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四川南充市2026年中考名校联测（三）数学试题
1．下列式子，计算结果等于 a6的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方运算法则逐项判断解答即可．
2．若x+y=0， xy≠0，则下列式子不一定成立的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，且，．
对选项A∶，等式一定成立．
对选项B∶ ，等式一定成立．
对选项C∶将代入得，右边，等式变为，即，得，与矛盾，等式不成立，因此不一定成立．
对选项D∶∵，∴，等式一定成立．
故答案为：C.
【分析】根据已知可得且，，再将代入选项逐项验证解答即可．
3．如图，点A， B在直线l1上，点C， D在直线l2， l1∥l2，AD⊥BC.若∠ADC=36°，则∠ABC的度数为(　　)
A．36° B．54° C．44° D．46°
【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设交于点O，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】由垂直的定义得到∠COD=90°，然后根据直角三角形的两锐角互余得到的度数，再由两直线平行，内错角相等解答即可．
4．如图，是由5个相同的正方体组成的几何体.它的主视图是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解： 由5个相同的正方体组成的几何体的主视图是：
；
故答案为：A.
【分析】根据从正面看到的几何图形是主视图即可.
5．关于x的方程 有两个不相等的实数根x1，x2，若 则实数k= (　　)
A．0 B．3 C．- 3 D．0，或-3
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴，
代入计算得 ，
解得 ，
根据根与系数的关系可得 ，，
∵，
∴ 代入得 ，
整理得 ，即 ，
解得 或 ，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】一元二次方程根的情况得到，求出k的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，，然后整体代入求出k的值解答即可．
6．如图，在 ABCD中， ∠B=70°， BC=6，以AD为直径的⊙O与CD交于E，则弧 DE的长为(　　)
A． B． C． D．π
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接
中，，，以为直径的交于点，
，，，
，
∴，，
的长为：
故答案为：A.
【分析】连接根据平行四边形的对角相等得到，再利用等边对等角和三角形的内角和定理求出∠DOE，根据弧长公式计算即可．
7．若实数a，b互为倒数，则代数式 的值是(　　)
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的倒数；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，互为倒数，
∴，可得
对原式通分并化简：
，
故答案为：A.
【分析】利用倒数的定义得到，即可得到，然后通分，再整体代入解答即可．
8．一个不透明的袋中装有大小质感等相同的 1个红球，2个黄球.先从袋中随机摸出1个，放回摇匀，再从袋中随机摸出1个.第一次摸到红球，第二次摸到黄球的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况共有种，
第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为．
故答案为：B.
【分析】画出树状图得到所有等可能情况，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
9．如图，正方形ABCD中，点E在 BD上， BE=BC， CE的延长线与AD交于F， BG⊥AE与AD交于G，与AC交于H.下列结论，不正确的是(　　)
A．△ABG与△DCF 成轴对称 B．OE=OH
C．∠AEF=45° D．AE与GH不一定互相垂直平分
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，，，，
在和中
，
．
，
，
又，
，
．
在与中：
．
正方形沿对边中点连线折叠，与、与重合，两三角形完全重合，故、成轴对称．正确，不符合题意．
由，，，
，
．
，，
．正确，不符合题意．
，，
，
，，
．
，，
．
．正确，不符合题意．
设与交于点．
四边形是正方形，
，
，
．
，
由等腰三角形三线合一可得：垂直平分，
∵，，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
与一定互相垂直平分．
选项D描述与不一定互相垂直平分和推导结论矛盾，
D选项错误，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质，根据SAS得到，即可得到哦啊∠DAE=∠DCE，然后根据ASA得到判定A正确．根据ASA得到，即可得到，即可得到判定B；根据等边对等角和三角形的内角和定理、以及平角的定义得到，判定C；设与交于点．根据三线合一得，利用正方形的性质得到，进而可得与垂直平分判断D解答即可.
