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广东东莞市东莞中学松山湖学校2025—2026学年度第二学期期中考试八年级数学试卷
1．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：、是最简二次根式，符合题意；
、，该选项不是最简二次根式，不符合题意；
、，该选项不是最简二次根式，不符合题意；
、，该选项不是最简二次根式，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】本题主要考查最简二次根式的概念.最简二次根式必须同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.逐个选项分析，只有符合最简二次根式条件.
2．以下列各数为三角形的边长．能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，2 B．，， C．4，5，6 D．，，
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】本题考查勾股定理的逆定理：“三角形的三边为，，，若，则三角形是直角三角形”.解题时先确定最长边，再验证较小两边的平方和是否等于最长边的平方，逐项验证即可.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、无法合并，错误；
B、，正确；
C、，错误；
D、，错误；
故答案为：B.
【分析】本题主要考查二次根式的运算，包括合并同类二次根式、二次根式的乘除运算以及化简.A： 只有被开方数相同的二次根式才能合并；B：，符合运算法则；C：系数与系数相乘；D：已经是最简形式.
4．如图，在中，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴．
故答案为：A.
【分析】本题考查平行四边形的性质.利用“平行四边形对角相等”计算，再由，结合“两直线平行，同旁内角互补”计算.
5．已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当时，平行四边形是菱形
B．当时，平行四边形是菱形
C．当时，平行四边形是矩形
D．当时，平行四边形是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，
A. 当时，平行四边形邻边相等，符合菱形的定义，即有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此选项正确；
B. 当时，平行四边形的对角线互相垂直，符合菱形的判定，即对角线垂直的平行四边形是菱形，此选项正确；
C. 当时，平行四边形的对角线相等，符合矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确；
D. 当时，平行四边形有一个角为直角，仅能判定为矩形，判定为正方形需同时满足邻边相等且一个角为直角，或对角线相等且垂直，此处条件不足，此选项错误，但符合题意．
故选：D．
【分析】根据菱形，矩形，正方形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．如图，在矩形中，两条对角线交于点，，，则长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】本题考查矩形的性质“对角线互相平分且相等”.结合可得到是等边三角形，所以，从而求出AC.
7．如图，中D、E分别是的中点，F是上一点，，若，，则边的长是（　　）
A．15 B．14 C．13 D．12
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E分别是的中点，，
∴，
∴，
∵，点是中点，
∴在中，，
∴，
故答案为：D.
【分析】本题考查三角形中位线的性质“三角形中位线的长度等于第三边长度的一半”与直角三角形斜边上的中线，因此，结合已知得到；再根据，利用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”即可求解．
8．已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列结论不正确的是（　　）
A．张强从家到体育场用了15min B．体育场离文具店1.5km
C．张强在文具店停留了20min D．张强从文具店回家用了35min
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图可知：
A.、张强从家到体育场用了15min，正确，不符合题意；
B.、体育场离文具店的距离为：，故选项错误，符合题意；
C、 张强在文具店停留了：，正确，不符合题意；
D、 张强从文具店回家用了，正确，符合题意，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查从函数图象中获取信息的能力，包括时间、距离以及运动过程中的停留与变化.理解横轴表示时间x，纵轴表示张强离家的距离y，图象中水平线段表示停留，上升线段表示离家，下降线段表示回家，根据选项逐个分析即可.
9．八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
设边上的高的长为，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用题干中的定义及计算方法求出p的值，再求出s的值，再设边上的高的长为，利用三角形的面积公式可得，最后求出即可.
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、均在轴上，点D在轴上，点在第一象限，已知点坐标为，点坐标为，点是直线上一动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵点坐标为，点坐标为，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴点的坐标为，
如图，连接，过点作轴于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴点的坐标为，
∵菱形的对角线是其对称轴，
∴点关于直线的对称点是点，
∴对直线上任意一点，都有，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、、三点共线（即点运动到图中位置）时，取得最小值，最小值为线段的长度，
∵，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：C
【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理以及利用轴对称求最短路径问题.解题的关键是利用菱形的对角线互相垂直平分这一性质，将两条线段之和转化为两点之间的线段距离，即将转化为，再由两点之间线段最短确定最短为线段OC的长度；求OC只需利用菱形性质确定点C的坐标，结合勾股定理即可求解.
