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天津市西青区2026年初中毕业生学业考试数学调查试卷（二）
1．计算(-1) ×0的结果等于（　　）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：A.
【分析】根据0乘以任何数都等0解答即可.
2．右图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看第一层有两个小正方形，第二层在右边有一个小正方形，第三层在右边有一个小正方形，即：
故答案为：D．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．估计 的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴的值应在1和2之间．
故选：A.
【分析】先估算的取值范围，然后同时减1解答即可．
4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义“沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”判断即可.
5．人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间的变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为149600000千米.数据149600000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为所有整数位的个数减1，据此解答即可．
6．若点A( ，6)， B(x2，-2)， C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1， x2， x3的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，，都在反比例函数的图象上
∴，
解得：；
，
解得：；
，
解得：；
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】将三个点的纵坐标代入解析式，求出各横坐标的值，然后比较大小解答即可．
7．的值等于（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B.
【分析】先代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，最后运算加减解答即可.
8．计算 的结果是（　　）
A．0 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
即计算结果为．
故答案为：D.
【分析】根据同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减解答即可．
9．我国古代数学著作《九章算术》“均输”一章记载了下列问题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲乃发长安.问几何日相逢.”问题大意如下：甲从长安出发，需要5.天到达齐地；乙从齐地出发，需要7天到达长安，如果乙已经提前出发了2天，甲这才从长安出发.问甲出发后多少天两人相遇 若设甲出发x天后两人相遇，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵甲走完全程需要天，
∴甲每天走全程的，
∵乙走完全程需要天，
∴乙每天走全程的，
设甲出发天后两人相遇，
∵乙提前出发天，
∴乙一共走了天，
∴甲走的路程为，乙走的路程为，
∴．
故答案为：B.
【分析】先根据题意表示甲、乙的日行程，再根据相遇时两人路程和等于总路程列方程．
10．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作弧，与OA，OB分别相交于点 M，N，分别以点 M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点 C，作射线OC；点P在射线OA上，以点 P为圆心，OP长为半径作弧，与射线OC相交于点Q，过点Q作QD⊥OB，垂足为点D，下列结论不一定正确的是（　　）
A．∠AOC=∠BOC B．PQ∥OB C．PQ⊥QD D．PQ=QD
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可知，是的角平分线，
∴，
故选项A正确，不符合题意；
由作图可知，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选项B正确，不符合题意；
∵，，
∴，
故选项C正确，不符合题意；
如图，过点Q作于点H，
∵是的角平分线，，，
∴，
在中，，
∴，
故选D不正确，符合题意．
故答案为：D.
【分析】由作图得到是的角平分线，即可判断A；根据即可得到∠PQO=∠POQ=∠DOQ，即可根据内错角相等，两直线平行判断B选项；再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠PQD判断C选项；过点Q作于点H，根据角平分线的性质和垂线段最短判断D选项即可．
11．如图，在△ABC中， AB=BC=5， AC=6，以点A为中心，把△ABC逆时针旋转60°得到△AB'C'，点 B， C的对应点分别为 B'， C'，连接BC'，则 BC'的长是（　　）
A． B． C．9 D．11
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：连接，与相交于点O，如图，
∵逆时针旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
∵，
∴B点在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，
在中，∵，，
∴，
在中，∵，，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】连接，与相交于点O，根据旋转可得，，进而可得为等边三角形，即可得到，再根据，可得垂直平分，再根据勾股定理计算出OB和OC'的长，解答即可．
12．小明从离地面高度为1.5m的点A 处向斜上方抛出弹力球，弹力球在点 B 处第一次着地后弹起，点C处是第二次着地点.分析弹力球从被抛出至第二次着地的过程，其运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，如图所示放置在平面直角坐标系中，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为 在B 处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的
有下列结论：
①a=-1；②在B 处着地后弹起的最大高度为0.5m；
③弹力球第二次着地点 C距第一次抛出点的水平距离OC是5m.
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：，
∴，故①错误；
∴解析式为：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：或（舍去），
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，
∴其最大高度为：；故②正确；
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：或（舍去），
∴该抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B的坐标为，则点的坐标为，
即弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是，故③正确；
综上，正确的个数为2个．
故答案为：C.
【分析】利用待定系数法求出第一次着地前的抛物线解析式判断①；求出着地点的坐标，求出B处反弹后的最大高度判断②；求出反弹后抛物线的解析式，即可得到点C的坐标判断③解答即可．
13．不透明袋子中装有10个球，其中有3个红球、5个黑球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可知，从袋子中随机取出1个球共有10种等可能的结果，其中取出的球是红球的结果有3种，
根据概率公式可得，随机取出1个球是红球的概率为．
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可．
14．计算： 的结果等于　 　.
【答案】15x4y
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：．
故答案为：15x4y.
【分析】根据单项式乘单项式法则“系数与相同字母的分别相乘，只在一个单项式中出现的字母连同它的指数作为积的因式”计算即可．
15． 计算( 的结果等于 .
【答案】16
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：16.
【分析】根据平方差公式计算即可．
16．函数y=2x的图象向下平移2个单位后经过点(3，m)，则m的值是　 　.
