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浙江省湖州市吴兴区2026年中考二模考试数学
1．下表记录了桐乡、浦江、富阳、长兴四地的平均海拔（以海拔100米为基准，超过记为正，不足记为负).
桐乡 浦江 富阳 长兴
-94.7米 +206米 +54米 -45米
以上四地中平均海拔最低的是（　　)
A．桐乡 B．浦江 C．富阳 D．长兴
【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 以米为基准，
∴四地实际平均海拔分别为：桐乡： 米，浦江： 米，富阳： 米，长兴： 米．
∴ 比较大小可得 ．
∴ 四地中平均海拔最低的是桐乡．
故答案为：A.
【分析】计算出四地实际平均海拔，然后比较大小解答即可．
2．由5个相同正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图为（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看，可得俯视图如下，
故答案为：C.
【分析】根据从上边看得到的几何图形是俯视图解答即可．
3．小阳所在城市的统计数据显示，2025年社会消费品零售总额达53860000000元.将数53860000000用科学记数法表示为（　　)
A．5.386×10 B．53.86×109
C．0.5386×10 D．5.386×10
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数用科学记数法表示为．
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．如图，已知直线a，b被直线c所截，则下列选项正确的是（　　)
A．若∠1=∠2，则a∥b B．若∠1=∠3，则a∥b
C．若∠1=∠4，则a∥b D．若∠1=∠5，则a∥b
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：若或或，都不能得出；
若，根据“同位角相等，两直线平行”，得到，
选项B符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据平行线的判定定理逐项判断解答即可.
5．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误；
B、，原计算错误；
C、与不是同类项，不能合并，原计算错误；
D、，计算正确，
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项法则逐项判断解答即可.
6．幼儿园老师带着一群小朋友在公园里玩游戏，他们的年龄分别是（单位：岁)：39，5，6， 6， 5， 6， 5， 6， 6， 6，这组数据的众数是（　　)
A．5 B．6 C．9 D．39
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：解：在这组数据中，4出现次，出现次，出现次，6出现的次数最多，则这组数据的众数是．
故答案为：B.
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此解答即可．
7． 明代《九章算法比类大全》记载：“今有甲乙二匠造屋，共得钱五百文。甲匠日得三十文，乙匠日得二十文。甲、乙先后作工，凡二十二日而毕。问甲乙各作几日 ”其大意是：“现有甲、乙两位工匠合作建房，总共获得工钱500文。甲匠每日工钱是30文，乙匠每日工钱是20文。两人先后做工，共用22天完成。问甲、乙各做工多少天 ”设甲匠做工x天，乙匠做工y天，根据题意，可列方程组为（　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲匠做工天，乙匠做工天，题目说明两人做工总用时为天，
∴可得第一个方程：．
又∵总工钱共文，甲每日工钱文，乙每日工钱文，
∴甲总工钱为，乙总工钱为，总工钱和为，可得第二个方程： ．
∴．
故答案为：D.
【分析】设甲匠做工天，乙匠做工天，根据题意列方程组解答即可．
8． 如图，DE是△ABC的中位线，以点D为圆心，DE的长为半径作弧交边BC于点 F.若AC=6， ∠C=70°，则扇形EDF的面积为（　　)
A． B． C．π D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；扇形面积的计算；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是的中位线，，
，且，
，
，
，
，
扇形的面积为．
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中位线求出的长度和，然后根据等边对等角和三角形的内角和求出，利用扇形面积公式计算即可．
9． 定义：函数y1的图象上存在点 P，函数y2的图象上存在点Q，且点 P，Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“镜像关系”，点P，Q的纵坐标为函数y1和y2“镜像值”.关于函数 和 有两个结论：①函数y1与y2具有“镜像关系”；②函数y1与y2的“镜像值”有且仅有一个，则（　　)
A．①②都错 B．①②都对 C．①错②对 D．①对②错
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设函数图象上点的坐标为，
∵，关于轴对称，在图象上，
∴点坐标为 ，且，
∵在上，
∴，
∵在上，
∴，
若和具有“镜像关系”，则存在使得，
即：，
整理得：，
解得，，方程有两个不相等的实根，说明存在符合条件的点，故结论①正确；
当时， ，
当时， ，则“镜像值”共两个，故结论②错误．
故答案为：D.
【分析】根据“镜像关系”的定义，设点P，Q的坐标，然后分别代入两解析式，解方程组求出两点的坐标，然后逐一判断解答即可．
10． 如图，已知∠BAC=α（0°<α<180°)， AB=m， AC=n，（m， n都是常数).过A，B，C三点的圆与∠BAC的平分线交于点 D，连结CD.当α变化时，下列代数式的值不变的是（　　)
A．AD-CD B． C．AD+CD D．AD·CD
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如下图，在上取点，使得，过点作于点，
则，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∵，都是常数，
∴为常数，即的值不变，选项B符合题意；
当变化时，的长度均发生变化，故，，的值均变化，选项A、C、D不符合题意．
故答案为：.
