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广东广州市增城区2025-2026学年八年级下学期数学期中质量检测试卷
1．劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（　　）.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：记一个小木棒的长度为“1”，则两个直角边的长度分别为3、4，根据勾股定理，三角形斜边的长度为.
故答案为：C.
【分析】本题考查勾股定理的实际应用.根据题干描述得到3、4是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可计算斜边需要的小木棒数量.
2．如图，平行四边形ABCD中，∠A=142°，则∠D的度数是（　　）
A．28° B．38° C．120° D．142°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴.
故答案为：B.
【分析】本题考查平行四边形的性质“对边平行”.结合平行线的性质“两直线平行，同旁内互补”，得到，即可求得.
3．镜，古称“鉴”，如图，是六边形镜及其抽象出的正六边形ABCDEF，则∠A的度数为（　　）
A．45° B．60° C．67.5° D．120°
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：六边形内角和为，
∴
故答案为：D.
【分析】本题考查多边形内角和公式：及正多边形性质.先求出六边形内角和720°，再根据正六边形每个内角都相等计算一个角的度数.
4．在圆的周长公式l=2πr中，下列关于变量、常量的说法正确的是（　　）
A．π、r、l均是变量，2是常量 B．l和r是变量，2和π是常量
C．l是变量，2，π和r是常量 D．l是变量，r是常量
【答案】B
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：A、是圆周率，应为常量，错误；
B、是周长，是半径，为变量；2和是常量，正确；
C、是半径，应为变量，错误；
D、是半径，应为变量；2和是常数，为常量，错误.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念.在圆的周长公式中，表示周长，表示半径，它们会随着圆的改变而取不同的值，因此是变量；2和不随圆的改变而改变，因此是常量.
5．下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（　　）.
A．正方形的面积S（m2）与边长a（m）之间的关系
B．等腰三角形的周长为10cm，底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的关系
C．小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间t（s）与速度v（m/s）之间的关系
D．铅笔每支2元，购买铅笔的总价y（元）与购买的数量n（支）之间的关系
【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、依题意，自变量指数为2，不符合正比例函数定义，错误；
B、依题意，是一次函数，但常数项不为0，不是正比例函数，错误；
C、依题意，是反比例函数，错误；
D、依题意，符合正比例函数定义，正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查正比例函数的定义.正比例函数的一般形式为，根据选项内容逐个写出变量的关系式，依照定义判断.
6．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（　　）
A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：已知三角形沙田的三条边分别为5里，12里，13里．，
．
这个三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里为两条直角边．
沙田的面积为（平方里）．
故答案为：A．
【分析】由勾股定理的逆定理，得三角形是直角三角形，直角三角形沙田的面积 ．
7．如图，点O是△ABC边AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD=BO，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB=BC B．∠ABC=90° C．∠ABD=∠ACD D．OB=OC
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵点O是△ABC边AC的中点
∴AO=OC
∵OD=BO
∴四边形ABCD是平行四边形
A、当AB=BC时，是菱形，不符合题意；
B、当∠ABC=90°时，是矩形，符合题意；
C、由四边形ABCD是平行四边形，所以，所以，添加条件，可得，所以OD=OC，所以AC=BD，可证是矩形，符合题意；
D、由OB=OC，得AC=BD，可证是矩形，符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题考查矩形的判定.由已知条件可先判定四边形ABCD是平行四边形；选项A可根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定是菱形；选项B可由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”直接判定；选项C结合平行线的性质与“等角对等边”推出对角线AC=BD，根据“对角线相等的四边形是平行四边形”判定矩形；选项D与选项C判定方法相同.
8．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥-2且 B．x≤2且
C．x≤2 D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵
∴，
解得：且
故答案为：A.
【分析】本题主要考查函数自变量的取值范围，需要同时满足二次根式有意义的条件和分母不为零的条件，即被开方数，分式分母不为零，解出x即可.
9．一次函数y＝mx＋n与y＝mnx(mn≠0)，在同一平面直角坐标系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、由图知y=mnx过2，4象限，mn<0，m，n异号，而y=mx+n图象m，n同号，A不符合题意.
B、由图知y=mnx过1，3象限，mn>0， m，n同号，而y=mx+n图象中m，n异号，B不符合题意.
C、由图知y=mnx过2，4象限，mn＜0， m，n异号，而y=mx+n图象中m，n异号C符合题意.
D、由图知y=mnx过1，3象限，mn>0， m，n同号，而y=mx+n图象中m，n异号.D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据A的图像得到mn<0，m，n异号，而y=mx+n的图象中m，n同号，得到A不符合题意；由B的图像得到mn>0， m，n同号，而y=mx+n的图象中m，n异号，得到B不符合题意；由C的图像得到mn＜0，m，n异号，y=mx+n图象中m，n异号得到C符合题意；由D的图像得到与B相同不符合题意.
10．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为7cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；蚂蚁爬行模型；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：将圆柱形容器展开可得到如图所示矩形CDEF，根据题意CD=7cm，DE=10cm，BG=DH=5cm，DG=BH=3cm，AC=2cm.
以直线CF为对称轴，作点A的对称点A'，连接A'B交CF于点K，连接AK，KB，AK+KB即为蚂蚁爬行的最短路径.
由对称性质得：AK=A'K，A'C=AC=2cm
∴AK+KB=A'K+KB=A'B
∵CD=7cm，DG=3cm
∴CG=4cm
∴A'G=A'C+CG=2+4=6cm
在中
故答案为：D.
【分析】本题解题关键是将立体几何问题转化为平面几何问题，考查“将军饮马”模型，利用“两点之间线段最短”和勾股定理求解.首先需将圆柱体展开为矩形，找到蚂蚁A及饭粒B的对应点，由于蚂蚁在外侧，饭粒在里侧，因此利用轴对称将蚂蚁爬行路径变为直线；最后结合勾股定理计算求解.