10．在直角坐标系 xOy 中，抛物线 与直线 y2： y= kx 交于 A， B 两点，线段CD 的端点分别在线段 AB 和抛物线上，并与x轴垂直.下列说法：①抛物线的顶点最高为(0， - 4)； ②CD的最大值与k无关； ③若A为抛物线的顶点（点A在点B的左侧），则k=±4； ④OA=OB总能成立； ⑤当对应函数值y1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的两点距离公式；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：联立抛物线与直线方程：，
化简得，
解得或，
即交点恒为，
①对抛物线配方得，
顶点坐标为，顶点纵坐标，
，
，
当时，取最大值，此时顶点为，故①正确．
②设横坐标为，
轴，
，长度为，
，
（在线段上），
，最大值为，与无关，故②正确．
③若为抛物线顶点，即，
解得，故③错误．
④交点为，
，，
恒成立，故④正确．
⑤即，化简得，解得，故⑤正确．
综上，①②④⑤都正确．
故答案为：D.
【分析】先联立抛物线与直线解析式求出交点坐标，把抛物线化为顶点式，得到顶点的纵坐标，根据纵坐标的顶点得到最大值判定①，设横坐标为，根据两点之间的距离得出CD长关于x的函数关系式，求出最大值即判定②；根据顶点的横坐标与点A的横坐标相等列方程求出k的值判断③；根据平面直角坐标系中两点间的距离得出长判定④，根据得出，解不等式求出x的取值范围可判断⑤解答即可．
11．分解因式： 　 　.
【答案】2m(m-1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：2m(m-1)2．
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
12．下表记录了数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学最近几次拓展训练数学成绩的平均分与方差.要推选一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校比赛，应推选　 　.
　 甲 乙 丙 丁
平均分 92 95 95 92
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
【答案】乙
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由表中数据可知，乙和丙的平均分高于甲和丁的平均分，因此乙和丙的成绩更好，
∵3.6<7.4，即乙的方差小于丙的方差，
∴乙的发挥比丙更稳定，
因此应推选乙．
故答案为：乙.
【分析】先比较平均数选出成绩较好的同学，再根据方差越小，成绩越稳定解答即可．
13．如图， PA切⊙O于A，半径OB∥PA， PA=6， OB=4.连接PB，则tanP的值为　 　.
【答案】
【知识点】切线的性质；求正切值；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接交于点C，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：.
【分析】连接交于点C，根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出AC长，再根据切线的定义求出∠OAP=90°，然后根据正切的定义解答即可．
14．某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中1球得5分(称“五分球”)，在较近位置投中1球得3分(称“三分球”)，未投中得0分.小敏同学共投篮20次，其中3次未投中，最终得分不低于70分.若设小敏同学投中了x个五分球，则可列出的不等式为　 　.
【答案】5x+3(20-3-x) ≥70
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：小敏同学投中了个五分球，投中了个三分球，
由题意得：．
故答案为：．
【分析】设小敏同学投中了个五分球，根据“ 共投篮20次，其中3次未投中，最终得分不低于70分 ”列不等式解答即可.
15．如图，菱形OABC的顶点A (m， - 2)， C (n， 6)在同一双曲线上.若点B (a， a)，则O，B两点间的距离为　 　.
【答案】
【知识点】点的坐标；菱形的性质；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：连接，．
四边形是菱形，
对角线、互相平分，设交点为，则既是线段的中点，也是线段的中点．
，点，为中点，
点坐标为．
，，是中点，
根据中点坐标公式：
，
解得，
．
由勾股定理：
．
故答案为：.
【分析】利用菱形性质得到与中点相同；根据中点公式求出a，即可得到点B点坐标，然后根据两点间距离公式计算即可．
16．如图，在四边形ABCD中， AB=BC=6， ∠ABC=60°， ∠ADC=90°，对角线AC与BD交于 E，若BE=3DE，则BD=　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作于点，连接.