【答案】4
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：函数向下平移个单位后，所得解析式为 ，
因为平移后的图象经过点，
将代入解析式得： ，
∴.
故答案为：4.
【分析】根据一次函数图象平移的规律“上加下减”得到平移后解析式，然后把点的坐标代入求出m的值即可.
17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，D为AC边中点，连接BD，过点C作CE⊥BC，与BD的延长线相交于点E.
（1）∠ACE的大小是　 　(度)；
（2）若 则边AB的长是　 　.
【答案】（1）45
（2）6
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：45；
（2）过作于，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴（负值舍去），
设，则，
∵为边中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解，
∴．
故答案为：6.
【分析】（1）根据等边对等角可得，利用垂直的定义可得，然后根据角的和差解答即可；
（2）过作于，根据勾股定理求出，设，即可得到，，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出x的值解答即可．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B是格点，点C是线段AB上一点，点 D与点B在同一条水平格线上，且∠BAD>45°，过A，C，D三点作圆，连接AD， GD.
（1） 线段AB 的长等于　 　；
（2）点M在线段AD上，满足∠CMD=∠ACD，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 M，并简要说明点M的位置是如何找到的 (不要求证明，所有添加的线不超过6条)
【答案】（1）
（2）如图，取圆与水平格线交点E，连接EC 与水平格线交于点 F，取格点 G，连接FG 与水平格线交于点H，取格点I，连接IH 并延长与水平格线交于点J，连接JE 并延长与圆交于点 K，连接 KC与AD 交于点 M，则点 M 即为所求.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；作图﹣轴对称；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
【分析】(1)由勾股定理直接求解即可；
(2)作出点C关于过点D的直径的对称点K，则有DK=DC，则 再根据 可得
19．解不等式组 ①②
请结合题意填空，完成本题的解答.
（1） 解不等式①， 得　 　；
（2） 解不等式②，得　 　
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　.
【答案】（1）x≤3
（2）x≥-2
（3）
（4）- 2≤x≤3.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得，
∴解不等式①，得；
故答案为：；
（2）解：
移项得，
合并同类项得，
系数化1得，
∴解不等式②，得；
故答案为：；
（4）解：由数轴可得原不等式组的解集为．
故答案为：．
【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不不等式即可；
（2）根据移项、合并同类项、系数化为1解不不等式即可；
（3）在数轴上表示两个不等式的解集；
（4）根据数轴上表示的公共解集解答即可.
20．某校为了解学生每月利用AI工具进行科技赋能学习的情况，随机抽取了a名学生，对他们每月的AI工具使用次数进行整理、描述和分析，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为　 　，图①中m的值为　 　，统计的这组学生每月的AI工具使用次数的众数和中位数分别为　 　和　 　；
（2）求统计的这组学生每月的AI工具使用次数的平均数.
（3）根据样本数据，若该校共有学生1000人，估计该校学生每月的AI工具使用次数不低于10次的人数约为多少
【答案】（1）50；6；9；9
（2）观察条形统计图，
∴统计的这组学生每月的AI工具使用次数的平均数是9.
（3）∵在所抽取的样本中，每月的AI工具使用次数不低于10次的人数所占百分比为30%+6%=36%，
∴根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月的AI工具使用次数不低于10次的人数约占36%， 有1000×36%=360.
∴估计该校1000名学生中每月的AI工具使用次数不低于10次的人数约为360.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
，
∴，
统计的这组学生每月的工具使用次数最多的是9次，故众数是9，
中位数是第25、26个数据的平均数，第25、26个数据均是9次，故中位数是9；
故答案为：50；6；9；9.
【分析】（1）根据使用次的人数除以所占百分比求出的值，利用次的人数除以总数乘以100%求得的值，再根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）急用加权平均数的计算公式计算即可；
（3）用学生总数1000乘以每月的工具使用次数不低于10次的学生所占百分比解答．
21． 已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点 P， ∠ACD=20°.
（1）如图①，若∠BPC=56°，求∠ADC的大小；
（2）如图②，过点D作⊙O的切线，与BA的延长线交于点 Q，若PQ=DQ， ⊙O的半径是3，求弦AC的长.
【答案】（1）解： 连接CB.
∵∠ACD=20°， ∠BPC=56°，
∴∠BAC=∠BPC-∠ACD=56°-20°=36°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠ADC=∠B=54°
（2）解： 连接OD， OC.
∵QD 切⊙O于点D，
∴OD⊥QD.即∠ODQ=90°.
∵∠ACD=20°，
∴∠AOD=2∠ACD=40°.
∵PQ=DQ，
∴∠QPD=∠QDP=65°.
∵OC=OA=3，
∴∠ACO=∠BAC=45°. ∴∠AOC=90°.
在 Rt△AOC 中，
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接．根据三角形的外角性质可得．然后根据直径所对的圆周角是直角得到．再根据直角三角形的两锐角互余求出∠B，最后根据圆周角定理解答即可．
（2）连接，．根据切线的性质可得．进而根据直角三角形的两锐角互余得到．根据等边对等角可得，，然后根据勾股定理解答即可．
22． 小明和小强攀登一无名山峰，他俩在山脚A处测得主峰B的仰角为 然后从山脚沿一段倾角为23°的斜坡走了2km到达山腰上点C处，此时测得主峰B的仰角为 如图所示.