11．小红用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一条边长为16m，则它的邻边长为　 　m.
【答案】9
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：依题意
故答案为：9.
【分析】本题考查平行四边形对应边相等的性质及周长的应用.平行四边形对边相等，因此周长等于两邻边之和的2倍，两邻边和为，其中一边为16m，所以它的邻边长为9m.
12．如图，在正方形ABCD中，点P，Q分别为CD、AD边上的点，且AQ=DP，连接BQ、AP.则∠BEP为　 　度．
【答案】90
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=∠D=90°
∵AQ=DP
∴△BAQ≌△ADP（SAS）
∴∠ABQ=∠DAP
∵∠ABQ+∠AQB=90°
∴∠DAP+∠AQB=90°
∴∠AEQ=90°
∴∠BEP=∠AEQ=90°
故答案为：90.
【分析】本题考查正方形的性质及三角形的全等及性质.先根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=∠D=90°，结合已知条件证全等；得到对应角相等∠ABQ=∠DAP，由于∠ABQ+∠AQB=90°，等量代换得到∠DAP+∠AQB=90°，利用三角形内角和得到∠BEP=∠AEQ=90°.
13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=6，BC=8，则CD的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：在中，AC=6，BC=8
∴
∵
∴
故答案为：.
【分析】本题考查勾股定理与三角形面积.先利用勾股定理计算AB的长，再结合等面积法计算出CD的长即可.
14．按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是5，则输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是　 　．
【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意得，，解得；
若，当输出的值是时，则，解得（舍去）；
若，当输出的值是时，则，解得；
综上所述，，
故答案为：．
【分析】将x=5，y=3代入y=x-2b可得b值，分情况讨论：若，若，根据程序框图建立方程，解方程即可求出答案.
15．在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2k g时，弹簧长13.5cm ，当所挂物体的质量为5kg 时，弹簧的长度为　 　cm.
【答案】15
【知识点】函数值；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设 y 与x 之间的函数关系式为 y=kx+12.5(k≠0).
∵当x=2时，y=13.5，
∴13.5=2k+12.5，得k=0.5，
∴y=0.5x+12.5，
∴当x=5时，y=0.5×5+12.5=15.
故答案为：15.
【分析】利用待定系数法求出一次函数表达式，再根据题意求函数值即可.
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx-3k（k>0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OB=OA，点C的坐标为（-1，0）.点D在x轴上，连接BD，使∠ABD=∠CBO，则点D的坐标为　 　．
【答案】（6，0）或
【知识点】三角形全等及其性质；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型；角平分线构造全等模型；分类讨论
【解析】【解答】解：当x=时，y=-3k，当y=0时，x=3
∴OA=3，OB=3k
∵OA=OB
∴k=1
∴y=x-3
∴，
设直线BC的解析式为y=ax-3
将代入得0=-a-3，解得a=-3
∴直线BC的解析式为y=-3x-3
当点D在点A左侧时，
∵∠ABD=∠CBO，∠OBA=45°
∴∠CBD=45°
过点D作DE⊥BD交直线BC于点E，过点D作GF⊥x轴，过点B作BF⊥GF交于F，过点E作EG⊥GF交于G，则△BDE是等腰直角三角形，
∴∠GDE+∠BDF=90°
∵∠GDE+∠DEG=90°
∴∠BDF=∠DEG
∵DE=BD，∠G=∠F=90°
∴
∴GD=BF，EG=DF=3，
设，则
∵点E在直线BC上
∴
解得
∴
当点D在点A右侧时，
在BD'上找一点N，使BN=BD
∵∠ABD=∠ABD'，AB=AB
∴
∴∠BAD=∠BAN，AD=AN
∵∠OAB=45°
∴∠OAN=90°
∴
∴
∴直线BN的解析式为
当y=0时，x=6
∴
综上所述，D点坐标为或
故答案为：或.
【分析】根据已知条件求出直线AB的解析式与直线BC的解析式，并且求出∠OAB=∠OBA=90°；分情况讨论点D的位置情况：①当点D在点A左侧时，设出点D的坐标（m，0），构造“一线三垂直”模型，利用全等的性质将点E的坐标用m表示，代入直线BC的解析式即可求出m；②当点D在点A右侧时，结合角平分线构造全等三角形，利用全等的性质得出点N的坐标，求出直线BN的解析式，求出它与x轴交点即可.
17． 已知△ABC中， ∠C=90°， a， b为直角边， c为斜边.
（1） 若a=1， b=2. 求c；
（2）若a=4， c=5. 求b.
【答案】（1）解：∵为直角边，为斜边，，
∴；
（2）解：∵为直角边，为斜边，，
∴．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（）利用勾股定理直接计算即可；
（）利用勾股定理直接计算即可.
18．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若AB=8，BC=6，求EC的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=8，BC=6，
∴AB∥DC，AD=BC=6，DC=AB=8，
∴∠AED=∠EAB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD=∠EAB，
∴∠AED=∠EAD，
∴DE=AD=6，
∴EC=DC-DE=8-6=2，
∴EC的长为2．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定.利用平行四边形的性质“对边平行且相等”得到，；由平行得到内错角相等，结合角平分线的定义推出，根据“等角对等边”得到，最后EC由线段作差即可求得.