，
．
．
，，
为等边三角形，
．
，
．
∴，
，
，
，点为中点，
∴，
．
．
故答案为：．
【分析】过点作于点，过点作于点，连接，利根据平行线分线段成比例求出BM=3MN，然后得到△ABC是等边三角形，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理得到CM和BM长，利用直角三角形斜边中线的性质求出长，再根据30° 直角三角形解答即可．
17． 计算：
【答案】解：原式
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】先根据平方差公式把分子分解因式，分母先提取公式因，然后分解因式约分，然后通分化简解答即可.
18． 如图， AD是△ABC的中线， ∠1=2∠2. CE⊥AD于E， BF⊥AD于F.求证： BC=2EF.
【答案】证明：如图，
∵CE⊥AD， BF⊥AD， ∴∠3=∠5=90°.
∵∠2=∠4， CD=BD，
∴△CDE≌△BDF (AAS).
∴DE=DF.
∵∠1=2∠2， ∠1+∠2=180°，
∴3∠2=180°. ∴∠2=60°.
∴∠6=30°.
∴CD=2DE.
∴BC=2EF.
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据AAS得到△CDE≌△BDF ，即可得到DE=DF，然后根据∠1=2∠2得到∠2=60°，即可得到∠6=30°，根据30°的直角三角形的性质得到CD=2DE，即可证明结论即可.
19．某公司对用户满意度进行问卷调查，将连续6天收回的问卷进行统计，其中问卷数目统计如图.已知从左到右各矩形的高度比为 2：3：4：6：4：1，第 3 天的份数是120.请你回答：
（1）本次活动共收回问卷多少份
（2）市场部对收回的问卷统一进行了编号，通过电脑程序随机抽选一个编号，抽到问卷是第4天收回的概率是多少
（3）按照(2)中的模式随机抽选若干编号，确定幸运用户发放纪念奖.第4天和第6天分别设置100份和20份获奖.你认为这两天中哪天获奖概率较高 请通过计算说明.
【答案】（1）解：共收回问卷 (份).
（2）解：第4天收回问卷 (份)，
∴P (抽到第4天收回问卷)
（3）解：P(第4天收回问卷获奖)
P(第6天收回问卷获奖)
∴第6天收回问卷获奖概率较高.
【知识点】频数（率）分布直方图；概率公式；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）根据第三组的频数除以频率求出总件数；
（2）根据概率公式计算即可；
（3）分别根据概率公式求出第4天和第6天收回问卷获奖的概率，比较大小解答即可．
20．m为实数，关于x的方程为
（1）判断方程根的情况.
（2）若方程的两根为x1， x2，当 时，求m的值.
【答案】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为x2+(m-2)x+1-m=0.
无论m为何实数，m2都是非负数.即△≥0.
∴原方程总有两个实数根.
（2）解：由(1)，原方程的根
∴x=1，或x=1-m.
若2×1-(1-m) =3，则2-1+m=3. ∴m=2.
若2(1-m)-1=3，则2-2m-1=3. ∴m=-1.
综上， m的值为2，或-1.
【知识点】公式法解一元二次方程；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，然后判断方程根的情况解答即可；
（2）根据求根公式求出x的值，根据条件 列方程求出m的值解答即可．
21． 如图，直线y=ax+b与双曲线 交于A (2m， 3m)， B (6， m)，与x轴交于C，与y轴交于D.点E在线段AB上， EF⊥x轴于 F.
（1）求双曲线的解析式.
（2）当△OEF面积最大时，求证△OEF∽△CDO.
【答案】（1）解：由双曲线，得k=2m×3m=6×m.
∴m=0(舍)，或m=1.
∴A (2， 3)， B (6， 1).
∴k=2×3=6.
∴双曲线的解析式为
（2）证明：将A，B两点坐标代入直线，得
解得
∴直线 CD的解析式为
∴C (8， 0)， D (0， 4).
设
∵EF⊥x轴，
当n=4时， S△OEF取到最大值4.
此时 E(4， 2).
∴E是线段CD的中点.
∴∠EOC=∠ECO.