（1）计算山腰上点C处距离地面的高度(结果精确到0.1).
（2）计算主峰BM的高度(结果精确到0.1).
(参考数据：
【答案】（1）解：如图， 过点 C作CD⊥AM.
根据题意，在Rt△ACD 中，
答：山腰上点 C 处距离地面的高度约为0.8km.
（2）解：如图， 分别过点C作CD⊥AM， CE⊥BM.
根据题意，有 BM⊥AM，则四边形 CDME 是矩形.
∴EM=CD=2×sin23°， CE=DM，BE长
设CE=DM=x.
在Rt△ACD中，
∴BE=CE·tan∠BCE=x·tan58°.
在 Rt△ACD中，
∴AD=AC·cos∠CAD=2×cos23°.
∴AM=AD+DM=2×cos23°+x， BM=BE+EM=x·tan58°+2×sin23°.
在 Rt△ABM中， ∠BAM=45°， ∠M=90°，
∴∠ABM=45°.∴∠ABM=∠BAM.∴AM=BM.
答：主峰BM 的高度约为3.5km.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点作，根据正弦的定义求出长即可；
（2）分别过点作，，即可得到四边形 CDME 是矩形，设，根据正切的定义求出BE长 ，在 Rt△ACD中根据余弦的额定义求出AD长，即可得到的长，然后根据AM=BM列方程求出x的值解答即可.
23．已知小明家、文具店、菜市场、学校依次在同一条直线上，文具店离小明家0.8km，菜市场离小明家2km.小明的妈妈从家出发，先匀速步行8min到文具店，买文具停留3min后匀速步行 12min到菜市场，买菜停留7min后匀速骑行10min返回家中.下面图中x表示时间，y表示离家的距离.图象反映了这个过程中小明的妈妈离家的距离与时间之间的对应关系.
（1）.①填表：
小明的妈妈离开家的时间/min 5 10 30 35
小明的妈妈离家的距离/km 　 　 0.8 　 　 　 　
②填空：小明的妈妈从菜市场返回家的骑行速度为　 　km/min；.
（2）当0≤x≤23时，请直接写出小明的妈妈离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（3）当小明的妈妈从家出发时，小明也从学校出发骑车回家，已知学校离小明家3.6km，小明的骑行速度和小明妈妈从菜市场骑行回家的速度相同.在小明从学校到家的骑行过程中，对于同一个x的值，小明的妈妈离家的距离为y1，小明离家的距离为y2，当 时，求x的取值范围(直接写出结果即可).
【答案】（1）0.8；2；1；0.2
（2）
（3）13【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）①：步行速度；
当时，；
：从文具店到菜市场的速度为：；
当时，处于菜市场停留阶段，；
：返程阶段的速度为：，
∴当时，．
故答案为：0.8；2；1；
②由①得，小明的妈妈从菜市场返回家的骑行速度为；
故答案为：0.2；
（2）由题意，当时的函数解析式分三段：
当时，；
当时，停留文具店，；
当时，设，代入，
∴，
∴，
∴．
综上：；
故答案为：；
（3）解：由题意，妈妈去文具店步行速度：，
妈妈从菜市场返程速度：，
∴小明骑车速度妈妈返程速度，
∴小明从学校到家总用时：，
∴小明离家距离：．
∴小明的妈妈离家的距离y关于时间x的函数解析式为，
由题意，令，
①当时，，
解得，不符合；
②当时，，
解，不符合；
③当时，，
解得，
∴．
综上，当时，．
故答案为：.
【分析】（1）①根据图象得到相关信息计算即可；
②根据①中计算解答即可；
（2）分为，，三种情况列出函数关系式即可；
（2）依据题意，先求出小明离家距离关于x的函数关系式，再结合（2）小明的妈妈离家的距离y关于时间x的函数解析式，令，求出x的取值范围即可．
24． 将一个平行四边形OABC 放置在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴，点B， C在第一象限，且OA=3， AB=2， ∠B=60°.
（1）填空：如图①，点C的坐标为　 　，点B 的坐标为　 　
（2）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作∠OPQ=60°，点Q在y轴的正半轴，沿PQ所在直线折叠△OPQ，得到△O'PQ，折叠后点O的对应点是O'，设OP=t.
如图②，若边PQ、边O'P分别与边 CB相交于点D， E(点D， E与点C， B不重合)，折叠后△O'PQ与 OABC 重叠部分为△PDE，试求出△PDE的面积，并直接写出t的取值范围：
（3）设折叠后重叠部分的面积为S，当 时，求S的取值范围(直接写出结果即可).