19．请根据函数相关知识，对函数y=2|x-3|-1的图像与性质进行探究，并解决相关问题．
①列表；②描点；③连线．
x … 0 1 2 3 4 5 6 7 …
y … 5 m 1 -1 1 3 n 7 …
（1）表格中：m=　 　，n=　 　．
（2）在直角坐标系中画出该函数图象．
（3）观察图象：
①根据函数图象可得，该函数的最小值是；
②观察函数y=2|x-3|-1的图像，写出该图像的一条性质．
【答案】（1）3；5
（2）解：如图函数图象即为所求作：
（3）解：①根据函数图象可得，函数的最小值是-1；
②观察函数的图象，该图像的性质有：关于直线x=3对称，即对称轴为x=3；当x<3时，函数值随自变量的增大而减小；当x>3时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）．
【知识点】函数值；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）当x=1时，；当x=6时，，
故答案为：3；5.
【分析】本题考查用描点法画函数图象、函数值的计算及从函数图象中获取信息.
（1）将x=1代入解析式求出m；将x=6代入解析式求出n；
（2）描点法画出函数图象：列表、描点、连线，将表格中对应x，y的点在平面直角坐标系描出，连接；
（3）①观察图像，在x=3处有最低点，对应函数值最小；②可以从图像的对称性，增减性等方面写出一条即可.
20．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点（1，0）和（0，2）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若点P（m，n）在该一次函数图象上，当-2【答案】（1）解：设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）
∵一次函数的图象经过（1，0）和（0，2）
解得：
∴一次函数解析式为y=-2x+2
（2）解：由（1）得：k=-2<0，
∴一次函数的图象y随x的增大而减小，
∵点P（m，n）在该一次函数图象上，
∴当m=-2时，
当m=3时，n=-2×3+2=-4，
∴当-2【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式.将两点坐标代入解析式得到二元一次方程组，求解即可；
（2）利用一次函数的增减性求函数值的取值范围.该函数图象解析式中k=-2<0，y随x的增大而减小.当m取最小值时，n有最大值；当m取最大值时，n有最小值，结合m的取值范围，得到n的取值范围.
21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将沿BD折叠，使点C落在边AB的C'点．
（1）求DC'的长度；
（2）求△ABD的面积．
【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，
设DC'=xcm，由折叠可得，∠BC'D=∠C=90°，BC'=BC=6cm，DC=DC'=xcm，
∴∠AC'D=90°，AC'=AB-BC'=10-6=4cm，AD=AC-DC=8-x，
在Rt△AC'D中，可有
即解得x=3，
故DC'的长度为3cm
（2）解：结合（1），可知DC'=3cm，AB=10cm，∠BC'D=90°，
故△ABD的面积为15cm2．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】本题主要结合三角形折叠考查勾股定理.
（1）利用勾股定理求出AB，根据翻折的性质，得到三角形ADC'是直角三角形，结合方程思想，设DC'=x，表示出AD=8-x，在Rt△ADC'中利用勾股定理列出方程，求解即可；
（2）由折叠知C'D⊥AB，以AB为底，C'D为高求△ABD的面积，根据三角形面积公式代入数值计算即可.
22．如图，在 ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E.延长BC至F，使CF=CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若BE=EF，EC=4，求△DCF的面积．
【答案】（1）证明：∵E为对角线AC上的中点，且BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴BA=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形
（2）解：如图：
∵EB=EF，CE=CF=4，
∴∠3=∠2=∠1，
设∠3=∠2=∠1=α
∴∠4=∠1+∠2=2α，
∵BE⊥AC，
∴∠3+∠4=90°，
∴α+2α=90°，
解得：α=30°
∴∠4=60°，
∵BE⊥AC，
∴BC=2CE=2×4=8，
又∵BC=BA，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，CD=BC=8，
∴∠FCG=∠ABC，∠ECG=∠BAC，
∴∠FCG=∠ECG，
∵CF=CE=4，
∴CG⊥EF，
∵∠2=30°，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由已知条件判断BE垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”得到BA=BC，再有“有一组邻边相等的四边形是菱形”即可证明；
（2）本小题综合考查菱形的性质、等腰三角形的性质与勾股定理的应用.先利用“等边对等角”得到角关系，结合外角性质与三角形内角和计算出角的度数，从而得到△ABC为等边三角形；结合菱形的性质转换角得到∠FCG=∠ECG，利用等腰三角形“三线合一”推出CG⊥EF，通过勾股定理计算GF，那么△DCF的面积即为以CD为底、GF为高进行计算即可.
23．某公司准备购置一辆车用于运输业务，现有两种选择：传统燃油（汽油）车和氢能源车．一辆传统燃油车的购买成本是15万元，每千米的燃油费用为0.8元；一辆氢能源车的购买成本比一辆传统燃油车的购买成本高10万元，每千米的氢气费用为0.3元．设车辆行驶的总路程为x万千米，传统燃油车的总费用为y1万元，氢能源车的总费用为y2万元．
（1）请分别写出y1，y2关于x的函数解析式．
（2）若公司购车及运营总预算不超过30万元，在不考虑其他因素的情况下，分别计算两种车辆最多能行驶多少万千米？在预算范围内，你认为购买哪种车更合算？
（3）请你在平面直角坐标系中，分别画出（1）中的两个函数图象，从图象和计算两个角度说明：车辆行驶的总路程达到50万千米时，购买哪种车更合算？
【答案】（1）解：由题意可得，
（2）解：令即0.8x+15≤30，
解得x≤18.75.即传统燃油车最多能行驶18.75万千米，
令即0.3x+25≤30，
解得x≤16.7.
因为18.75>16.7，氢能源车最多能行驶16.7万千米，
即在预算范围内，传统燃油车行驶的总路程更长，所以选择传统燃油车．
（3）解：图象如图，
车辆行驶的总路程达到50万千米时，
由图像可知，当行驶总路程为50万千米时，即55＞40，氢能源车的总费用明显低于传统燃油车，所以选择购买氢能源车．
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查一次函数在实际问题中的应用.