11．若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】要使二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式，求解即可。
12．计算：　 　．
【答案】10
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：10.
【分析】本题考查二次根式的性质，直接利用性质计算求解.
13．如图，在数轴上点A表示的实数是　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由勾股定理得，斜边长，
则点A对应的数为．
故答案为：
【分析】根据勾股定理求出斜边长，结合数轴上点的位置即可求出答案.
14．已知直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为　 　．
【答案】10或
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况计算：
当和都为直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理得：
第三边长；
当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理得：
第三边长．
综上，第三边长为10或．
故答案为：10或.
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，需要注意已知两边中哪一条是斜边并不明确，因此需要分两种情况讨论.由8＞6，所以6一定是直角边，8可能是直角边或斜边，再利用勾股定理计算即可.
15．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，在其内部作正方形，若矩形的边，那么　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵矩形为黄金矩形，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查黄金矩形的定义、矩形的性质以及正方形的性质.根据黄金比例计算出短边的长度 ，再利用正方形的边长相等求出相关线段差.
16．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，涉及平方差公式、二次根式的化简以及合并同类二次根式.先利用平方差公式进行乘法运算，将根号内的数分解为完全平方数与另一数的乘积，从而化简根式，最后合并即可.
17．已知与之间满足，且当时，．求：
（1）与之间的函数关系式；
（2）当时，的值．
【答案】（1）解：把，代入得：，
解得，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得．
【知识点】函数值；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式以及已知函数值求自变量值.将已知点的坐标代入函数关系式求出参数k=3，再将y=6代入y=3x-9求出x=5.
（1）解：把，代入得：，
解得，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得．
18．如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点，，且，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；平行四边形的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】本题结合三角形的全等与性质考查平行四边形的判定.根据已知条件可证明，得到；又，根据“内错角相等，两直线平行”推出，最后利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明.
19．如图，矩形的对角线相交于点O，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形．
∵四边形是矩形，
∴，，．
∴．
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图，连接，
由（1）知四边形是菱形，
∴．
∵，
∴，．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴．
∴菱形的面积是4．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】
（1）由于BE∥AC，AE∥BD，根据平行四边形的定义可得四边形AOBE是平行四边形，在矩形ABCD中，对角线AC和BD在点O相交。由于矩形的对角线相等，且在点O处平分，即OA=AC，OB=BD，且AC=BD，因此OA=OB。在平行四边形AOBE中，对角线OA和OB相等，即可得出平行四边形AOBE是菱形；
（2） 连接，根据菱形的性质可得，，进而证明四边形是平行四边形，进而得到， 根据菱形AOBE的面积等于两个△AOB的面积之和，即可求解。
20．已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．
（1）猜想两支架与的位置关系并说明理由；
（2）若的长度为，，求购物车把手到的距离．
【答案】（1）解：，
理由如下：
，
，
，
为直角三角形，
，
；
（2）解：过作交的延长线于，过C作于M，延长交于K，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
∴购物车把手到的距离为．
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、直角三角形的性质以及平行线间距离的转化.
（1）通过计算计算，根据勾股定理逆定理可判定为直角三角形；
（2）求购物车把手F到AB的距离，即求点F到直线AB的垂线段长度.已知FG=80cm，∠EHG=60°，且DG、EH均与地面平行.通过作辅助线交的延长线于，于M，延长交于K，构造出含30°角的直角三角形，利用“含30°角直角三角形的性质”求出GK的长度，再由勾股定理得FK；由等面积法计算CM，计算CM+FK即可.
