等可知，从而求出的长度；再过点作于点，根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度；最后利用计算出四边形的面积。
23．【答案】（1）
（2）
（3）①
②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下：
设点P的坐标为：，
∵，，
∴，，，
当时，则，
解得或(舍去)，
∴P点坐标为；
当时，则，
∴或，
∴P点坐标为或；
当时，则，
解得，
∴P点坐标为；
综上所述：P点坐标为或或或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；等腰三角形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵的图象经过点，
∴观察图象，不等式的解集是．
故答案为：
（2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为，
∵的解为两直线交点的横坐标，
∴由图象可得，当时，，
∴不等式的解是．
故答案为：
（3）①∵，
∴的解集是，
∵，
∴的解集是，
∴的解集是；
故答案为：
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系以及等腰三角形的存在性问题。
（1） 不等式的解集就是一次函数的图象在直线下方部分对应的的取值范围，结合函数图象经过点且（函数图象从左到右下降），即可确定解集；
（2） 不等式的解集就是直线在直线上方部分对应的的取值范围，找到两条直线的交点横坐标即可确定解集；
（3）①不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分，的解集是直线在直线上方部分对应的的取值范围，的解集是直线在轴下方部分对应的的取值范围，结合交点坐标和与轴的交点坐标即可确定不等式组的解集；②设点的坐标为，分别表示出、和，再分、、三种情况进行讨论，分别列出方程求解，即可得到点的坐标。
1 / 1广东省河源市正德中学2025-2026学年八年级下学期数学期中考试试卷
1．在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，其中能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．∠A=30°，∠B=60° B．∠A=70°，∠B=50°
C．∠A=40°，∠B=70° D．∠A=60°，∠B=80°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：A. ，三个角互不相等，不能判定是等腰三角形；
B. ，三个角互不相等，不能判定是等腰三角形；
C. ，，能判定是等腰三角形；
D. ，三个角互不相等，不能判定是等腰三角形。
故答案为：C
【分析】本题考查等腰三角形的判定定理和三角形内角和定理，根据三角形内角和为计算出每个选项中的度数，再依据"有两个角相等的三角形是等腰三角形"这一判定定理进行判断，只要找到两个相等的内角即可确定该三角形为等腰三角形。
2．不等式2x-6≥0的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：对不等式进行移项，得，
两边同时除以2，得。
在数轴上表示时，在数字3处画实心圆点，并向右画射线。
故答案为：A
【分析】本题考查一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示方法，先通过移项和系数化为1的步骤解出不等式的解集，注意当不等式两边同时除以正数时，不等号方向不变；在数轴上表示解集时，大于等于用实心圆点，小于等于也用实心圆点，大于和小于用空心圆圈。
3．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：
A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不符合题意；
C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
4．命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为（　　）
A．两个三角形的对应边相等
B．两组对应边相等的两个三角形全等
C．对应边相等的两个三角形全等
D．对应边相等的两个三角形不全等
【答案】C
【知识点】逆命题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：原命题可表述为“若两个三角形全等，则对应边相等”，
逆命题为“若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等”．
故选：C．
【分析】根据逆命题的定义，结合全等三角形判定定理即可求出答案.
5．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．BC=CD D．AD=CD
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：垂直平分，
，，故A、C选项一定成立；
在和中，
，
，即平分，故B选项一定成立；
没有条件能够证明，故D选项不一定成立。
故答案为：D
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可直接得到和；再利用SSS判定定理证明和全等，根据全等三角形对应角相等可推出平分；而和之间没有必然的相等关系，无法通过已知条件证明。
6．如图，将△ADE绕点D顺时针旋转，旋转的角是∠ADE，得到△CDB，那么下列说法中错误的是（　　）
A．DE平分∠ADB B．AD=DC C．AE//BD D．AE=BC
【答案】C
【知识点】平行线的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：绕点顺时针旋转得到，
，
，，，，故A、B、D选项正确；
不一定等于，
不一定等于，
与不一定平行，故C选项错误。
故答案为：C
【分析】本题考查旋转的性质和平行线的判定，旋转前后的两个图形全等，对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；根据旋转的性质可直接得到、以及，从而推出平分；而平行线的判定需要同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，这里无法保证，因此不能判定。
7．已知a>b，下列变形一定正确的是（　　）
A．a+2【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A. ，根据不等式的性质1，两边同时加2，不等号方向不变，得，故A错误；
B. ，根据不等式的性质3，两边同时乘，不等号方向改变，得，故B正确；
C. ，根据不等式的性质2，两边同时乘2，不等号方向不变，得，故C错误；
D. ，根据不等式的性质1，两边同时加，不等号方向不变，得，故D错误。
故答案为：B
【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边同时加或减同一个数或式子，不等号方向不变；性质2：不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；性质3：不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变，解题时需特别注意乘除负数时不等号方向的变化。
8．图1是高铁站入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）
A．27cm B．54cm C．64cm D．70cm
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作于点，
在中，，，
，
同理可得，，
可以通过闸机的物体的最大宽度为。
故答案为：C
【分析】本题考查直角三角形中角所对直角边的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，通过作辅助线构造直角三角形，分别求出和的长度，再加上的长度，即可得到能够通过闸机的物体的最大宽度。
9．若关于x的不等式的解集为x>2，则m的值为（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】已知不等式的解（集）求参数；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：对不等式去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
不等式的解集为，
，
解得。
故答案为：B
【分析】本题考查一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法，先按照解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，用含的代数式表示，再根据已知的解集，建立关于的一元一次方程，解方程即可求出的值。