（1）传统燃油车的购买成本为15万元，每千米燃油费用0.8元，行驶x万千米的费用为0.8x万元，因此总费用；氢能源车的购买成本比传统燃油车高10万元，即25万元，每千米氢气费用0.3元，因此；
（2）总预算不超过30万元，即，分别计算两种类型的车最多可以行驶的距离，比较得出在相同预算内，传统燃油车行驶的总路程更长，所以选择传统燃油车；
（3）首先利用两点法画出两个一次函数图象；从计算的角度，当x=50时，计算，得到费用更低；从函数图象看，当x较大时，氢能源车的图象位于传统燃油车图象的下方，说明其费用更低，综上即可得出结论：选择购买氢能源车.
24．宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．现有一张矩形纸片ABCD，宽AB=2.如图1，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展开得黄金矩形CDEF（DE（1）求证：四边形ABFE是正方形；
（2）求AD的长；
（3）如图2，点G为AE的中点，连接FG，折叠纸片ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，过点P作PQ⊥EF于点Q.四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）证明：由折叠的性质可得，AB=AE，BF=EF，∠BAF=∠EAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∴∠EAF=∠BFA，
∴∠BFA=∠BAF，
∴AB=BF=EF=AE，
∴四边形ABFE是菱形，
又∵∠B=90°，
∴四边形ABFE是正方形
（2）解：∵四边形ABFE是正方形，
∴AB=EF=AE=BF=2，
∵矩形CDEF是黄金矩形，
（3）解：四边形BFQP是黄金矩形，证明如下：
如图，连接PG，设PB=x，
由折叠的性质可得，PH=PB=x，BF=HF=2，∠FHP=∠B=90°，
∴PA=AB-PB=2-x，∠PHG=180°-∠FHP=90°，
∵点G为AE的中点，
在Rt△EFG中，
在Rt△PHG中，
在Rt△APG中，
解得
∵四边形ABFE是正方形，
∴∠B=∠BFE=90°，
∵PQ⊥EF，
∴四边形BFQP是矩形，
∴四边形BFQP是黄金矩形．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；黄金分割
【解析】【分析】（1）本小题考查折叠的性质、矩形的性质及正方形的判定.根据折叠得到对应角、对应边相等，再由矩形的性质得到AD∥BC，∠B=90°，利用“两直线平行，内错角相等”得到∠EAF=∠BFA，等量代换得∠BFA=∠BAF，根据“等角对等边”得出AB=BF=EF=AE，先判定菱形，再由一个角是90°判定正方形；
（2）本小题考查正方形性质.由（1）知四边形ABFE是正方形，结合已知得到EF=2，再由黄金矩形定义得矩形CDEF得宽与长的比，即可求出DE的长，最后计算线段和即可；
（3）本小题主要考查折叠的性质、勾股定理的应用、矩形的判定及性质.由折叠的性质得到对应线段、对应角相等，根据已知条件，结合勾股定理计算FG的长；设PB=x，结合图形找到等量关系，在两个直角三角形中应用勾股定理列出方程，求出x；再判定四边形BFQP是矩形，计算宽与长的比即可进行判断四边形BFQP是黄金矩形.
25．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A（7，0），点动点P从点O出发向点A匀速运动，同时动点Q从点A向点B匀速运动，速度均为每秒1个单位.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒（t>0）．
（1）求点B的坐标；
（2）当t为何值时，的面积是平行四边形OABC面积的一半；
（3）求PC+CQ的最小值．
【答案】（1）解：∵四边形OABC是平行四边形，A（7，0），
∴CB=OA=7，
∴点B的坐标为．
（2）解：如图，过点Q作QT⊥x轴于点T，延长TQ交CB于点E，过点C作CF⊥OA于点F，过点B作BK⊥x轴于点K，取AB的中点R，连接KR，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴CB∥OA，AB=OC=4，
∴QE⊥BC，
∵A（7，0），B（9，2），
∴AK=2，
∵BK⊥x轴，R是AB的中点，
∴KR=AR=AK，
∴△AKR是等边三角形，
∴∠RAK=60°，
由（1）可得CB=OA=7，
由题意得，OP=t，AP=OA-OP=7-t，AQ=t，
∵QT⊥x轴，
∴∠QTA=90°，
整理得，
：.t（t-4）=0，
∵t>0，
∴t-4=0，即t=4，
∵OA=7，AB=4，
∴由题意得，0∴t=4，符合题意，
∴当t=4时，△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半．
（3）解：∵点
∴
在点A右侧取一点M，使AM=OC=4，连接QM，CM，如图所示
∵四边形OABC是平行四边形
∴
∴∠1=∠2
∵OC=AM，OP=AQ
∴
∴CP=MQ
∴PC+CQ=MQ+CQ，当点C，Q ，M 共线时MQ+CQ取得最小值
∴
即PC+CQ最小值为.
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）已知平行四边形OABC，点，点，由平行四边形对边平行且相等，得CB=OA=7，即点B的横坐标为2+7=9，纵坐标与点C相同，即得到点B的坐标；
（2）通过“割补法”求面积，将 的面积转化为、与的面积和.用含t的式子分别表示出这三个三角形的面积.作出辅助线，结合平行四边形的性质与直角三角形斜边上的中线是斜边的一半推出△AKR是等边三角形；进而得到特殊角，结合勾股定理得到底边AP边上的高，进而得到底边BC边上的高，与底边OP边上的高，列出等式，解得t=4，并验证t是否符合题意；
（3）结合平行四边形性质构造全等三角形，将线段PC与CQ的和转化为PC与MQ的和（即化折为直），根据三角形三边关系可判断MQ+CQ≥CM，当点C，Q ，M 共线时取等，再由勾股定理计算CM即可.