（1）解：，
理由如下：
，
，
，
为直角三角形，
，
；
（2）解：过作交的延长线于，过C作于M，延长交于K，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
∴购物车把手到的距离为．
21．如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．设链条长度为，链条节数为．
链条节数节
链条长度
（1）观察图形，根据条件可求得表格中：______，______；
（2）根据条件，可求得与之间的函数关系式为____________；
（3）如下计算图，一辆自行车的链条（安装前）共由节链条组成，那么将这根链条安装到自行车上后（链条变为右图中的环形），求安装上自行车上后的链条总长度是多少？
【答案】(1)，；
(2)；
(3) 解：把代入，得，
∵链条安装成环形，会再增加处重叠，需再减个，
∴环形总长度．
【知识点】一次函数的实际应用；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：节链条：长度，
节链条：总长度（重合处，减个），
节链条：总长度，即，
节链条：总长度，即，
故答案为：，；
（2）解：节链条，重合部分有处，
∵总长度单节长度节数重合部分总长度，
∴，
，
故答案为：；
【分析】本题主要考查根据图形找规律，建立一次函数模型解决实际问题.
（）根据图形找出规律：两节链条连接时，重叠一个圆的直径.因此两节链条减去一个圆的直径，三节链条减去两个圆的直径，以此类推，进行计算即可；
（）根据（1）中发现的规律写出表示链条节数的表达式；
（）先根据计算时y的值，因为自行车链条安装后是环形，因此首尾也需连接，即重叠处数量等于节数，再减去一个重叠长度即可.
22．阅读下述材料：
【材料1】二次根式中不仅分母可有理化，且另有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，消掉分子中的根式，如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，
因为：，所以．
【材料2】求的最大值．具体方法如下：
解：由，，可解得：，而且
故当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
请根据上述材料中的描述，解决下列问题：
（1）比较大小：______；（用“”、“”或“”填空）；
（2）填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）0，大，1
（3）解：由题可得，
，
则．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；转化思想
【解析】【解答】解：（1）根据题意得，，，
，
，
即；
故答案为：＜；
（2）解：，
∴且，
即，
，
由于分母随x增大而增大，则y随分母增大而减小，
则当时，分母最小，y取得最大值，最大值为1；
故答案为：0，大，1.
【分析】本题考查二次根式的有理化，将分母有理化的知识进行迁移，转化为“分子有理化”，进行二次根式的大小比较、求最值和求值问题中的应用.
（1）根据材料1信息，利用平方差公式将根式差转化为分式形式，即，，再根据“分子相同，分母大的分数值越小”来比较分式大小即可；
（2）根据材料2信息，先利用二次根式的定义得到，再将根式分子有理化得，根据分数的性质确定最小分母即可求解；
（3）观察题干， ，直接将进行分子有理化即可得到，即可求出.
（1）解：根据题意得，，，
，
，
即；
（2）解：，
∴且，
即，
，
由于分母随x增大而增大，则y随分母增大而减小，
则当时，分母最小，y取得最大值，最大值为1；
（3）解：由题可得，
，
则．
23．如图，在正方形中，是上一点（不与点重合），点在上，且，连接．
（1）判断与的数量关系并证明；
（2）求的大小；
（3）作点关于直线的对称点，连接．请补全图形，并直接用等式写出之间的数量关系．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：过点G作于点M，点G作于点N，则四边形是矩形，
由（1）知，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（3）证明：连接，过点P作交的延长线于点H，
∵点P，C关于直线对称，
∴，
根据（2）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质.
（1）根据正方形的性质得到，结合公共边证明，得到，又已知，等量代换即可证明；
（2）过点G作于点M，点G作于点N，构造全等三角形，得到对应角相等，进行等量代换推出，即可判定是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质即可得出；
（3）先根据对称性，得到，结合（2）得到，即，所以，利用“一线三等角”模型证明，结合正方形性质得到；根据线段关系推出，进而得到是等腰三角形，根据勾股定理得出，继而证明.