∴△OEF∽△CDO.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）把A、B两点坐标代入解析式，求出m和k的值解答即可；
（2）根据待定系数法求出直线的解析式，即可得到C、D两点的坐标；设，根据三角形的面积公式得到的面积关于n的函数解析式，配方为顶点式可求得面积的最大值及此时点E的坐标，即可得到OE=CE，然后根据两角对应相等的两三角形相似证明结论．
22．如图， AB是⊙O的直径， C是左半圆上的动点， CD⊥AB于D， ∠OCD的平分线与⊙O交于E.
（1）求证：E为定点.(点E不随点C位置变化而改变)
（2）若 试求CE的长.
【答案】（1）证明：连接OE.
则OE=OC.
∴∠OEC=∠OCE.
∵∠OCE=∠DCE，
∴∠OEC=∠DCE.
∴OE∥CD.
∵CD⊥AB，
∴OE⊥AB.
∴E为右半圆的中点.
即 E为定点.
（2）解：连接AE，作AH⊥CE于H.
由((1)，
，
．
【知识点】圆周角定理；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）根据等边对等角和角平分线的定义得到，即可得到，进而可得，证明结论即可．
（2）连接，作于．在求出，然后根据是等腰直角三角形此求出，然后根据勾股定理求出EH长，再根据线段的和差解答即可．
23．某古镇名店用传统手艺制作一种特色食品.根据每天产量采取浮动价格，成品均能售完.每千克生产成本p (元)与日产量x(kg)之间的关系为 每千克售价q (元)与日产量x(kg)之间的关系可用如图中的线段AB表示.
（1）求线段AB的函数解析式.
（2）要获得日销售最大利润，求销售单价和日产量.
（3）求日销售利润和日销售额的范围.
【答案】（1）解：设线段 AB 的函数解析式为q= kx+b.
将A(60， 70)， B (120， 50)代入，得
解得
∴线段 AB 的函数解析式为
（2）解：日销售利润
当x=90时，日销售最大利润w=1350.
销售单价
即要获得日销售最大利润，销售单价为60元/kg，日产量为90kg.
（3）解：由(2)，当x=60时，
当x=120时，
即日销售利润的范围为1200≤w≤1350.
日销售额
当x=60时，
当x=120时，
即日销售额的范围为4200≤m≤6000.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）根据“日销售利润=(每千克售价-成本)×日产数量”列函数关系式，配方得到最大值，然后求出销售单价解答即可；
（3）根据日产数量的范围求出日销售利润的范围；再根据日销售额的函数解析式，根据函数的增减性，求出日销售额取值范围即可．
24． 如图，在矩形ABCD中， AB=8， AD=6，点E在折线BCD上运动.将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC.
（1）当AF最长时，完善图形，求CF的长.
（2）点E从点 B 运动到点 D的过程中，求点 F的运动路径长度，并求DF的最小值.
【答案】（1）解：如图1，由旋转， AF=AE.
AE最长时， AF才最长. AE最长等于AC.
作 FG⊥AC于G.
∵ABCD是矩形， ∴BC=AD=6， ∠B=90°.
∴∠3=∠B.
∵∠1=∠2，
∴△AFG≌△ACB (AAS).
∴AG=AB=8， GF=BC=6.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=10.
∴GC=10-8=2.
在 Rt△GFC中，由勾股定理，得
（2）解：如图2，点 E在点 B处时，点 F在点 G处.
点E在点 C处时，点 F在点 F1处.
点 E在点 D处时，点 F在点 F2处.
点 F 的运动路径为折线GF1F2.
∵∠4=∠2=∠1，
∴∠F2AF1=∠DAC.
∴△F2AF1≌△DAC(SAS).
∴点 F的运动路径长为
又∠5=∠6=∠2=∠1，
F2F1∥AC.
过点 D 作 FH⊥AC于 H，与 F1F2交于 F.则 FH⊥F1F2.