10．某批电子产品的进价为200元/件，售价为350元/件.为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价（　　）
A．120元 B．132.5元 C．140元 D．142.5元
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设这批电子产品降价元，
根据题意，得，
化简不等式，得，
两边同时乘200，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边同时乘，得。
故答案为：C
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，利润率的计算公式，设降价元，则降价后的售价为元，根据单件利润率不低于5%这一条件列出不等式，解不等式即可得到的取值范围，从而确定最多可降价的金额。
11．在平面直角坐标系中，将点P（-1，4）向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，得到点P1，则点P1的坐标为　 　
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： 点向右平移2个单位长度，
横坐标变为，
再向下平移3个单位长度，
纵坐标变为，
点的坐标为。
故答案为：
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，点的平移规律是：左右平移时，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移时，纵坐标上加下减，横坐标不变，根据这一规律分别计算平移后点的横、纵坐标即可。
12．已知三角形的三边长分别为2，4，x，则x的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
，
即
故答案为：
【分析】本题考查三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据这一定理列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围。
13．已知∠AOB的平分线上一点C，点C到OA的距离为1.5cm，则点C到OB的距离为　 　.
【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：是的平分线，点在上，
点到的距离等于点到的距离，
点到的距离为，
点到的距离为。
故答案为：
【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，已知点在的平分线上，且点到的距离为，根据这一性质可直接得出点到的距离。
14．一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可知：直线与轴的交点为，当时，直线在轴的上方，
∴不等式的解集为；
故答案为：．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则分析求解即可.
15．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD.将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=10，BD=9，则△AED的周长是　 　.
【答案】19
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，，
，
绕点逆时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
的周长为。
故答案为：
【分析】本题考查旋转的性质和等边三角形的判定与性质，旋转前后的图形全等，对应边相等，对应角相等，因此，；又因为旋转角为，所以是等边三角形，从而得到；将的周长转化为，代入已知数值即可求出结果。
16．
（1）解不等式：4x-2（x-1）<6，并把解集在数轴上表示出来.
（2）解不等式组：并写出它的正整数解.
【答案】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，得，
该不等式的解集在数轴上表示为：
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴它的正整数解为1、2、3．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，以及解集在数轴上的表示和正整数解的确定。
（1）先按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示解集，注意小于号用空心圆圈；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，再找出它们的公共部分得到不等式组的解集，最后在解集中找出所有正整数即可。
17．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的角平分线.
【答案】证明：如图，作于，
∵平分，，，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的角平分线上，
∴平分．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】本题考查角平分线的性质和判定定理，过点作于点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得；再由是的中点，得到，从而推出；最后根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，即可证明平分。
18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是A（4，4），B（3，2），C（1，2）.
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形
（2）将绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后的图形
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】本题考查轴对称变换和旋转变换的作图方法。
（1） 关于轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，根据这一特征分别求出点、、关于轴的对称点、、的坐标，再顺次连接这三个点即可得到；
（2） （2）绕点顺时针旋转时，点的位置不变，分别确定点、绕点顺时针旋转后的对应点、的坐标，再顺次连接、、即可得到旋转后的图形。
19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°.点D在△ABC外，连接AD，作于点E，交BC于点F，AD=AB，AE=AC，连接AF.
（1）求证：CF=EF；
（2）若BF=5，CF=2，求DF的长.
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
在和，
，
∴，
∴．
（2）证明：∵，，
∴，
在和，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】本题考查直角三角形全等的判定与性质。
（1） 由已知条件可知和都是直角三角形，且斜边公共，直角边，根据HL定理可证明这两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可得到；
（2）同理，利用HL定理证明，得到，先求出的长度，再结合，即可求出的长度。
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E.
（1）求∠BCD的度数；
（2）若DE=3，求AB的长.
【答案】（1）∵AC边上的垂直平分线是DE，
∴CD=AD，DE⊥AC，
∴∠A=∠DCA=30°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACB-∠DCA=90°-30°=60°，
（2）∵∠B=60°
∴∠BCD=∠B=60°
∴BD=CD，
∴BD=CD=AD= AB，
∵DE=3，DE⊥AC，∠A=30°，
∴AD=2DE=6，
∴AB=2AD=12．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质。
（1） 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，从而推出，再结合，即可求出的度数；
（2）先求出，结合（1）中，可证明是等边三角形，从而得到，即；再在中，利用角所对直角边等于斜边的一半求出的长度，进而求出的长度。
21．根据以下信息，按要求完成下列任务.