【分析】在上取点，使得，过点作于点，根据SAS得到，即可得到，进而可得为等腰三角形，根据三线合一可得，即；设，在和中，根据勾股定理可得，然后逐项判断解答即可．
11．若分式 有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≠3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，要使分式有意义，必须使x-3≠0，
解得：x≠3
故答案为：x≠3.
【分析】根据分式的分母不为0解答即可.
12． 现有桐乡濮院古镇、浦江仙华山、富阳龙门古镇、长兴仙山湖四个旅游目的地，若从中随机挑选一个出行，则选中浦江仙华山的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，随机挑选一个旅游目的地，共有种等可能的结果，选中浦江仙华山的结果有种，则选中浦江仙华山的概率为．
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可.
13．如图， AB是⊙O的直径， BC与⊙O相切于点 B，连结AC交⊙O于点 D.若∠C=55°，则∠ABD的度数为　 　.
【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：与相切于点，且为直径，
，
，
．
是的直径，
，
．
故答案为：55°.
【分析】根据切线的性质直径所对的圆周角是直角求出然后根据三角形的内角和定理解答即可.
14．已知a-3b=2，则7+2a-6b=　 　.
【答案】11
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
故答案为：11.
【分析】先将所求代数式变形为，然后整体代入计算即可．
15．如图，在△ABC中， BD⊥AC于点D，点E在边 BC上，且AE=AB， ∠CAE=∠ABD，过点E作EF⊥AC于点 F.已知CF=3，则AD=　 　.
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如下图，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3.
【分析】先根据AAS得到，即可得到，进而可得；根据等边对等角得到，即；然后根据垂直得到，即可得到，根据平角的定义求出，即可得到EF=CF，解答即可．
16．如图1，点G是△ABC的重心，动点 H从点A 出发，沿A→B→C的方向运动直至回到点A停止，设点H运动的路程为x，GH2为y，y关于x的部分图象如图2所示，则AB=　 　，函数y的最小值为　 　.
【答案】5；
【知识点】勾股定理的逆定理；动点问题的函数图象；三角形的重心及应用；三角形-动点问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：动点从出发，
当时，与重合，
此时，
得；
当运动到点时，路程，
由图2可知，此时，，
得，
由，
得，
故是直角三角形，，
面积．
如图，分别连接并延长，交边于点P，交边于点Q，交边于点R，
则P，Q，R分别为边的中点，
∴，
∴；
又，
∴，
∴．
∴重心将原三角形分为3个面积相等的小三角形．
因此．
为方便解析，将以点G为中心旋转适当角度，再以点G为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
则，
设中点为点D，连接，则，
∵点G为的重心，
∴过点G，，
由位似性质得，，
∴，，
∴，
∵，，的面积都为6，
∴点G到边的距离最小，
过点G作于点E，
则，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：5；.
【分析】根据函数图象中时的y值，求出=4，再根据时点H和点B重合，确定=3，=5，根据勾股定理的逆定理得到∠AGB=90°，以点G为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，设中点为点D，连接，根据中点坐标公式得到点D的坐标，再根据得到点C的坐标，利用两点间距离公式求出，，得点G到边的距离最小，过点G作于点E，根据三角形的面积公式求出GE长解答即可．
17．计算：
【答案】解：原式=2026+2-1，
=2027
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算绝对值，负整数指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
18．解不等式：4x-1≥3x+2，并把解集表示在数轴上.
【答案】解：移项，得： 4x-3x≥2+1，
合并同类项，得：x≥3，
所以x≥3是原不等式的解，
在数轴上表示为：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可.
19．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，分别以点A，C为圆心，大于 的长度半径画弧交于点E，F，作直线EF分别交BC，AC，AD于点G，O，H，连结AG， CH.
（1）求证： △AOH≌△COG.
（2）若AB=6， BC=12，求四边形AGCH的周长.
【答案】（1）证明：由作图可知： EF 垂直平分AC，
所以AO=CO， ∠AOH=∠COG=90°，
因为四边形ABCD 是矩形，
所以AD∥BC，
所以∠HAC=∠ACG，
所以△AOH≌△COG.
（2）解：因为△AOH≌△COG，
所以OH=OG，
因为AO=CO， EF⊥AC，
所以四边形AGCH 是菱形，
设CG=x，则AG=AH=CH=x， BG=12-x，
在矩形ABCD中， ∠B=90°，
所以
所以 即： 4x=30，
所以四边形AGCH 的周长为30.