此时 DF 最小，
由AC·DH=AD·DC=2S△ADC，得10DH=6×8.
∴DH=4.8.
∴DF=1.2．
即 DF的最小值为1.2.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；矩形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据最长，则最长，最长为，即可得到，作于，根据矩形的性质，利用AAS得到，即可得哦大，，根据勾股定理求出，即可得到，再利用勾股定理求出的长解答即可．
（2）分别确定点E在点B、C、D时点F的位置，即可得到点的运动路径为折线，根据SAS打得到，即可得到，求出点的运动路径长为．根据，得到．过点作于，与交于，则，此时最小，根据等积变形得到DH长，即可求出DF长解答即可．
25． 如图，抛物线经过A (1， 0)， B (0， - 2)， C (-1， - 5).抛物线上点D满足，以D，A，B为顶点的三角形与△OAB 相似.
（1）求抛物线的解析式.
（2）求点 D 的坐标.
（3）如图2，抛物线上两动点E，F，满足BE⊥BF.请证明直线EF必经过一个定点G，并求△BDG的面积.
【答案】（1）解：∵点B (0， - 2)在y轴上，可设抛物线为 将A，C两点坐标代入，得
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图1， △OAB为直角三角形， OA=1， OB=2.
当∠BAD=90°时，作 DH⊥x轴于H，则∠1=∠AOB.
∵∠HDA+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠HDA=∠3.
∴△HAD∽△OAB.
设HD=m， HA=2m. ∴OH=2m+1.
则 D(2m+1， - m).代入抛物线，得
解得m=0(舍)，或m=2.
∴D (5， - 2).
此时， BD∥x轴.则∠4=∠3.
∴△ABD∽△OAB.满足条件.
当∠ABD'=90°时， BD'>BD>AD=2AB.
△BAD'与△OAB不会相似.
当∠ADB=90°时，点 D 在以AB为直径的圆上.
由图象，此时点 D 不会在抛物线上.
综上.点 D 的坐标为(5， - 2).
（3）解：如图2，作EI⊥y轴于I，作 FJ⊥y轴于 J.
则△IEB∽△JBF.
设 显然e≠f.
则
∴(e-5)(f-5) =-4.
∴ef=5(e+f-5) - 4. ①
设直线 EF 为y= kx+t.则
，
∴直线 EF 为
即
当x=5时， y=4.与e， f均无关.
∴直线 EF 必经过一个定点 G(5，-4).
则
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）当∠BAD=90°时，作 DH⊥x轴于H，根据两角对应相等得到△HAD∽△OAB，根据对应边成比例设设HD=m， HA=2m，即可得到点D的坐标，代入抛物线解析式求出m的值；然后考虑∠ABD'=90°，∠ADB=90°时不存在解答即可；
（3）作轴于，作轴于，根据平行线得到△IEB∽△JBF，根据对应边成比例得到，设点 求出直线EF的解析式，然后整理得到定点坐标即可.
1 / 1四川南充市2026年中考名校联测（三）数学试题
1．下列式子，计算结果等于 a6的是(　　)
A． B． C． D．
2．若x+y=0， xy≠0，则下列式子不一定成立的是(　　)
A． B． C． D．
3．如图，点A， B在直线l1上，点C， D在直线l2， l1∥l2，AD⊥BC.若∠ADC=36°，则∠ABC的度数为(　　)
A．36° B．54° C．44° D．46°
4．如图，是由5个相同的正方体组成的几何体.它的主视图是(　　)
A． B． C． D．
5．关于x的方程 有两个不相等的实数根x1，x2，若 则实数k= (　　)
A．0 B．3 C．- 3 D．0，或-3
6．如图，在 ABCD中， ∠B=70°， BC=6，以AD为直径的⊙O与CD交于E，则弧 DE的长为(　　)
A． B． C． D．π
7．若实数a，b互为倒数，则代数式 的值是(　　)
A．1 B．2 C． D．
8．一个不透明的袋中装有大小质感等相同的 1个红球，2个黄球.先从袋中随机摸出1个，放回摇匀，再从袋中随机摸出1个.第一次摸到红球，第二次摸到黄球的概率是(　　)
A． B． C． D．
9．如图，正方形ABCD中，点E在 BD上， BE=BC， CE的延长线与AD交于F， BG⊥AE与AD交于G，与AC交于H.下列结论，不正确的是(　　)
A．△ABG与△DCF 成轴对称 B．OE=OH
C．∠AEF=45° D．AE与GH不一定互相垂直平分
10．在直角坐标系 xOy 中，抛物线 与直线 y2： y= kx 交于 A， B 两点，线段CD 的端点分别在线段 AB 和抛物线上，并与x轴垂直.下列说法：①抛物线的顶点最高为(0， - 4)； ②CD的最大值与k无关； ③若A为抛物线的顶点（点A在点B的左侧），则k=±4； ④OA=OB总能成立； ⑤当对应函数值y1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．分解因式： 　 　.