1 / 1广东广州市增城区2025-2026学年八年级下学期数学期中质量检测试卷
1．劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（　　）.
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，平行四边形ABCD中，∠A=142°，则∠D的度数是（　　）
A．28° B．38° C．120° D．142°
3．镜，古称“鉴”，如图，是六边形镜及其抽象出的正六边形ABCDEF，则∠A的度数为（　　）
A．45° B．60° C．67.5° D．120°
4．在圆的周长公式l=2πr中，下列关于变量、常量的说法正确的是（　　）
A．π、r、l均是变量，2是常量 B．l和r是变量，2和π是常量
C．l是变量，2，π和r是常量 D．l是变量，r是常量
5．下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（　　）.
A．正方形的面积S（m2）与边长a（m）之间的关系
B．等腰三角形的周长为10cm，底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的关系
C．小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间t（s）与速度v（m/s）之间的关系
D．铅笔每支2元，购买铅笔的总价y（元）与购买的数量n（支）之间的关系
6．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（　　）
A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里
7．如图，点O是△ABC边AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD=BO，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB=BC B．∠ABC=90° C．∠ABD=∠ACD D．OB=OC
8．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥-2且 B．x≤2且
C．x≤2 D．
9．一次函数y＝mx＋n与y＝mnx(mn≠0)，在同一平面直角坐标系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为7cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　）
A． B． C． D．
11．小红用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一条边长为16m，则它的邻边长为　 　m.
12．如图，在正方形ABCD中，点P，Q分别为CD、AD边上的点，且AQ=DP，连接BQ、AP.则∠BEP为　 　度．
13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=6，BC=8，则CD的长为　 　．
14．按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是5，则输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是　 　．
15．在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2k g时，弹簧长13.5cm ，当所挂物体的质量为5kg 时，弹簧的长度为　 　cm.
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx-3k（k>0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OB=OA，点C的坐标为（-1，0）.点D在x轴上，连接BD，使∠ABD=∠CBO，则点D的坐标为　 　．
17． 已知△ABC中， ∠C=90°， a， b为直角边， c为斜边.
（1） 若a=1， b=2. 求c；
（2）若a=4， c=5. 求b.
18．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若AB=8，BC=6，求EC的长．
19．请根据函数相关知识，对函数y=2|x-3|-1的图像与性质进行探究，并解决相关问题．
①列表；②描点；③连线．
x … 0 1 2 3 4 5 6 7 …
y … 5 m 1 -1 1 3 n 7 …
（1）表格中：m=　 　，n=　 　．
（2）在直角坐标系中画出该函数图象．
（3）观察图象：
①根据函数图象可得，该函数的最小值是；
②观察函数y=2|x-3|-1的图像，写出该图像的一条性质．
20．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点（1，0）和（0，2）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若点P（m，n）在该一次函数图象上，当-221．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将沿BD折叠，使点C落在边AB的C'点．
（1）求DC'的长度；
（2）求△ABD的面积．
22．如图，在 ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E.延长BC至F，使CF=CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若BE=EF，EC=4，求△DCF的面积．
23．某公司准备购置一辆车用于运输业务，现有两种选择：传统燃油（汽油）车和氢能源车．一辆传统燃油车的购买成本是15万元，每千米的燃油费用为0.8元；一辆氢能源车的购买成本比一辆传统燃油车的购买成本高10万元，每千米的氢气费用为0.3元．设车辆行驶的总路程为x万千米，传统燃油车的总费用为y1万元，氢能源车的总费用为y2万元．
（1）请分别写出y1，y2关于x的函数解析式．
（2）若公司购车及运营总预算不超过30万元，在不考虑其他因素的情况下，分别计算两种车辆最多能行驶多少万千米？在预算范围内，你认为购买哪种车更合算？
（3）请你在平面直角坐标系中，分别画出（1）中的两个函数图象，从图象和计算两个角度说明：车辆行驶的总路程达到50万千米时，购买哪种车更合算？
24．宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．现有一张矩形纸片ABCD，宽AB=2.如图1，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展开得黄金矩形CDEF（DE（1）求证：四边形ABFE是正方形；
（2）求AD的长；
（3）如图2，点G为AE的中点，连接FG，折叠纸片ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，过点P作PQ⊥EF于点Q.四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
25．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A（7，0），点动点P从点O出发向点A匀速运动，同时动点Q从点A向点B匀速运动，速度均为每秒1个单位.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒（t>0）．
（1）求点B的坐标；
（2）当t为何值时，的面积是平行四边形OABC面积的一半；
（3）求PC+CQ的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：记一个小木棒的长度为“1”，则两个直角边的长度分别为3、4，根据勾股定理，三角形斜边的长度为.
故答案为：C.
【分析】本题考查勾股定理的实际应用.根据题干描述得到3、4是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可计算斜边需要的小木棒数量.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴.
故答案为：B.
【分析】本题考查平行四边形的性质“对边平行”.结合平行线的性质“两直线平行，同旁内互补”，得到，即可求得.
3．【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：六边形内角和为，
∴
故答案为：D.
【分析】本题考查多边形内角和公式：及正多边形性质.先求出六边形内角和720°，再根据正六边形每个内角都相等计算一个角的度数.
4．【答案】B
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：A、是圆周率，应为常量，错误；
B、是周长，是半径，为变量；2和是常量，正确；
C、是半径，应为变量，错误；
D、是半径，应为变量；2和是常数，为常量，错误.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念.在圆的周长公式中，表示周长，表示半径，它们会随着圆的改变而取不同的值，因此是变量；2和不随圆的改变而改变，因此是常量.
5．【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、依题意，自变量指数为2，不符合正比例函数定义，错误；
B、依题意，是一次函数，但常数项不为0，不是正比例函数，错误；
C、依题意，是反比例函数，错误；
D、依题意，符合正比例函数定义，正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查正比例函数的定义.正比例函数的一般形式为，根据选项内容逐个写出变量的关系式，依照定义判断.