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由作图得到垂直平分，然后根据矩形的性质，利用ASA得到两三角形全等即可；
（2根据OH=OG得到四边形是菱形，设，则，根据勾股定理求出x的值解答即可．
20．新能源车企Q系列生产A，B，C，D四种车型，小江利用AI工具调查了1~4月该车企Q系列车的月销量、1~4月各车型销量占总销量比例及1~4月各车型的平均售价情况，并绘制成如下尚不完整的统计图和统计表.
1~4月Q系列车的平均售价统计表
品牌 平均售价（单位：万元）
A 7
B 10
C 20
D 40
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，1~4月C种车型的销量是多少辆
（2）在保持各车型平均售价不变的情况下，该新能源车企预计1~5月Q系列车的月销量平均数将达7000辆，且1~5月各车型销量占总销量的比例与1~4月的占比相同，请估计5月份该车企D种车型的销售收入.
【答案】（1）解：由扇形统计图得： 1-32%-21%-3%=44%，
所以1~4月C种车型的销量占比为44%，
由折线统计图得： 1~4月的总销量为5800+4200+7000+8000=25000，
所以1~4月C种车型的销量为25000×44%=11000.
（2）解：由扇形统计图得：1~5月D种车型的销量占比为3%，
因为1~5月Q系列车月销量的平均数为7000辆，
所以估计5月份D种车型的销量为(7000×5-25000)×3%=300辆，
由统计表可得：D种车型的平均售价为40万元，
所以估计该车企5月份 D种车型的销售收入为：300×40=12000万元.
【知识点】统计表；扇形统计图；折线统计图；平均数及其计算
【解析】【分析】（1）先根据扇形统计图求得种车型的销量占比，再根据折线图得到~月的总销量，然后相乘解答即可；
（2）由种车型的销量占比为和月份种车型的销量，求出D种车型的销售收入解答即可．
21．【阅读理解】
对于一个两位数，设十位数字为a，个位数字为b（a，b均为整数，且 记 我们称F（a，b)的值是原两位数的“关联值”.
【尝试探究】
（1）判断等式 F（1， 2)=F（2， 1)是否成立，并说明理由.
（2）若一个两位数的“关联值”为1188，求这个两位数.
【答案】（1）解：等式不成立.理由为：
因为
所以等式 F(1， 2)=F(2， 1)不成立.
（2）解：设这个两位数的十位数字为a，个位数字为b(a， b均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9)，
因为这个两位数的“关联值”为1188，
所以
所以
所以(a+b)(a-b)=12，
因为a， b均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9，
所以a+b， a-b都为正整数且a+b>a-b，
所以 或 或 解得 (舍)或 (符合)或 (舍)，
所以这个两位数为42.
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据新定义的运算法则计算，然后判断解答即可；
（2）设这个两位数的十位数字为，个位数字为，然后整理得到，求出整数a，b的值解答即可．
22． 如图
【文化欣赏】汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”，意思是利用杆上挂的平面镜和盆内水面（抽象为平面镜)的反射，就能从水盆里看见院外的景象（如图1).
【科学原理】入射光线QO经平面镜XY反射得反射光线OR（OP⊥XY)，则∠POR=∠POQ（如图2).
【综合实践】小桐春假探望爷爷时，在院内作了实践探究：如图3，杆AB⊥地平线EF（A为墙角)，杆顶B悬一平面镜MN（MN∥EF)，院外的邻居（点H)先经平面镜MN的点B处反射，再经水盆的水面中心C处反射后，恰被院内的小桐（观测点为G)看到.现测得： CA=2.7米， ∠GCE=53°.
【数学理解】
（1）求杆AB的高度.
（2）如图4，保持水盆和观测点的位置不变，将平面镜MN绕点B逆时针旋转8°，邻居沿射线AH方向移动到 H'处，经B，C两处反射后，小桐恰好观测到邻居，求邻居移动的距离HH'.
（参考数据：
【答案】（1）解：由科学原理得， ∠GCE=∠ACB=53°，
由AB⊥EF得，
所以AB≈3.6米，
即：杆AB的高度约为3.6米.
（2）解：邻居移动前： MN∥EF，
由科学原理得， ∠ABC=∠HBA=37°，
由AB⊥EF得，
所以AH=AC=2.7米，
邻居移动后(如图4)：
∠CBP=∠ABC+∠ABP=37°+8°=45°，
由科学原理得， ∠CBP=∠H'BP=45°，
所以∠H'BA=53°， ∠AH'B=37°，
由AB⊥EF得，
所以AH'≈4.8米，
所以HH'=AH'-AH=2.1米，
即：邻居移动的距离 HH'约为2.1米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据正切的定义求出AB长解答即可；
（2）邻居移动前，根据正切的定义求出AH长；移动后可得∠CBP=45°，进而可得∠AH'B的度数，再根据正切求出AH'的长，根据线段的和差解答即可．
23．已知二次函数 （b为常数)的图象经过点（8，-6).