【答案】（1）(1，)；(4，)
（2）解：①设，由折叠可知，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
如图，过点D作轴于点F，则，
在中，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，同理可得边长为的等边三角形面积，
当点D与点C重合时，，为等边三角形，
∴，即；
当点E与点B重合时，根据可得点P与点A重合，，即，
∴t的取值范围是；
（3）
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：如图①，过点B作轴于H，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴向左平移得；
故答案为：(1，)；(4，)；
（3）解：分以下三种情况讨论：
当时，如图，设交于F，交于G，重叠部分为五边形，连接，过点C作于H，过点G作于K，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
由折叠得：，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，由①得，
∴，
∵，，
∴；
当时，重叠部分为等边三角形，如图，
∴由①得；
当时，设交于D，交于E，重叠部分为，如图，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴由①得，
∵，，
∴；
综上所述，当时，S的取值范围是．
故答案为：.
【分析】（1）过点B作轴于H，利用解直角三角形求得点B的坐标，再根据平行四边形的性质求得点C的坐标即可；
（2）设，根据平行四边形的性质得到是等边三角形．过点D作轴于点F，根据正弦的定义即可求得PD长，然后根据三角形面积公式解答即可；
（3）当时， 设交于F，交于G，重叠部分为五边形，连接，过点C作于H，过点G作于K， 得到△FPO和△FPO'是等边三角形，然后根据列函数关系式，根据增减性解答；当时，重叠部分为等边三角形，即S=；当时，设交于D，交于E，重叠部分为，根据等边三角形的性质得到函数关系式，根据 增减性解答即可．
25． 已知抛物线 (m是常数； m>0)与x轴交于点A， B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C，其顶点为D，O是坐标原点.
（1）若m=2，求该抛物线的顶点D 和点 C，B的坐标；
（2）抛物线上一点P在直线CB下方，其横坐标为t，过点P作直线l∥CB，当直线l与直线CB之间的距离取得最大值时，求点 P 的坐标.
（3）当CB+CD取得最小值时，该抛物线上存在一点M，满足 求点M的坐标.
【答案】（1）当m=2时，抛物线解析式为
由 知抛物线的顶点 D 坐标为(2，-9).
当y=0时， 解得
∴点B的坐标为(5，0).
当x=0时， y=-5. ∴点C的坐标为(0，-5)
（2）解：过点 P作 PQ⊥CB， PE⊥x轴，交CB于点 E.
∵C(0， - 5) ， B (5， 0) ， ∴OC=OB=5.
∵∠COB=90°， ∴ ∠OCB=∠OBC=45°.
∵PE⊥x轴， ∴PE∥OC. ∴ ∠PEQ=∠OCB=45°.
在Rt△PQE中，有∠QPE=45°.
∴当PE取最大值时，直线l与直线CB之间的距离 PQ取得最大值.
由C(0， - 5)， B (5， 0)得直线 CB的解析式为y=x-5.
∴E(t， t-5).
∵点P在抛物线上，
∴当 时，EP取得最大值 .此时点P的坐标是
（3）解：同①可得， C(0， - 2m-1) ， B(2m+1， 0) ， A(-1， 0) ，直线CB的解析式为y=x-2m-1.由 可知，点 作点 D 关于y轴的对称点 有CD=CD'.
∴CB+CD=CB+CD'，即点 D'， C， B在一条直线上时， CB+CD取得最小值.
解得 (舍去) ，
∴抛物线解析式为 点C(0， - 3) ， B (3， 0).∴OB=OC.
取点I(1，0) ，有OA=OI=1，可知OA 垂直平分AI.
∴AC=IC.∴∠ICO=∠ACO.即∠ACI=2∠ACO.
∴∠CBM=∠ACB-2∠ACO=∠ACB-∠ACI=∠ICB.
①当点M在直线CB下方时，可知CI∥MB.
由点C(0， - 3) ， I(1，0)得直线 CI的解析式为y=3x-3.
∴直线 MB 的解析式可表示为y=3x+b.
把点 B (3， 0)代入可解得b=-9.
∴直线 MB 的解析式为y=3x-9.
当 时，解得 (与点 B 重合，不合题意舍去)，
∴点 M的坐标为(2， - 3).
②当点M在直线CB上方时，设MB与y轴相交于点 N.
由∠OCB=∠OBC=45°， ∠CBM=∠ICB，可知∠OCI=∠OBM.
又∠IOC=∠BON=90°， OB=OC，有△BON≌△COI. ∴ON=OI=1.
∴N(0， - 1).