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：已知三角形沙田的三条边分别为5里，12里，13里．，
．
这个三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里为两条直角边．
沙田的面积为（平方里）．
故答案为：A．
【分析】由勾股定理的逆定理，得三角形是直角三角形，直角三角形沙田的面积 ．
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵点O是△ABC边AC的中点
∴AO=OC
∵OD=BO
∴四边形ABCD是平行四边形
A、当AB=BC时，是菱形，不符合题意；
B、当∠ABC=90°时，是矩形，符合题意；
C、由四边形ABCD是平行四边形，所以，所以，添加条件，可得，所以OD=OC，所以AC=BD，可证是矩形，符合题意；
D、由OB=OC，得AC=BD，可证是矩形，符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题考查矩形的判定.由已知条件可先判定四边形ABCD是平行四边形；选项A可根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定是菱形；选项B可由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”直接判定；选项C结合平行线的性质与“等角对等边”推出对角线AC=BD，根据“对角线相等的四边形是平行四边形”判定矩形；选项D与选项C判定方法相同.
8．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵
∴，
解得：且
故答案为：A.
【分析】本题主要考查函数自变量的取值范围，需要同时满足二次根式有意义的条件和分母不为零的条件，即被开方数，分式分母不为零，解出x即可.
9．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、由图知y=mnx过2，4象限，mn<0，m，n异号，而y=mx+n图象m，n同号，A不符合题意.
B、由图知y=mnx过1，3象限，mn>0， m，n同号，而y=mx+n图象中m，n异号，B不符合题意.
C、由图知y=mnx过2，4象限，mn＜0， m，n异号，而y=mx+n图象中m，n异号C符合题意.
D、由图知y=mnx过1，3象限，mn>0， m，n同号，而y=mx+n图象中m，n异号.D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据A的图像得到mn<0，m，n异号，而y=mx+n的图象中m，n同号，得到A不符合题意；由B的图像得到mn>0， m，n同号，而y=mx+n的图象中m，n异号，得到B不符合题意；由C的图像得到mn＜0，m，n异号，y=mx+n图象中m，n异号得到C符合题意；由D的图像得到与B相同不符合题意.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；蚂蚁爬行模型；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：将圆柱形容器展开可得到如图所示矩形CDEF，根据题意CD=7cm，DE=10cm，BG=DH=5cm，DG=BH=3cm，AC=2cm.
以直线CF为对称轴，作点A的对称点A'，连接A'B交CF于点K，连接AK，KB，AK+KB即为蚂蚁爬行的最短路径.
由对称性质得：AK=A'K，A'C=AC=2cm
∴AK+KB=A'K+KB=A'B
∵CD=7cm，DG=3cm
∴CG=4cm
∴A'G=A'C+CG=2+4=6cm
在中
故答案为：D.
【分析】本题解题关键是将立体几何问题转化为平面几何问题，考查“将军饮马”模型，利用“两点之间线段最短”和勾股定理求解.首先需将圆柱体展开为矩形，找到蚂蚁A及饭粒B的对应点，由于蚂蚁在外侧，饭粒在里侧，因此利用轴对称将蚂蚁爬行路径变为直线；最后结合勾股定理计算求解.
11．【答案】9
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：依题意
故答案为：9.
【分析】本题考查平行四边形对应边相等的性质及周长的应用.平行四边形对边相等，因此周长等于两邻边之和的2倍，两邻边和为，其中一边为16m，所以它的邻边长为9m.
12．【答案】90
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=∠D=90°
∵AQ=DP
∴△BAQ≌△ADP（SAS）
∴∠ABQ=∠DAP
∵∠ABQ+∠AQB=90°
∴∠DAP+∠AQB=90°
∴∠AEQ=90°
∴∠BEP=∠AEQ=90°
故答案为：90.
【分析】本题考查正方形的性质及三角形的全等及性质.先根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=∠D=90°，结合已知条件证全等；得到对应角相等∠ABQ=∠DAP，由于∠ABQ+∠AQB=90°，等量代换得到∠DAP+∠AQB=90°，利用三角形内角和得到∠BEP=∠AEQ=90°.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：在中，AC=6，BC=8
∴
∵
∴
故答案为：.
【分析】本题考查勾股定理与三角形面积.先利用勾股定理计算AB的长，再结合等面积法计算出CD的长即可.
14．【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意得，，解得；
若，当输出的值是时，则，解得（舍去）；
若，当输出的值是时，则，解得；
综上所述，，
故答案为：．
【分析】将x=5，y=3代入y=x-2b可得b值，分情况讨论：若，若，根据程序框图建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】15
【知识点】函数值；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设 y 与x 之间的函数关系式为 y=kx+12.5(k≠0).
∵当x=2时，y=13.5，
∴13.5=2k+12.5，得k=0.5，
∴y=0.5x+12.5，
∴当x=5时，y=0.5×5+12.5=15.
故答案为：15.
【分析】利用待定系数法求出一次函数表达式，再根据题意求函数值即可.