（1）求二次函数的表达式.
（2）作点A（0，t)关于直线x=t对称的点B，若点B恰好落在 的图象上，求t的值.
（3）当m≤x≤2-m时，二次函数 的最大值与最小值的和为k，求k的取值范围.
【答案】（1）解：把(8， - 6)代入得， - 16+8b+2=-6，解得： b=1，
所以二次函数的表达式为
（2）解：因为点B与点A (0， t)关于直线x=t对称，
所以点B的坐标为(2t， t)，
把(2t， t)代入 得， 解得： t=2或t=-1，
所以t=2或t=-1.
（3）解：由 得：
对称轴为直线x=2，顶点坐标淡(2，3)，
当x=m时， 当x=2-m时，
因为m≤x≤2-m，
所以m≤2-m，即： m≤1，
①如图1，当2-m≤2时， m≥0，
所以，当0≤m≤1时，
所以
所以
②如图2，当2-m>2时， m<0，
此时， 2-m>(2-m)-2，
所以
所以
所以k<5，
综上所述，
【知识点】二次函数的最值；坐标与图形变化﹣对称；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）把(8，-6)代入解析式求出b的值解答即可；
（2）根据对称求出点坐标为(2t， t)，然后代入函数解析式，求出t的值解答即可；
（3）先对二次函数配方为顶点式，得到顶点坐标和对称轴，分为①当时，②当时两种情况，根据二次函数的增减性得到最大值和最小值，然后列方程求出k的值解答即可．
24．如图，在锐角△ABC中， AB=AC，以AB为直径作半圆交BC， AC于点 D，E，在弦DE的延长线上取点 F，使 将△EAF沿AF翻折至△GAF，延长GF交射线BC于点H.
（1）若∠ABC=70°，求∠G的度数.
（2）求证：四边形ABHG是平行四边形.
（3）若FG=2FH，求 的值.
【答案】（1）解：因为四边形ABDE 内接于圆，
∴∠FEA+∠DEA=∠B+∠DEA=180°，
所以∠FEA=∠ABC=70°，
因为△EAF沿AF翻折至△GAF，
所以△EAF≌△GAF，
所以∠G=∠FEA=∠ABC=70°.
（2）证明：因为△EAF≌△GAF，
所以∠GAC=2∠FAE=∠ABC，
因为AB=AC，
所以∠ACB=∠ABC，
所以∠GAC=∠ACB，
所以AG∥BH，
所以∠ABC+∠BAG=180°，
由(1)得： ∠G=∠ABC，
所以∠G+∠BAG=180°，
所以HG∥AB，
所以四边形ABHG是平行四边形
（3）解：如图，连结AD，设FH=1，则FG=FE=2， GH=3，
因为四边形ABHG是平行四边形，
所以AC=AB=GH=3， BH=AG，
设BD=x，
因为AB是直径，
所以∠ADB=90°，即： AD⊥BC，
因为AB=AC，
所以BD=CD=x， ∠CAD=∠BAD，
所以DE=BD=CD=x，
因为四边形ABDE 内接于圆，
所以∠CED=∠B，
因为∠ECD=∠BCA，
所以△CED∽△CBA，
所以 故CE CA=CD CB，即：
延长GH， AC交于点 M，
因为四边形ABDE 内接于圆，
所以∠AED+∠B=180°，
因为GH∥AB，
所以∠GHB+∠B=180°，
所以∠GHB=∠AED=∠FEC，
因为∠EFM=∠HFD，
所以△EFM∽△HFD，
所以 故FH FM=FE FD，即： FM=2(2+x)=4+2x， MH=3+2x，
因为GH∥AB，
所以△MHC∽△HFD，
所以 故CH AB=CB MH，即：
所以
由BH=AG得： 故
由x>0，解得：
所以 即： 的值为
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到 ，根据翻折可得 ，据此解答即可；
（2）根据翻折得到 ，即可得到，根据内错角相等，两直线平行得到，即可得到，进而可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明结论；
（3）连结，设，则，，即可得到 ，，设，得到 ，即，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出，，延长，交于点，即可得到 ，求出 ，再根据平行线得到 ，求出，根据列方程求出x的值，求出比值解答即可．
1 / 1浙江省湖州市吴兴区2026年中考二模考试数学
1．下表记录了桐乡、浦江、富阳、长兴四地的平均海拔（以海拔100米为基准，超过记为正，不足记为负).