∴直线 MB 的解析式为
当 时，解得 (与点B 重合，不合题意舍去)，
∴点 M的坐标为
综上，满足条件的点 M的坐标为
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）把代入得到抛物线的解析式，然后配方为顶点式，即可得到顶点坐标，然后分别令代入，求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可；
（2）过点作，轴，交于点，即可得到是等腰直角三角形，先求出直线BC 的解析式，然后设E(t， t-5)，则然后得到EP关于t的函数关系式，配方得到最值解答即可；
（3）同①可得A，B，C 的坐标，求出直线的解析式为，即可得到点D的坐标，作点关于轴的对称点D'，有．即可得到，当点，，在一条直线上时，取得最小值，把D'坐标代入求出m的值，得到抛物线解析式，取点，连接，推理得到．当点在直线下方时，可知；当点在直线上方时，设与轴相交于点，根据ASA得到，即可得到，再求出直线的解析式与抛物线的解析式联立求交点坐标即可．
1 / 1天津市西青区2026年初中毕业生学业考试数学调查试卷（二）
1．计算(-1) ×0的结果等于（　　）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
2．右图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）
A． B．
C． D．
3．估计 的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间的变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为149600000千米.数据149600000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
6．若点A( ，6)， B(x2，-2)， C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1， x2， x3的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．的值等于（　　）
A．0 B． C．1 D．
8．计算 的结果是（　　）
A．0 B．2 C． D．
9．我国古代数学著作《九章算术》“均输”一章记载了下列问题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲乃发长安.问几何日相逢.”问题大意如下：甲从长安出发，需要5.天到达齐地；乙从齐地出发，需要7天到达长安，如果乙已经提前出发了2天，甲这才从长安出发.问甲出发后多少天两人相遇 若设甲出发x天后两人相遇，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作弧，与OA，OB分别相交于点 M，N，分别以点 M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点 C，作射线OC；点P在射线OA上，以点 P为圆心，OP长为半径作弧，与射线OC相交于点Q，过点Q作QD⊥OB，垂足为点D，下列结论不一定正确的是（　　）
A．∠AOC=∠BOC B．PQ∥OB C．PQ⊥QD D．PQ=QD
11．如图，在△ABC中， AB=BC=5， AC=6，以点A为中心，把△ABC逆时针旋转60°得到△AB'C'，点 B， C的对应点分别为 B'， C'，连接BC'，则 BC'的长是（　　）
A． B． C．9 D．11
12．小明从离地面高度为1.5m的点A 处向斜上方抛出弹力球，弹力球在点 B 处第一次着地后弹起，点C处是第二次着地点.分析弹力球从被抛出至第二次着地的过程，其运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，如图所示放置在平面直角坐标系中，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为 在B 处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的
有下列结论：
①a=-1；②在B 处着地后弹起的最大高度为0.5m；
③弹力球第二次着地点 C距第一次抛出点的水平距离OC是5m.
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．不透明袋子中装有10个球，其中有3个红球、5个黑球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　 　.
14．计算： 的结果等于　 　.
15． 计算( 的结果等于 .
16．函数y=2x的图象向下平移2个单位后经过点(3，m)，则m的值是　 　.
17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，D为AC边中点，连接BD，过点C作CE⊥BC，与BD的延长线相交于点E.
（1）∠ACE的大小是　 　(度)；
（2）若 则边AB的长是　 　.
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B是格点，点C是线段AB上一点，点 D与点B在同一条水平格线上，且∠BAD>45°，过A，C，D三点作圆，连接AD， GD.
（1） 线段AB 的长等于　 　；
（2）点M在线段AD上，满足∠CMD=∠ACD，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 M，并简要说明点M的位置是如何找到的 (不要求证明，所有添加的线不超过6条)
19．解不等式组 ①②
请结合题意填空，完成本题的解答.
（1） 解不等式①， 得　 　；
（2） 解不等式②，得　 　
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　.
20．某校为了解学生每月利用AI工具进行科技赋能学习的情况，随机抽取了a名学生，对他们每月的AI工具使用次数进行整理、描述和分析，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为　 　，图①中m的值为　 　，统计的这组学生每月的AI工具使用次数的众数和中位数分别为　 　和　 　；
（2）求统计的这组学生每月的AI工具使用次数的平均数.
（3）根据样本数据，若该校共有学生1000人，估计该校学生每月的AI工具使用次数不低于10次的人数约为多少
21． 已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点 P， ∠ACD=20°.
（1）如图①，若∠BPC=56°，求∠ADC的大小；
（2）如图②，过点D作⊙O的切线，与BA的延长线交于点 Q，若PQ=DQ， ⊙O的半径是3，求弦AC的长.
22． 小明和小强攀登一无名山峰，他俩在山脚A处测得主峰B的仰角为 然后从山脚沿一段倾角为23°的斜坡走了2km到达山腰上点C处，此时测得主峰B的仰角为 如图所示.
（1）计算山腰上点C处距离地面的高度(结果精确到0.1).
（2）计算主峰BM的高度(结果精确到0.1).
(参考数据：
23．已知小明家、文具店、菜市场、学校依次在同一条直线上，文具店离小明家0.8km，菜市场离小明家2km.小明的妈妈从家出发，先匀速步行8min到文具店，买文具停留3min后匀速步行 12min到菜市场，买菜停留7min后匀速骑行10min返回家中.下面图中x表示时间，y表示离家的距离.图象反映了这个过程中小明的妈妈离家的距离与时间之间的对应关系.
（1）.①填表：
小明的妈妈离开家的时间/min 5 10 30 35
小明的妈妈离家的距离/km 　 　 0.8 　 　 　 　
②填空：小明的妈妈从菜市场返回家的骑行速度为　 　km/min；.
（2）当0≤x≤23时，请直接写出小明的妈妈离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（3）当小明的妈妈从家出发时，小明也从学校出发骑车回家，已知学校离小明家3.6km，小明的骑行速度和小明妈妈从菜市场骑行回家的速度相同.在小明从学校到家的骑行过程中，对于同一个x的值，小明的妈妈离家的距离为y1，小明离家的距离为y2，当 时，求x的取值范围(直接写出结果即可).