（1）解：，理由如下：
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：过点G作于点M，点G作于点N，
则四边形是矩形，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）证明：连接，过点P作交的延长线于点H，
∵点P，C关于直线对称，
∴，
根据（2）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故．
1 / 1广东东莞市东莞中学松山湖学校2025—2026学年度第二学期期中考试八年级数学试卷
1．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．以下列各数为三角形的边长．能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，2 B．，， C．4，5，6 D．，，
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当时，平行四边形是菱形
B．当时，平行四边形是菱形
C．当时，平行四边形是矩形
D．当时，平行四边形是正方形
6．如图，在矩形中，两条对角线交于点，，，则长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，中D、E分别是的中点，F是上一点，，若，，则边的长是（　　）
A．15 B．14 C．13 D．12
8．已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列结论不正确的是（　　）
A．张强从家到体育场用了15min B．体育场离文具店1.5km
C．张强在文具店停留了20min D．张强从文具店回家用了35min
9．八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、均在轴上，点D在轴上，点在第一象限，已知点坐标为，点坐标为，点是直线上一动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．5
11．若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．计算：　 　．
13．如图，在数轴上点A表示的实数是　 　．
14．已知直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为　 　．
15．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，在其内部作正方形，若矩形的边，那么　 　．
16．计算：．
17．已知与之间满足，且当时，．求：
（1）与之间的函数关系式；
（2）当时，的值．
18．如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点，，且，．求证：四边形是平行四边形．
19．如图，矩形的对角线相交于点O，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
20．已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．
（1）猜想两支架与的位置关系并说明理由；
（2）若的长度为，，求购物车把手到的距离．
21．如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．设链条长度为，链条节数为．
链条节数节
链条长度
（1）观察图形，根据条件可求得表格中：______，______；
（2）根据条件，可求得与之间的函数关系式为____________；
（3）如下计算图，一辆自行车的链条（安装前）共由节链条组成，那么将这根链条安装到自行车上后（链条变为右图中的环形），求安装上自行车上后的链条总长度是多少？
22．阅读下述材料：
【材料1】二次根式中不仅分母可有理化，且另有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，消掉分子中的根式，如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，
因为：，所以．
【材料2】求的最大值．具体方法如下：
解：由，，可解得：，而且
故当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
请根据上述材料中的描述，解决下列问题：
（1）比较大小：______；（用“”、“”或“”填空）；
（2）填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______；
（3）若，求的值．
23．如图，在正方形中，是上一点（不与点重合），点在上，且，连接．
（1）判断与的数量关系并证明；
（2）求的大小；
（3）作点关于直线的对称点，连接．请补全图形，并直接用等式写出之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：、是最简二次根式，符合题意；
、，该选项不是最简二次根式，不符合题意；
、，该选项不是最简二次根式，不符合题意；
、，该选项不是最简二次根式，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】本题主要考查最简二次根式的概念.最简二次根式必须同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.逐个选项分析，只有符合最简二次根式条件.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】本题考查勾股定理的逆定理：“三角形的三边为，，，若，则三角形是直角三角形”.解题时先确定最长边，再验证较小两边的平方和是否等于最长边的平方，逐项验证即可.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、无法合并，错误；
B、，正确；
C、，错误；
D、，错误；
故答案为：B.
【分析】本题主要考查二次根式的运算，包括合并同类二次根式、二次根式的乘除运算以及化简.A： 只有被开方数相同的二次根式才能合并；B：，符合运算法则；C：系数与系数相乘；D：已经是最简形式.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴．
故答案为：A.
【分析】本题考查平行四边形的性质.利用“平行四边形对角相等”计算，再由，结合“两直线平行，同旁内角互补”计算.
5．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，
A. 当时，平行四边形邻边相等，符合菱形的定义，即有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此选项正确；
B. 当时，平行四边形的对角线互相垂直，符合菱形的判定，即对角线垂直的平行四边形是菱形，此选项正确；
C. 当时，平行四边形的对角线相等，符合矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确；
D. 当时，平行四边形有一个角为直角，仅能判定为矩形，判定为正方形需同时满足邻边相等且一个角为直角，或对角线相等且垂直，此处条件不足，此选项错误，但符合题意．
故选：D．
【分析】根据菱形，矩形，正方形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】本题考查矩形的性质“对角线互相平分且相等”.结合可得到是等边三角形，所以，从而求出AC.