16．【答案】（6，0）或
【知识点】三角形全等及其性质；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型；角平分线构造全等模型；分类讨论
【解析】【解答】解：当x=时，y=-3k，当y=0时，x=3
∴OA=3，OB=3k
∵OA=OB
∴k=1
∴y=x-3
∴，
设直线BC的解析式为y=ax-3
将代入得0=-a-3，解得a=-3
∴直线BC的解析式为y=-3x-3
当点D在点A左侧时，
∵∠ABD=∠CBO，∠OBA=45°
∴∠CBD=45°
过点D作DE⊥BD交直线BC于点E，过点D作GF⊥x轴，过点B作BF⊥GF交于F，过点E作EG⊥GF交于G，则△BDE是等腰直角三角形，
∴∠GDE+∠BDF=90°
∵∠GDE+∠DEG=90°
∴∠BDF=∠DEG
∵DE=BD，∠G=∠F=90°
∴
∴GD=BF，EG=DF=3，
设，则
∵点E在直线BC上
∴
解得
∴
当点D在点A右侧时，
在BD'上找一点N，使BN=BD
∵∠ABD=∠ABD'，AB=AB
∴
∴∠BAD=∠BAN，AD=AN
∵∠OAB=45°
∴∠OAN=90°
∴
∴
∴直线BN的解析式为
当y=0时，x=6
∴
综上所述，D点坐标为或
故答案为：或.
【分析】根据已知条件求出直线AB的解析式与直线BC的解析式，并且求出∠OAB=∠OBA=90°；分情况讨论点D的位置情况：①当点D在点A左侧时，设出点D的坐标（m，0），构造“一线三垂直”模型，利用全等的性质将点E的坐标用m表示，代入直线BC的解析式即可求出m；②当点D在点A右侧时，结合角平分线构造全等三角形，利用全等的性质得出点N的坐标，求出直线BN的解析式，求出它与x轴交点即可.
17．【答案】（1）解：∵为直角边，为斜边，，
∴；
（2）解：∵为直角边，为斜边，，
∴．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（）利用勾股定理直接计算即可；
（）利用勾股定理直接计算即可.
18．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=8，BC=6，
∴AB∥DC，AD=BC=6，DC=AB=8，
∴∠AED=∠EAB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD=∠EAB，
∴∠AED=∠EAD，
∴DE=AD=6，
∴EC=DC-DE=8-6=2，
∴EC的长为2．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定.利用平行四边形的性质“对边平行且相等”得到，；由平行得到内错角相等，结合角平分线的定义推出，根据“等角对等边”得到，最后EC由线段作差即可求得.
19．【答案】（1）3；5
（2）解：如图函数图象即为所求作：
（3）解：①根据函数图象可得，函数的最小值是-1；
②观察函数的图象，该图像的性质有：关于直线x=3对称，即对称轴为x=3；当x<3时，函数值随自变量的增大而减小；当x>3时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）．
【知识点】函数值；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）当x=1时，；当x=6时，，
故答案为：3；5.
【分析】本题考查用描点法画函数图象、函数值的计算及从函数图象中获取信息.
（1）将x=1代入解析式求出m；将x=6代入解析式求出n；
（2）描点法画出函数图象：列表、描点、连线，将表格中对应x，y的点在平面直角坐标系描出，连接；
（3）①观察图像，在x=3处有最低点，对应函数值最小；②可以从图像的对称性，增减性等方面写出一条即可.
20．【答案】（1）解：设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）
∵一次函数的图象经过（1，0）和（0，2）
解得：
∴一次函数解析式为y=-2x+2
（2）解：由（1）得：k=-2<0，
∴一次函数的图象y随x的增大而减小，
∵点P（m，n）在该一次函数图象上，
∴当m=-2时，
当m=3时，n=-2×3+2=-4，
∴当-2【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式.将两点坐标代入解析式得到二元一次方程组，求解即可；
（2）利用一次函数的增减性求函数值的取值范围.该函数图象解析式中k=-2<0，y随x的增大而减小.当m取最小值时，n有最大值；当m取最大值时，n有最小值，结合m的取值范围，得到n的取值范围.
21．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，
设DC'=xcm，由折叠可得，∠BC'D=∠C=90°，BC'=BC=6cm，DC=DC'=xcm，
∴∠AC'D=90°，AC'=AB-BC'=10-6=4cm，AD=AC-DC=8-x，
在Rt△AC'D中，可有
即解得x=3，
故DC'的长度为3cm
（2）解：结合（1），可知DC'=3cm，AB=10cm，∠BC'D=90°，
故△ABD的面积为15cm2．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】本题主要结合三角形折叠考查勾股定理.
（1）利用勾股定理求出AB，根据翻折的性质，得到三角形ADC'是直角三角形，结合方程思想，设DC'=x，表示出AD=8-x，在Rt△ADC'中利用勾股定理列出方程，求解即可；
（2）由折叠知C'D⊥AB，以AB为底，C'D为高求△ABD的面积，根据三角形面积公式代入数值计算即可.
22．【答案】（1）证明：∵E为对角线AC上的中点，且BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴BA=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形
（2）解：如图：
∵EB=EF，CE=CF=4，
∴∠3=∠2=∠1，
设∠3=∠2=∠1=α
∴∠4=∠1+∠2=2α，
∵BE⊥AC，
∴∠3+∠4=90°，
∴α+2α=90°，
解得：α=30°
∴∠4=60°，
∵BE⊥AC，
∴BC=2CE=2×4=8，
又∵BC=BA，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，CD=BC=8，
∴∠FCG=∠ABC，∠ECG=∠BAC，
∴∠FCG=∠ECG，
∵CF=CE=4，
∴CG⊥EF，
∵∠2=30°，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由已知条件判断BE垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”得到BA=BC，再有“有一组邻边相等的四边形是菱形”即可证明；
（2）本小题综合考查菱形的性质、等腰三角形的性质与勾股定理的应用.先利用“等边对等角”得到角关系，结合外角性质与三角形内角和计算出角的度数，从而得到△ABC为等边三角形；结合菱形的性质转换角得到∠FCG=∠ECG，利用等腰三角形“三线合一”推出CG⊥EF，通过勾股定理计算GF，那么△DCF的面积即为以CD为底、GF为高进行计算即可.