24． 将一个平行四边形OABC 放置在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴，点B， C在第一象限，且OA=3， AB=2， ∠B=60°.
（1）填空：如图①，点C的坐标为　 　，点B 的坐标为　 　
（2）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作∠OPQ=60°，点Q在y轴的正半轴，沿PQ所在直线折叠△OPQ，得到△O'PQ，折叠后点O的对应点是O'，设OP=t.
如图②，若边PQ、边O'P分别与边 CB相交于点D， E(点D， E与点C， B不重合)，折叠后△O'PQ与 OABC 重叠部分为△PDE，试求出△PDE的面积，并直接写出t的取值范围：
（3）设折叠后重叠部分的面积为S，当 时，求S的取值范围(直接写出结果即可).
25． 已知抛物线 (m是常数； m>0)与x轴交于点A， B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C，其顶点为D，O是坐标原点.
（1）若m=2，求该抛物线的顶点D 和点 C，B的坐标；
（2）抛物线上一点P在直线CB下方，其横坐标为t，过点P作直线l∥CB，当直线l与直线CB之间的距离取得最大值时，求点 P 的坐标.
（3）当CB+CD取得最小值时，该抛物线上存在一点M，满足 求点M的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：A.
【分析】根据0乘以任何数都等0解答即可.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看第一层有两个小正方形，第二层在右边有一个小正方形，第三层在右边有一个小正方形，即：
故答案为：D．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴的值应在1和2之间．
故选：A.
【分析】先估算的取值范围，然后同时减1解答即可．
4．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义“沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”判断即可.
5．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为所有整数位的个数减1，据此解答即可．
6．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，，都在反比例函数的图象上
∴，
解得：；
，
解得：；
，
解得：；
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】将三个点的纵坐标代入解析式，求出各横坐标的值，然后比较大小解答即可．
7．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B.
【分析】先代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，最后运算加减解答即可.
8．【答案】D
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
即计算结果为．
故答案为：D.
【分析】根据同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减解答即可．
9．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵甲走完全程需要天，
∴甲每天走全程的，
∵乙走完全程需要天，
∴乙每天走全程的，
设甲出发天后两人相遇，
∵乙提前出发天，
∴乙一共走了天，
∴甲走的路程为，乙走的路程为，
∴．
故答案为：B.
【分析】先根据题意表示甲、乙的日行程，再根据相遇时两人路程和等于总路程列方程．
10．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可知，是的角平分线，
∴，
故选项A正确，不符合题意；
由作图可知，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选项B正确，不符合题意；
∵，，
∴，
故选项C正确，不符合题意；
如图，过点Q作于点H，
∵是的角平分线，，，
∴，
在中，，
∴，
故选D不正确，符合题意．
故答案为：D.
【分析】由作图得到是的角平分线，即可判断A；根据即可得到∠PQO=∠POQ=∠DOQ，即可根据内错角相等，两直线平行判断B选项；再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠PQD判断C选项；过点Q作于点H，根据角平分线的性质和垂线段最短判断D选项即可．
11．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：连接，与相交于点O，如图，
∵逆时针旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
∵，
∴B点在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，
在中，∵，，
∴，
在中，∵，，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】连接，与相交于点O，根据旋转可得，，进而可得为等边三角形，即可得到，再根据，可得垂直平分，再根据勾股定理计算出OB和OC'的长，解答即可．
12．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：，
∴，故①错误；
∴解析式为：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：或（舍去），
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，
∴其最大高度为：；故②正确；
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：或（舍去），
∴该抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B的坐标为，则点的坐标为，
即弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是，故③正确；
综上，正确的个数为2个．
故答案为：C.
【分析】利用待定系数法求出第一次着地前的抛物线解析式判断①；求出着地点的坐标，求出B处反弹后的最大高度判断②；求出反弹后抛物线的解析式，即可得到点C的坐标判断③解答即可．
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可知，从袋子中随机取出1个球共有10种等可能的结果，其中取出的球是红球的结果有3种，
根据概率公式可得，随机取出1个球是红球的概率为．
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可．
14．【答案】15x4y
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：．
故答案为：15x4y.
【分析】根据单项式乘单项式法则“系数与相同字母的分别相乘，只在一个单项式中出现的字母连同它的指数作为积的因式”计算即可．
15．【答案】16
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：16.
【分析】根据平方差公式计算即可．
16．【答案】4
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：函数向下平移个单位后，所得解析式为 ，
因为平移后的图象经过点，
将代入解析式得： ，
∴.
故答案为：4.
【分析】根据一次函数图象平移的规律“上加下减”得到平移后解析式，然后把点的坐标代入求出m的值即可.
17．【答案】（1）45
（2）6
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：45；
（2）过作于，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴（负值舍去），
设，则，
∵为边中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解，
∴．
故答案为：6.