“诵读经典诗词，弘扬传统文化”图书采购创意探究项目
项目背景 学校即将举办一场盛大的“诵读经典诗词，弘扬传统文化”主题诵读比赛.经典诗词作为中华文化的璀璨明珠，承载着千年的智慧与情感.学校举办此次“诵读经典诗词，弘扬传统文化”比赛旨在激发同学们对经典诗词的热爱，深入领略传统文化的独特魅力.为了鼓励同学们积极参与、展现卓越风采，学校决定采购甲、乙两种图书作为比赛奖品.这两种图书不仅具有丰富的文化内涵，还能为同学们带来知识的滋养
项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性
素材展示
素材1 已知甲图书的单价与乙图书单价存在特定关系，即甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍.
素材2 我们还掌握了一个关键信息：单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元.
素材3 学校计划购买甲、乙两种图书共40本作为奖品.但有两个重要的限制条件需要考虑. 一方面：投入的经费不能超过1020元； 另一方面：要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量.
问题解决
⑴任务一 精准定价 请你通过建立合适的数学模型，精确计算出购买一个甲种图书和一个乙种图书分别需要多少钱.
⑵任务二 方案规划 请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种图书的具体购买数量.
⑶任务三 成本优化 在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案.
【答案】解：（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，
由题意得：，
解得：，
则，
答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元．
（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，
根据题意得：，
解得：，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴共有3种方案．
方案一：购买甲种图书20本，乙种图书20本；
方案二：购买甲种图书21本，乙种图书19本；
方案三：购买甲种图书22本，乙种图书18本；
（3）方案一总花费：元，
方案二总花费：元，
方案三总花费：元，
∴购买甲种图书20本，乙种图书20本的采购方案总费用最低．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用。
（1） 设乙种图书的单价为元，则甲种图书的单价为元，根据"单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元"这一等量关系列出一元一次方程，解方程即可求出两种图书的单价；
（2） 设购进甲种图书本，则购进乙种图书本，根据"投入的经费不能超过1020元"和"购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量"这两个条件列出一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围，再根据为正整数确定可行的购买方案；
（3）分别计算出每种可行方案的总费用，比较大小后即可找出总费用最低的采购方案。
22．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E在BC边上，∠DAE=45°，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF.
（1）求证：BF⊥BC；
（2）连接DF，求证：△ADF≌△ADE；
（3）若BD=3，CE=4，求四边形AFDE的面积.
【答案】（1）证明：∵将绕点顺时针旋转得，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵将绕点顺时针旋转得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（3）解：如图，过点作于，
∵将绕点顺时针旋转得，，，
∴，
由（1）得，，
在中，，
由（2）得，，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴四边形的面积：
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质。
（1） 根据旋转的性质可得，由是等腰直角三角形可知，从而推出，即可证明；
（2） 由旋转的性质可得，，结合和，可推出，再利用SAS定理即可证明；
（3）先在中利用勾股定理求出的长度，由（2）中全等可知，从而求出的长度；再过点作于点，根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度；最后利用计算出四边形的面积。
23．我们曾研究过“函数y=2x-5的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系，发现一元一次不等式2x-5>0的解集是函数y=2x-5图象在x轴上方的点的横坐标的集合.
结论：一元一次不等式：kx+b>0（或kx+b<0）的解集，是函数y=kx+b图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合.
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数y=kx+b（k<0）的图象经过点P（3，2），则不等式kx+b<2的解集是　 　
（2）如图2，观察图象，不等式2x-1>x+1的解集是　 　
（3）【拓展延伸】：
如图3，一次函数和图象相交于点A（2，-1），分别与x轴相交于点B和点C（4，0）.
①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是 ▲ .
②在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）①
②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下：
设点P的坐标为：，
∵，，
∴，，，
当时，则，
解得或(舍去)，
∴P点坐标为；
当时，则，
∴或，
∴P点坐标为或；
当时，则，
解得，
∴P点坐标为；
综上所述：P点坐标为或或或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；等腰三角形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵的图象经过点，
∴观察图象，不等式的解集是．
故答案为：
（2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为，
∵的解为两直线交点的横坐标，
∴由图象可得，当时，，
∴不等式的解是．
故答案为：
（3）①∵，
∴的解集是，
∵，
∴的解集是，
∴的解集是；
故答案为：
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系以及等腰三角形的存在性问题。
（1） 不等式的解集就是一次函数的图象在直线下方部分对应的的取值范围，结合函数图象经过点且（函数图象从左到右下降），即可确定解集；
（2） 不等式的解集就是直线在直线上方部分对应的的取值范围，找到两条直线的交点横坐标即可确定解集；
（3）①不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分，的解集是直线在直线上方部分对应的的取值范围，的解集是直线在轴下方部分对应的的取值范围，结合交点坐标和与轴的交点坐标即可确定不等式组的解集；②设点的坐标为，分别表示出、和，再分、、三种情况进行讨论，分别列出方程求解，即可得到点的坐标。
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