12．下表记录了数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学最近几次拓展训练数学成绩的平均分与方差.要推选一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校比赛，应推选　 　.
　 甲 乙 丙 丁
平均分 92 95 95 92
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
13．如图， PA切⊙O于A，半径OB∥PA， PA=6， OB=4.连接PB，则tanP的值为　 　.
14．某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中1球得5分(称“五分球”)，在较近位置投中1球得3分(称“三分球”)，未投中得0分.小敏同学共投篮20次，其中3次未投中，最终得分不低于70分.若设小敏同学投中了x个五分球，则可列出的不等式为　 　.
15．如图，菱形OABC的顶点A (m， - 2)， C (n， 6)在同一双曲线上.若点B (a， a)，则O，B两点间的距离为　 　.
16．如图，在四边形ABCD中， AB=BC=6， ∠ABC=60°， ∠ADC=90°，对角线AC与BD交于 E，若BE=3DE，则BD=　 　.
17． 计算：
18． 如图， AD是△ABC的中线， ∠1=2∠2. CE⊥AD于E， BF⊥AD于F.求证： BC=2EF.
19．某公司对用户满意度进行问卷调查，将连续6天收回的问卷进行统计，其中问卷数目统计如图.已知从左到右各矩形的高度比为 2：3：4：6：4：1，第 3 天的份数是120.请你回答：
（1）本次活动共收回问卷多少份
（2）市场部对收回的问卷统一进行了编号，通过电脑程序随机抽选一个编号，抽到问卷是第4天收回的概率是多少
（3）按照(2)中的模式随机抽选若干编号，确定幸运用户发放纪念奖.第4天和第6天分别设置100份和20份获奖.你认为这两天中哪天获奖概率较高 请通过计算说明.
20．m为实数，关于x的方程为
（1）判断方程根的情况.
（2）若方程的两根为x1， x2，当 时，求m的值.
21． 如图，直线y=ax+b与双曲线 交于A (2m， 3m)， B (6， m)，与x轴交于C，与y轴交于D.点E在线段AB上， EF⊥x轴于 F.
（1）求双曲线的解析式.
（2）当△OEF面积最大时，求证△OEF∽△CDO.
22．如图， AB是⊙O的直径， C是左半圆上的动点， CD⊥AB于D， ∠OCD的平分线与⊙O交于E.
（1）求证：E为定点.(点E不随点C位置变化而改变)
（2）若 试求CE的长.
23．某古镇名店用传统手艺制作一种特色食品.根据每天产量采取浮动价格，成品均能售完.每千克生产成本p (元)与日产量x(kg)之间的关系为 每千克售价q (元)与日产量x(kg)之间的关系可用如图中的线段AB表示.
（1）求线段AB的函数解析式.
（2）要获得日销售最大利润，求销售单价和日产量.
（3）求日销售利润和日销售额的范围.
24． 如图，在矩形ABCD中， AB=8， AD=6，点E在折线BCD上运动.将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC.