桐乡 浦江 富阳 长兴
-94.7米 +206米 +54米 -45米
以上四地中平均海拔最低的是（　　)
A．桐乡 B．浦江 C．富阳 D．长兴
2．由5个相同正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图为（　　)
A． B．
C． D．
3．小阳所在城市的统计数据显示，2025年社会消费品零售总额达53860000000元.将数53860000000用科学记数法表示为（　　)
A．5.386×10 B．53.86×109
C．0.5386×10 D．5.386×10
4．如图，已知直线a，b被直线c所截，则下列选项正确的是（　　)
A．若∠1=∠2，则a∥b B．若∠1=∠3，则a∥b
C．若∠1=∠4，则a∥b D．若∠1=∠5，则a∥b
5．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
6．幼儿园老师带着一群小朋友在公园里玩游戏，他们的年龄分别是（单位：岁)：39，5，6， 6， 5， 6， 5， 6， 6， 6，这组数据的众数是（　　)
A．5 B．6 C．9 D．39
7． 明代《九章算法比类大全》记载：“今有甲乙二匠造屋，共得钱五百文。甲匠日得三十文，乙匠日得二十文。甲、乙先后作工，凡二十二日而毕。问甲乙各作几日 ”其大意是：“现有甲、乙两位工匠合作建房，总共获得工钱500文。甲匠每日工钱是30文，乙匠每日工钱是20文。两人先后做工，共用22天完成。问甲、乙各做工多少天 ”设甲匠做工x天，乙匠做工y天，根据题意，可列方程组为（　　)
A． B．
C． D．
8． 如图，DE是△ABC的中位线，以点D为圆心，DE的长为半径作弧交边BC于点 F.若AC=6， ∠C=70°，则扇形EDF的面积为（　　)
A． B． C．π D．
9． 定义：函数y1的图象上存在点 P，函数y2的图象上存在点Q，且点 P，Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“镜像关系”，点P，Q的纵坐标为函数y1和y2“镜像值”.关于函数 和 有两个结论：①函数y1与y2具有“镜像关系”；②函数y1与y2的“镜像值”有且仅有一个，则（　　)
A．①②都错 B．①②都对 C．①错②对 D．①对②错
10． 如图，已知∠BAC=α（0°<α<180°)， AB=m， AC=n，（m， n都是常数).过A，B，C三点的圆与∠BAC的平分线交于点 D，连结CD.当α变化时，下列代数式的值不变的是（　　)
A．AD-CD B． C．AD+CD D．AD·CD
11．若分式 有意义，则x的取值范围是　 　.
12． 现有桐乡濮院古镇、浦江仙华山、富阳龙门古镇、长兴仙山湖四个旅游目的地，若从中随机挑选一个出行，则选中浦江仙华山的概率为　 　.
13．如图， AB是⊙O的直径， BC与⊙O相切于点 B，连结AC交⊙O于点 D.若∠C=55°，则∠ABD的度数为　 　.
14．已知a-3b=2，则7+2a-6b=　 　.
15．如图，在△ABC中， BD⊥AC于点D，点E在边 BC上，且AE=AB， ∠CAE=∠ABD，过点E作EF⊥AC于点 F.已知CF=3，则AD=　 　.
16．如图1，点G是△ABC的重心，动点 H从点A 出发，沿A→B→C的方向运动直至回到点A停止，设点H运动的路程为x，GH2为y，y关于x的部分图象如图2所示，则AB=　 　，函数y的最小值为　 　.
17．计算：
18．解不等式：4x-1≥3x+2，并把解集表示在数轴上.
19．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，分别以点A，C为圆心，大于 的长度半径画弧交于点E，F，作直线EF分别交BC，AC，AD于点G，O，H，连结AG， CH.
（1）求证： △AOH≌△COG.
（2）若AB=6， BC=12，求四边形AGCH的周长.
20．新能源车企Q系列生产A，B，C，D四种车型，小江利用AI工具调查了1~4月该车企Q系列车的月销量、1~4月各车型销量占总销量比例及1~4月各车型的平均售价情况，并绘制成如下尚不完整的统计图和统计表.
1~4月Q系列车的平均售价统计表
品牌 平均售价（单位：万元）
A 7
B 10
C 20
D 40
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，1~4月C种车型的销量是多少辆
（2）在保持各车型平均售价不变的情况下，该新能源车企预计1~5月Q系列车的月销量平均数将达7000辆，且1~5月各车型销量占总销量的比例与1~4月的占比相同，请估计5月份该车企D种车型的销售收入.