23．【答案】（1）解：由题意可得，
（2）解：令即0.8x+15≤30，
解得x≤18.75.即传统燃油车最多能行驶18.75万千米，
令即0.3x+25≤30，
解得x≤16.7.
因为18.75>16.7，氢能源车最多能行驶16.7万千米，
即在预算范围内，传统燃油车行驶的总路程更长，所以选择传统燃油车．
（3）解：图象如图，
车辆行驶的总路程达到50万千米时，
由图像可知，当行驶总路程为50万千米时，即55＞40，氢能源车的总费用明显低于传统燃油车，所以选择购买氢能源车．
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查一次函数在实际问题中的应用.
（1）传统燃油车的购买成本为15万元，每千米燃油费用0.8元，行驶x万千米的费用为0.8x万元，因此总费用；氢能源车的购买成本比传统燃油车高10万元，即25万元，每千米氢气费用0.3元，因此；
（2）总预算不超过30万元，即，分别计算两种类型的车最多可以行驶的距离，比较得出在相同预算内，传统燃油车行驶的总路程更长，所以选择传统燃油车；
（3）首先利用两点法画出两个一次函数图象；从计算的角度，当x=50时，计算，得到费用更低；从函数图象看，当x较大时，氢能源车的图象位于传统燃油车图象的下方，说明其费用更低，综上即可得出结论：选择购买氢能源车.
24．【答案】（1）证明：由折叠的性质可得，AB=AE，BF=EF，∠BAF=∠EAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∴∠EAF=∠BFA，
∴∠BFA=∠BAF，
∴AB=BF=EF=AE，
∴四边形ABFE是菱形，
又∵∠B=90°，
∴四边形ABFE是正方形
（2）解：∵四边形ABFE是正方形，
∴AB=EF=AE=BF=2，
∵矩形CDEF是黄金矩形，
（3）解：四边形BFQP是黄金矩形，证明如下：
如图，连接PG，设PB=x，
由折叠的性质可得，PH=PB=x，BF=HF=2，∠FHP=∠B=90°，
∴PA=AB-PB=2-x，∠PHG=180°-∠FHP=90°，
∵点G为AE的中点，
在Rt△EFG中，
在Rt△PHG中，
在Rt△APG中，
解得
∵四边形ABFE是正方形，
∴∠B=∠BFE=90°，
∵PQ⊥EF，
∴四边形BFQP是矩形，
∴四边形BFQP是黄金矩形．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；黄金分割
【解析】【分析】（1）本小题考查折叠的性质、矩形的性质及正方形的判定.根据折叠得到对应角、对应边相等，再由矩形的性质得到AD∥BC，∠B=90°，利用“两直线平行，内错角相等”得到∠EAF=∠BFA，等量代换得∠BFA=∠BAF，根据“等角对等边”得出AB=BF=EF=AE，先判定菱形，再由一个角是90°判定正方形；
（2）本小题考查正方形性质.由（1）知四边形ABFE是正方形，结合已知得到EF=2，再由黄金矩形定义得矩形CDEF得宽与长的比，即可求出DE的长，最后计算线段和即可；
（3）本小题主要考查折叠的性质、勾股定理的应用、矩形的判定及性质.由折叠的性质得到对应线段、对应角相等，根据已知条件，结合勾股定理计算FG的长；设PB=x，结合图形找到等量关系，在两个直角三角形中应用勾股定理列出方程，求出x；再判定四边形BFQP是矩形，计算宽与长的比即可进行判断四边形BFQP是黄金矩形.
25．【答案】（1）解：∵四边形OABC是平行四边形，A（7，0），
∴CB=OA=7，
∴点B的坐标为．
（2）解：如图，过点Q作QT⊥x轴于点T，延长TQ交CB于点E，过点C作CF⊥OA于点F，过点B作BK⊥x轴于点K，取AB的中点R，连接KR，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴CB∥OA，AB=OC=4，
∴QE⊥BC，
∵A（7，0），B（9，2），
∴AK=2，
∵BK⊥x轴，R是AB的中点，
∴KR=AR=AK，
∴△AKR是等边三角形，
∴∠RAK=60°，
由（1）可得CB=OA=7，
由题意得，OP=t，AP=OA-OP=7-t，AQ=t，
∵QT⊥x轴，
∴∠QTA=90°，
整理得，
：.t（t-4）=0，
∵t>0，
∴t-4=0，即t=4，
∵OA=7，AB=4，
∴由题意得，0∴t=4，符合题意，
∴当t=4时，△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半．
（3）解：∵点
∴
在点A右侧取一点M，使AM=OC=4，连接QM，CM，如图所示
∵四边形OABC是平行四边形
∴
∴∠1=∠2
∵OC=AM，OP=AQ
∴
∴CP=MQ
∴PC+CQ=MQ+CQ，当点C，Q ，M 共线时MQ+CQ取得最小值
∴
即PC+CQ最小值为.
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）已知平行四边形OABC，点，点，由平行四边形对边平行且相等，得CB=OA=7，即点B的横坐标为2+7=9，纵坐标与点C相同，即得到点B的坐标；
（2）通过“割补法”求面积，将 的面积转化为、与的面积和.用含t的式子分别表示出这三个三角形的面积.作出辅助线，结合平行四边形的性质与直角三角形斜边上的中线是斜边的一半推出△AKR是等边三角形；进而得到特殊角，结合勾股定理得到底边AP边上的高，进而得到底边BC边上的高，与底边OP边上的高，列出等式，解得t=4，并验证t是否符合题意；
（3）结合平行四边形性质构造全等三角形，将线段PC与CQ的和转化为PC与MQ的和（即化折为直），根据三角形三边关系可判断MQ+CQ≥CM，当点C，Q ，M 共线时取等，再由勾股定理计算CM即可.
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