【分析】（1）根据等边对等角可得，利用垂直的定义可得，然后根据角的和差解答即可；
（2）过作于，根据勾股定理求出，设，即可得到，，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出x的值解答即可．
18．【答案】（1）
（2）如图，取圆与水平格线交点E，连接EC 与水平格线交于点 F，取格点 G，连接FG 与水平格线交于点H，取格点I，连接IH 并延长与水平格线交于点J，连接JE 并延长与圆交于点 K，连接 KC与AD 交于点 M，则点 M 即为所求.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；作图﹣轴对称；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
【分析】(1)由勾股定理直接求解即可；
(2)作出点C关于过点D的直径的对称点K，则有DK=DC，则 再根据 可得
19．【答案】（1）x≤3
（2）x≥-2
（3）
（4）- 2≤x≤3.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得，
∴解不等式①，得；
故答案为：；
（2）解：
移项得，
合并同类项得，
系数化1得，
∴解不等式②，得；
故答案为：；
（4）解：由数轴可得原不等式组的解集为．
故答案为：．
【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不不等式即可；
（2）根据移项、合并同类项、系数化为1解不不等式即可；
（3）在数轴上表示两个不等式的解集；
（4）根据数轴上表示的公共解集解答即可.
20．【答案】（1）50；6；9；9
（2）观察条形统计图，
∴统计的这组学生每月的AI工具使用次数的平均数是9.
（3）∵在所抽取的样本中，每月的AI工具使用次数不低于10次的人数所占百分比为30%+6%=36%，
∴根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月的AI工具使用次数不低于10次的人数约占36%， 有1000×36%=360.
∴估计该校1000名学生中每月的AI工具使用次数不低于10次的人数约为360.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
，
∴，
统计的这组学生每月的工具使用次数最多的是9次，故众数是9，
中位数是第25、26个数据的平均数，第25、26个数据均是9次，故中位数是9；
故答案为：50；6；9；9.
【分析】（1）根据使用次的人数除以所占百分比求出的值，利用次的人数除以总数乘以100%求得的值，再根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）急用加权平均数的计算公式计算即可；
（3）用学生总数1000乘以每月的工具使用次数不低于10次的学生所占百分比解答．
21．【答案】（1）解： 连接CB.
∵∠ACD=20°， ∠BPC=56°，
∴∠BAC=∠BPC-∠ACD=56°-20°=36°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠ADC=∠B=54°
（2）解： 连接OD， OC.
∵QD 切⊙O于点D，
∴OD⊥QD.即∠ODQ=90°.
∵∠ACD=20°，
∴∠AOD=2∠ACD=40°.
∵PQ=DQ，
∴∠QPD=∠QDP=65°.
∵OC=OA=3，
∴∠ACO=∠BAC=45°. ∴∠AOC=90°.
在 Rt△AOC 中，
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接．根据三角形的外角性质可得．然后根据直径所对的圆周角是直角得到．再根据直角三角形的两锐角互余求出∠B，最后根据圆周角定理解答即可．
（2）连接，．根据切线的性质可得．进而根据直角三角形的两锐角互余得到．根据等边对等角可得，，然后根据勾股定理解答即可．
22．【答案】（1）解：如图， 过点 C作CD⊥AM.
根据题意，在Rt△ACD 中，
答：山腰上点 C 处距离地面的高度约为0.8km.
（2）解：如图， 分别过点C作CD⊥AM， CE⊥BM.
根据题意，有 BM⊥AM，则四边形 CDME 是矩形.
∴EM=CD=2×sin23°， CE=DM，BE长
设CE=DM=x.
在Rt△ACD中，
∴BE=CE·tan∠BCE=x·tan58°.
在 Rt△ACD中，
∴AD=AC·cos∠CAD=2×cos23°.
∴AM=AD+DM=2×cos23°+x， BM=BE+EM=x·tan58°+2×sin23°.
在 Rt△ABM中， ∠BAM=45°， ∠M=90°，
∴∠ABM=45°.∴∠ABM=∠BAM.∴AM=BM.
答：主峰BM 的高度约为3.5km.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点作，根据正弦的定义求出长即可；
（2）分别过点作，，即可得到四边形 CDME 是矩形，设，根据正切的定义求出BE长 ，在 Rt△ACD中根据余弦的额定义求出AD长，即可得到的长，然后根据AM=BM列方程求出x的值解答即可.
23．【答案】（1）0.8；2；1；0.2
（2）
（3）13【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）①：步行速度；
当时，；
：从文具店到菜市场的速度为：；
当时，处于菜市场停留阶段，；
：返程阶段的速度为：，
∴当时，．
故答案为：0.8；2；1；
②由①得，小明的妈妈从菜市场返回家的骑行速度为；
故答案为：0.2；
（2）由题意，当时的函数解析式分三段：
当时，；
当时，停留文具店，；
当时，设，代入，
∴，
∴，
∴．
综上：；
故答案为：；
（3）解：由题意，妈妈去文具店步行速度：，
妈妈从菜市场返程速度：，
∴小明骑车速度妈妈返程速度，
∴小明从学校到家总用时：，
∴小明离家距离：．
∴小明的妈妈离家的距离y关于时间x的函数解析式为，
由题意，令，
①当时，，
解得，不符合；
②当时，，
解，不符合；
③当时，，
解得，
∴．
综上，当时，．
故答案为：.