21．【阅读理解】
对于一个两位数，设十位数字为a，个位数字为b（a，b均为整数，且 记 我们称F（a，b)的值是原两位数的“关联值”.
【尝试探究】
（1）判断等式 F（1， 2)=F（2， 1)是否成立，并说明理由.
（2）若一个两位数的“关联值”为1188，求这个两位数.
22． 如图
【文化欣赏】汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”，意思是利用杆上挂的平面镜和盆内水面（抽象为平面镜)的反射，就能从水盆里看见院外的景象（如图1).
【科学原理】入射光线QO经平面镜XY反射得反射光线OR（OP⊥XY)，则∠POR=∠POQ（如图2).
【综合实践】小桐春假探望爷爷时，在院内作了实践探究：如图3，杆AB⊥地平线EF（A为墙角)，杆顶B悬一平面镜MN（MN∥EF)，院外的邻居（点H)先经平面镜MN的点B处反射，再经水盆的水面中心C处反射后，恰被院内的小桐（观测点为G)看到.现测得： CA=2.7米， ∠GCE=53°.
【数学理解】
（1）求杆AB的高度.
（2）如图4，保持水盆和观测点的位置不变，将平面镜MN绕点B逆时针旋转8°，邻居沿射线AH方向移动到 H'处，经B，C两处反射后，小桐恰好观测到邻居，求邻居移动的距离HH'.
（参考数据：
23．已知二次函数 （b为常数)的图象经过点（8，-6).
（1）求二次函数的表达式.
（2）作点A（0，t)关于直线x=t对称的点B，若点B恰好落在 的图象上，求t的值.
（3）当m≤x≤2-m时，二次函数 的最大值与最小值的和为k，求k的取值范围.
24．如图，在锐角△ABC中， AB=AC，以AB为直径作半圆交BC， AC于点 D，E，在弦DE的延长线上取点 F，使 将△EAF沿AF翻折至△GAF，延长GF交射线BC于点H.
（1）若∠ABC=70°，求∠G的度数.
（2）求证：四边形ABHG是平行四边形.
（3）若FG=2FH，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 以米为基准，
∴四地实际平均海拔分别为：桐乡： 米，浦江： 米，富阳： 米，长兴： 米．
∴ 比较大小可得 ．
∴ 四地中平均海拔最低的是桐乡．
故答案为：A.
【分析】计算出四地实际平均海拔，然后比较大小解答即可．
2．【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看，可得俯视图如下，
故答案为：C.
【分析】根据从上边看得到的几何图形是俯视图解答即可．
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数用科学记数法表示为．
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：若或或，都不能得出；
若，根据“同位角相等，两直线平行”，得到，
选项B符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据平行线的判定定理逐项判断解答即可.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误；
B、，原计算错误；
C、与不是同类项，不能合并，原计算错误；
D、，计算正确，
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项法则逐项判断解答即可.
6．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：解：在这组数据中，4出现次，出现次，出现次，6出现的次数最多，则这组数据的众数是．
故答案为：B.
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此解答即可．
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲匠做工天，乙匠做工天，题目说明两人做工总用时为天，
∴可得第一个方程：．
又∵总工钱共文，甲每日工钱文，乙每日工钱文，
∴甲总工钱为，乙总工钱为，总工钱和为，可得第二个方程： ．
∴．
故答案为：D.
【分析】设甲匠做工天，乙匠做工天，根据题意列方程组解答即可．
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；扇形面积的计算；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是的中位线，，
，且，
，
，
，
，
扇形的面积为．
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中位线求出的长度和，然后根据等边对等角和三角形的内角和求出，利用扇形面积公式计算即可．
9．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设函数图象上点的坐标为，
∵，关于轴对称，在图象上，
∴点坐标为 ，且，
∵在上，
∴，
∵在上，
∴，
若和具有“镜像关系”，则存在使得，
即：，
整理得：，
解得，，方程有两个不相等的实根，说明存在符合条件的点，故结论①正确；
当时， ，
当时， ，则“镜像值”共两个，故结论②错误．
故答案为：D.
【分析】根据“镜像关系”的定义，设点P，Q的坐标，然后分别代入两解析式，解方程组求出两点的坐标，然后逐一判断解答即可．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如下图，在上取点，使得，过点作于点，
则，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∵，都是常数，
∴为常数，即的值不变，选项B符合题意；
当变化时，的长度均发生变化，故，，的值均变化，选项A、C、D不符合题意．
故答案为：.
【分析】在上取点，使得，过点作于点，根据SAS得到，即可得到，进而可得为等腰三角形，根据三线合一可得，即；设，在和中，根据勾股定理可得，然后逐项判断解答即可．
11．【答案】x≠3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，要使分式有意义，必须使x-3≠0，
解得：x≠3
故答案为：x≠3.