7．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E分别是的中点，，
∴，
∴，
∵，点是中点，
∴在中，，
∴，
故答案为：D.
【分析】本题考查三角形中位线的性质“三角形中位线的长度等于第三边长度的一半”与直角三角形斜边上的中线，因此，结合已知得到；再根据，利用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”即可求解．
8．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图可知：
A.、张强从家到体育场用了15min，正确，不符合题意；
B.、体育场离文具店的距离为：，故选项错误，符合题意；
C、 张强在文具店停留了：，正确，不符合题意；
D、 张强从文具店回家用了，正确，符合题意，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查从函数图象中获取信息的能力，包括时间、距离以及运动过程中的停留与变化.理解横轴表示时间x，纵轴表示张强离家的距离y，图象中水平线段表示停留，上升线段表示离家，下降线段表示回家，根据选项逐个分析即可.
9．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
设边上的高的长为，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用题干中的定义及计算方法求出p的值，再求出s的值，再设边上的高的长为，利用三角形的面积公式可得，最后求出即可.
10．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵点坐标为，点坐标为，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴点的坐标为，
如图，连接，过点作轴于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴点的坐标为，
∵菱形的对角线是其对称轴，
∴点关于直线的对称点是点，
∴对直线上任意一点，都有，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、、三点共线（即点运动到图中位置）时，取得最小值，最小值为线段的长度，
∵，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：C
【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理以及利用轴对称求最短路径问题.解题的关键是利用菱形的对角线互相垂直平分这一性质，将两条线段之和转化为两点之间的线段距离，即将转化为，再由两点之间线段最短确定最短为线段OC的长度；求OC只需利用菱形性质确定点C的坐标，结合勾股定理即可求解.
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】要使二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式，求解即可。
12．【答案】10
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：10.
【分析】本题考查二次根式的性质，直接利用性质计算求解.
13．【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由勾股定理得，斜边长，
则点A对应的数为．
故答案为：
【分析】根据勾股定理求出斜边长，结合数轴上点的位置即可求出答案.
14．【答案】10或
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况计算：
当和都为直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理得：
第三边长；
当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理得：
第三边长．
综上，第三边长为10或．
故答案为：10或.
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，需要注意已知两边中哪一条是斜边并不明确，因此需要分两种情况讨论.由8＞6，所以6一定是直角边，8可能是直角边或斜边，再利用勾股定理计算即可.
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵矩形为黄金矩形，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查黄金矩形的定义、矩形的性质以及正方形的性质.根据黄金比例计算出短边的长度 ，再利用正方形的边长相等求出相关线段差.
16．【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，涉及平方差公式、二次根式的化简以及合并同类二次根式.先利用平方差公式进行乘法运算，将根号内的数分解为完全平方数与另一数的乘积，从而化简根式，最后合并即可.
17．【答案】（1）解：把，代入得：，
解得，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得．
【知识点】函数值；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式以及已知函数值求自变量值.将已知点的坐标代入函数关系式求出参数k=3，再将y=6代入y=3x-9求出x=5.
（1）解：把，代入得：，
解得，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得．
18．【答案】证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；平行四边形的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】本题结合三角形的全等与性质考查平行四边形的判定.根据已知条件可证明，得到；又，根据“内错角相等，两直线平行”推出，最后利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明.
19．【答案】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形．
∵四边形是矩形，
∴，，．
∴．
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图，连接，
由（1）知四边形是菱形，
∴．
∵，
∴，．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴．
∴菱形的面积是4．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】
（1）由于BE∥AC，AE∥BD，根据平行四边形的定义可得四边形AOBE是平行四边形，在矩形ABCD中，对角线AC和BD在点O相交。由于矩形的对角线相等，且在点O处平分，即OA=AC，OB=BD，且AC=BD，因此OA=OB。在平行四边形AOBE中，对角线OA和OB相等，即可得出平行四边形AOBE是菱形；
（2） 连接，根据菱形的性质可得，，进而证明四边形是平行四边形，进而得到， 根据菱形AOBE的面积等于两个△AOB的面积之和，即可求解。
20．【答案】（1）解：，
理由如下：
，
，
，
为直角三角形，
，
；
（2）解：过作交的延长线于，过C作于M，延长交于K，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
∴购物车把手到的距离为．
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、直角三角形的性质以及平行线间距离的转化.