【分析】（1）①根据图象得到相关信息计算即可；
②根据①中计算解答即可；
（2）分为，，三种情况列出函数关系式即可；
（2）依据题意，先求出小明离家距离关于x的函数关系式，再结合（2）小明的妈妈离家的距离y关于时间x的函数解析式，令，求出x的取值范围即可．
24．【答案】（1）(1，)；(4，)
（2）解：①设，由折叠可知，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
如图，过点D作轴于点F，则，
在中，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，同理可得边长为的等边三角形面积，
当点D与点C重合时，，为等边三角形，
∴，即；
当点E与点B重合时，根据可得点P与点A重合，，即，
∴t的取值范围是；
（3）
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：如图①，过点B作轴于H，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴向左平移得；
故答案为：(1，)；(4，)；
（3）解：分以下三种情况讨论：
当时，如图，设交于F，交于G，重叠部分为五边形，连接，过点C作于H，过点G作于K，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
由折叠得：，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，由①得，
∴，
∵，，
∴；
当时，重叠部分为等边三角形，如图，
∴由①得；
当时，设交于D，交于E，重叠部分为，如图，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴由①得，
∵，，
∴；
综上所述，当时，S的取值范围是．
故答案为：.
【分析】（1）过点B作轴于H，利用解直角三角形求得点B的坐标，再根据平行四边形的性质求得点C的坐标即可；
（2）设，根据平行四边形的性质得到是等边三角形．过点D作轴于点F，根据正弦的定义即可求得PD长，然后根据三角形面积公式解答即可；
（3）当时， 设交于F，交于G，重叠部分为五边形，连接，过点C作于H，过点G作于K， 得到△FPO和△FPO'是等边三角形，然后根据列函数关系式，根据增减性解答；当时，重叠部分为等边三角形，即S=；当时，设交于D，交于E，重叠部分为，根据等边三角形的性质得到函数关系式，根据 增减性解答即可．
25．【答案】（1）当m=2时，抛物线解析式为
由 知抛物线的顶点 D 坐标为(2，-9).
当y=0时， 解得
∴点B的坐标为(5，0).
当x=0时， y=-5. ∴点C的坐标为(0，-5)
（2）解：过点 P作 PQ⊥CB， PE⊥x轴，交CB于点 E.
∵C(0， - 5) ， B (5， 0) ， ∴OC=OB=5.
∵∠COB=90°， ∴ ∠OCB=∠OBC=45°.
∵PE⊥x轴， ∴PE∥OC. ∴ ∠PEQ=∠OCB=45°.
在Rt△PQE中，有∠QPE=45°.
∴当PE取最大值时，直线l与直线CB之间的距离 PQ取得最大值.
由C(0， - 5)， B (5， 0)得直线 CB的解析式为y=x-5.
∴E(t， t-5).
∵点P在抛物线上，
∴当 时，EP取得最大值 .此时点P的坐标是
（3）解：同①可得， C(0， - 2m-1) ， B(2m+1， 0) ， A(-1， 0) ，直线CB的解析式为y=x-2m-1.由 可知，点 作点 D 关于y轴的对称点 有CD=CD'.
∴CB+CD=CB+CD'，即点 D'， C， B在一条直线上时， CB+CD取得最小值.
解得 (舍去) ，
∴抛物线解析式为 点C(0， - 3) ， B (3， 0).∴OB=OC.
取点I(1，0) ，有OA=OI=1，可知OA 垂直平分AI.
∴AC=IC.∴∠ICO=∠ACO.即∠ACI=2∠ACO.
∴∠CBM=∠ACB-2∠ACO=∠ACB-∠ACI=∠ICB.
①当点M在直线CB下方时，可知CI∥MB.
由点C(0， - 3) ， I(1，0)得直线 CI的解析式为y=3x-3.
∴直线 MB 的解析式可表示为y=3x+b.
把点 B (3， 0)代入可解得b=-9.
∴直线 MB 的解析式为y=3x-9.
当 时，解得 (与点 B 重合，不合题意舍去)，
∴点 M的坐标为(2， - 3).
②当点M在直线CB上方时，设MB与y轴相交于点 N.
由∠OCB=∠OBC=45°， ∠CBM=∠ICB，可知∠OCI=∠OBM.
又∠IOC=∠BON=90°， OB=OC，有△BON≌△COI. ∴ON=OI=1.
∴N(0， - 1).
∴直线 MB 的解析式为
当 时，解得 (与点B 重合，不合题意舍去)，
∴点 M的坐标为
综上，满足条件的点 M的坐标为
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）把代入得到抛物线的解析式，然后配方为顶点式，即可得到顶点坐标，然后分别令代入，求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可；
（2）过点作，轴，交于点，即可得到是等腰直角三角形，先求出直线BC 的解析式，然后设E(t， t-5)，则然后得到EP关于t的函数关系式，配方得到最值解答即可；
（3）同①可得A，B，C 的坐标，求出直线的解析式为，即可得到点D的坐标，作点关于轴的对称点D'，有．即可得到，当点，，在一条直线上时，取得最小值，把D'坐标代入求出m的值，得到抛物线解析式，取点，连接，推理得到．当点在直线下方时，可知；当点在直线上方时，设与轴相交于点，根据ASA得到，即可得到，再求出直线的解析式与抛物线的解析式联立求交点坐标即可．
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