【分析】根据分式的分母不为0解答即可.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，随机挑选一个旅游目的地，共有种等可能的结果，选中浦江仙华山的结果有种，则选中浦江仙华山的概率为．
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可.
13．【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：与相切于点，且为直径，
，
，
．
是的直径，
，
．
故答案为：55°.
【分析】根据切线的性质直径所对的圆周角是直角求出然后根据三角形的内角和定理解答即可.
14．【答案】11
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
故答案为：11.
【分析】先将所求代数式变形为，然后整体代入计算即可．
15．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如下图，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3.
【分析】先根据AAS得到，即可得到，进而可得；根据等边对等角得到，即；然后根据垂直得到，即可得到，根据平角的定义求出，即可得到EF=CF，解答即可．
16．【答案】5；
【知识点】勾股定理的逆定理；动点问题的函数图象；三角形的重心及应用；三角形-动点问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：动点从出发，
当时，与重合，
此时，
得；
当运动到点时，路程，
由图2可知，此时，，
得，
由，
得，
故是直角三角形，，
面积．
如图，分别连接并延长，交边于点P，交边于点Q，交边于点R，
则P，Q，R分别为边的中点，
∴，
∴；
又，
∴，
∴．
∴重心将原三角形分为3个面积相等的小三角形．
因此．
为方便解析，将以点G为中心旋转适当角度，再以点G为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
则，
设中点为点D，连接，则，
∵点G为的重心，
∴过点G，，
由位似性质得，，
∴，，
∴，
∵，，的面积都为6，
∴点G到边的距离最小，
过点G作于点E，
则，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：5；.
【分析】根据函数图象中时的y值，求出=4，再根据时点H和点B重合，确定=3，=5，根据勾股定理的逆定理得到∠AGB=90°，以点G为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，设中点为点D，连接，根据中点坐标公式得到点D的坐标，再根据得到点C的坐标，利用两点间距离公式求出，，得点G到边的距离最小，过点G作于点E，根据三角形的面积公式求出GE长解答即可．
17．【答案】解：原式=2026+2-1，
=2027
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算绝对值，负整数指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
18．【答案】解：移项，得： 4x-3x≥2+1，
合并同类项，得：x≥3，
所以x≥3是原不等式的解，
在数轴上表示为：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可.
19．【答案】（1）证明：由作图可知： EF 垂直平分AC，
所以AO=CO， ∠AOH=∠COG=90°，
因为四边形ABCD 是矩形，
所以AD∥BC，
所以∠HAC=∠ACG，
所以△AOH≌△COG.
（2）解：因为△AOH≌△COG，
所以OH=OG，
因为AO=CO， EF⊥AC，
所以四边形AGCH 是菱形，
设CG=x，则AG=AH=CH=x， BG=12-x，
在矩形ABCD中， ∠B=90°，
所以
所以 即： 4x=30，
所以四边形AGCH 的周长为30.
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由作图得到垂直平分，然后根据矩形的性质，利用ASA得到两三角形全等即可；
（2根据OH=OG得到四边形是菱形，设，则，根据勾股定理求出x的值解答即可．
20．【答案】（1）解：由扇形统计图得： 1-32%-21%-3%=44%，
所以1~4月C种车型的销量占比为44%，
由折线统计图得： 1~4月的总销量为5800+4200+7000+8000=25000，
所以1~4月C种车型的销量为25000×44%=11000.
（2）解：由扇形统计图得：1~5月D种车型的销量占比为3%，
因为1~5月Q系列车月销量的平均数为7000辆，
所以估计5月份D种车型的销量为(7000×5-25000)×3%=300辆，
由统计表可得：D种车型的平均售价为40万元，
所以估计该车企5月份 D种车型的销售收入为：300×40=12000万元.
【知识点】统计表；扇形统计图；折线统计图；平均数及其计算
【解析】【分析】（1）先根据扇形统计图求得种车型的销量占比，再根据折线图得到~月的总销量，然后相乘解答即可；
（2）由种车型的销量占比为和月份种车型的销量，求出D种车型的销售收入解答即可．
21．【答案】（1）解：等式不成立.理由为：
因为
所以等式 F(1， 2)=F(2， 1)不成立.
（2）解：设这个两位数的十位数字为a，个位数字为b(a， b均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9)，
因为这个两位数的“关联值”为1188，
所以
所以
所以(a+b)(a-b)=12，
因为a， b均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9，
所以a+b， a-b都为正整数且a+b>a-b，
所以 或 或 解得 (舍)或 (符合)或 (舍)，
所以这个两位数为42.