（1）通过计算计算，根据勾股定理逆定理可判定为直角三角形；
（2）求购物车把手F到AB的距离，即求点F到直线AB的垂线段长度.已知FG=80cm，∠EHG=60°，且DG、EH均与地面平行.通过作辅助线交的延长线于，于M，延长交于K，构造出含30°角的直角三角形，利用“含30°角直角三角形的性质”求出GK的长度，再由勾股定理得FK；由等面积法计算CM，计算CM+FK即可.
（1）解：，
理由如下：
，
，
，
为直角三角形，
，
；
（2）解：过作交的延长线于，过C作于M，延长交于K，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
∴购物车把手到的距离为．
21．【答案】(1)，；
(2)；
(3) 解：把代入，得，
∵链条安装成环形，会再增加处重叠，需再减个，
∴环形总长度．
【知识点】一次函数的实际应用；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：节链条：长度，
节链条：总长度（重合处，减个），
节链条：总长度，即，
节链条：总长度，即，
故答案为：，；
（2）解：节链条，重合部分有处，
∵总长度单节长度节数重合部分总长度，
∴，
，
故答案为：；
【分析】本题主要考查根据图形找规律，建立一次函数模型解决实际问题.
（）根据图形找出规律：两节链条连接时，重叠一个圆的直径.因此两节链条减去一个圆的直径，三节链条减去两个圆的直径，以此类推，进行计算即可；
（）根据（1）中发现的规律写出表示链条节数的表达式；
（）先根据计算时y的值，因为自行车链条安装后是环形，因此首尾也需连接，即重叠处数量等于节数，再减去一个重叠长度即可.
22．【答案】（1）
（2）0，大，1
（3）解：由题可得，
，
则．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；转化思想
【解析】【解答】解：（1）根据题意得，，，
，
，
即；
故答案为：＜；
（2）解：，
∴且，
即，
，
由于分母随x增大而增大，则y随分母增大而减小，
则当时，分母最小，y取得最大值，最大值为1；
故答案为：0，大，1.
【分析】本题考查二次根式的有理化，将分母有理化的知识进行迁移，转化为“分子有理化”，进行二次根式的大小比较、求最值和求值问题中的应用.
（1）根据材料1信息，利用平方差公式将根式差转化为分式形式，即，，再根据“分子相同，分母大的分数值越小”来比较分式大小即可；
（2）根据材料2信息，先利用二次根式的定义得到，再将根式分子有理化得，根据分数的性质确定最小分母即可求解；
（3）观察题干， ，直接将进行分子有理化即可得到，即可求出.
（1）解：根据题意得，，，
，
，
即；
（2）解：，
∴且，
即，
，
由于分母随x增大而增大，则y随分母增大而减小，
则当时，分母最小，y取得最大值，最大值为1；
（3）解：由题可得，
，
则．
23．【答案】（1）解：，理由如下：
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：过点G作于点M，点G作于点N，则四边形是矩形，
由（1）知，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（3）证明：连接，过点P作交的延长线于点H，
∵点P，C关于直线对称，
∴，
根据（2）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质.
（1）根据正方形的性质得到，结合公共边证明，得到，又已知，等量代换即可证明；
（2）过点G作于点M，点G作于点N，构造全等三角形，得到对应角相等，进行等量代换推出，即可判定是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质即可得出；
（3）先根据对称性，得到，结合（2）得到，即，所以，利用“一线三等角”模型证明，结合正方形性质得到；根据线段关系推出，进而得到是等腰三角形，根据勾股定理得出，继而证明.
（1）解：，理由如下：
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：过点G作于点M，点G作于点N，
则四边形是矩形，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）证明：连接，过点P作交的延长线于点H，
∵点P，C关于直线对称，
∴，
根据（2）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故．
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