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据新定义的运算法则计算，然后判断解答即可；
（2）设这个两位数的十位数字为，个位数字为，然后整理得到，求出整数a，b的值解答即可．
22．【答案】（1）解：由科学原理得， ∠GCE=∠ACB=53°，
由AB⊥EF得，
所以AB≈3.6米，
即：杆AB的高度约为3.6米.
（2）解：邻居移动前： MN∥EF，
由科学原理得， ∠ABC=∠HBA=37°，
由AB⊥EF得，
所以AH=AC=2.7米，
邻居移动后(如图4)：
∠CBP=∠ABC+∠ABP=37°+8°=45°，
由科学原理得， ∠CBP=∠H'BP=45°，
所以∠H'BA=53°， ∠AH'B=37°，
由AB⊥EF得，
所以AH'≈4.8米，
所以HH'=AH'-AH=2.1米，
即：邻居移动的距离 HH'约为2.1米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据正切的定义求出AB长解答即可；
（2）邻居移动前，根据正切的定义求出AH长；移动后可得∠CBP=45°，进而可得∠AH'B的度数，再根据正切求出AH'的长，根据线段的和差解答即可．
23．【答案】（1）解：把(8， - 6)代入得， - 16+8b+2=-6，解得： b=1，
所以二次函数的表达式为
（2）解：因为点B与点A (0， t)关于直线x=t对称，
所以点B的坐标为(2t， t)，
把(2t， t)代入 得， 解得： t=2或t=-1，
所以t=2或t=-1.
（3）解：由 得：
对称轴为直线x=2，顶点坐标淡(2，3)，
当x=m时， 当x=2-m时，
因为m≤x≤2-m，
所以m≤2-m，即： m≤1，
①如图1，当2-m≤2时， m≥0，
所以，当0≤m≤1时，
所以
所以
②如图2，当2-m>2时， m<0，
此时， 2-m>(2-m)-2，
所以
所以
所以k<5，
综上所述，
【知识点】二次函数的最值；坐标与图形变化﹣对称；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）把(8，-6)代入解析式求出b的值解答即可；
（2）根据对称求出点坐标为(2t， t)，然后代入函数解析式，求出t的值解答即可；
（3）先对二次函数配方为顶点式，得到顶点坐标和对称轴，分为①当时，②当时两种情况，根据二次函数的增减性得到最大值和最小值，然后列方程求出k的值解答即可．
24．【答案】（1）解：因为四边形ABDE 内接于圆，
∴∠FEA+∠DEA=∠B+∠DEA=180°，
所以∠FEA=∠ABC=70°，
因为△EAF沿AF翻折至△GAF，
所以△EAF≌△GAF，
所以∠G=∠FEA=∠ABC=70°.
（2）证明：因为△EAF≌△GAF，
所以∠GAC=2∠FAE=∠ABC，
因为AB=AC，
所以∠ACB=∠ABC，
所以∠GAC=∠ACB，
所以AG∥BH，
所以∠ABC+∠BAG=180°，
由(1)得： ∠G=∠ABC，
所以∠G+∠BAG=180°，
所以HG∥AB，
所以四边形ABHG是平行四边形
（3）解：如图，连结AD，设FH=1，则FG=FE=2， GH=3，
因为四边形ABHG是平行四边形，
所以AC=AB=GH=3， BH=AG，
设BD=x，
因为AB是直径，
所以∠ADB=90°，即： AD⊥BC，
因为AB=AC，
所以BD=CD=x， ∠CAD=∠BAD，
所以DE=BD=CD=x，
因为四边形ABDE 内接于圆，
所以∠CED=∠B，
因为∠ECD=∠BCA，
所以△CED∽△CBA，
所以 故CE CA=CD CB，即：
延长GH， AC交于点 M，
因为四边形ABDE 内接于圆，
所以∠AED+∠B=180°，
因为GH∥AB，
所以∠GHB+∠B=180°，
所以∠GHB=∠AED=∠FEC，
因为∠EFM=∠HFD，
所以△EFM∽△HFD，
所以 故FH FM=FE FD，即： FM=2(2+x)=4+2x， MH=3+2x，
因为GH∥AB，
所以△MHC∽△HFD，
所以 故CH AB=CB MH，即：
所以
由BH=AG得： 故
由x>0，解得：
所以 即： 的值为
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到 ，根据翻折可得 ，据此解答即可；
（2）根据翻折得到 ，即可得到，根据内错角相等，两直线平行得到，即可得到，进而可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明结论；
（3）连结，设，则，，即可得到 ，，设，得到 ，即，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出，，延长，交于点，即可得到 ，求出 ，再根据平行线得到 ，求出，根据列方程求出x的值，求出比值解答即可．
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