（1）当AF最长时，完善图形，求CF的长.
（2）点E从点 B 运动到点 D的过程中，求点 F的运动路径长度，并求DF的最小值.
25． 如图，抛物线经过A (1， 0)， B (0， - 2)， C (-1， - 5).抛物线上点D满足，以D，A，B为顶点的三角形与△OAB 相似.
（1）求抛物线的解析式.
（2）求点 D 的坐标.
（3）如图2，抛物线上两动点E，F，满足BE⊥BF.请证明直线EF必经过一个定点G，并求△BDG的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方运算法则逐项判断解答即可．
2．【答案】C
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，且，．
对选项A∶，等式一定成立．
对选项B∶ ，等式一定成立．
对选项C∶将代入得，右边，等式变为，即，得，与矛盾，等式不成立，因此不一定成立．
对选项D∶∵，∴，等式一定成立．
故答案为：C.
【分析】根据已知可得且，，再将代入选项逐项验证解答即可．
3．【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设交于点O，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】由垂直的定义得到∠COD=90°，然后根据直角三角形的两锐角互余得到的度数，再由两直线平行，内错角相等解答即可．
4．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解： 由5个相同的正方体组成的几何体的主视图是：
；
故答案为：A.
【分析】根据从正面看到的几何图形是主视图即可.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴，
代入计算得 ，
解得 ，
根据根与系数的关系可得 ，，
∵，
∴ 代入得 ，
整理得 ，即 ，
解得 或 ，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】一元二次方程根的情况得到，求出k的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，，然后整体代入求出k的值解答即可．
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接
中，，，以为直径的交于点，
，，，
，
∴，，
的长为：
故答案为：A.
【分析】连接根据平行四边形的对角相等得到，再利用等边对等角和三角形的内角和定理求出∠DOE，根据弧长公式计算即可．
7．【答案】A
【知识点】有理数的倒数；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，互为倒数，
∴，可得
对原式通分并化简：
，
故答案为：A.
【分析】利用倒数的定义得到，即可得到，然后通分，再整体代入解答即可．
8．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况共有种，
第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为．
故答案为：B.
【分析】画出树状图得到所有等可能情况，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，，，，
在和中
，
．
，
，
又，
，
．
在与中：
．
正方形沿对边中点连线折叠，与、与重合，两三角形完全重合，故、成轴对称．正确，不符合题意．
由，，，
，
．
，，
．正确，不符合题意．
，，
，
，，
．
，，
．
．正确，不符合题意．
设与交于点．
四边形是正方形，
，
，
．
，
由等腰三角形三线合一可得：垂直平分，
∵，，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
与一定互相垂直平分．
选项D描述与不一定互相垂直平分和推导结论矛盾，
D选项错误，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质，根据SAS得到，即可得到哦啊∠DAE=∠DCE，然后根据ASA得到判定A正确．根据ASA得到，即可得到，即可得到判定B；根据等边对等角和三角形的内角和定理、以及平角的定义得到，判定C；设与交于点．根据三线合一得，利用正方形的性质得到，进而可得与垂直平分判断D解答即可.
10．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的两点距离公式；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：联立抛物线与直线方程：，
化简得，
解得或，
即交点恒为，
①对抛物线配方得，
顶点坐标为，顶点纵坐标，
，
，
当时，取最大值，此时顶点为，故①正确．
②设横坐标为，
轴，
，长度为，
，
（在线段上），
，最大值为，与无关，故②正确．
③若为抛物线顶点，即，
解得，故③错误．
④交点为，
，，
恒成立，故④正确．
⑤即，化简得，解得，故⑤正确．
综上，①②④⑤都正确．
故答案为：D.
【分析】先联立抛物线与直线解析式求出交点坐标，把抛物线化为顶点式，得到顶点的纵坐标，根据纵坐标的顶点得到最大值判定①，设横坐标为，根据两点之间的距离得出CD长关于x的函数关系式，求出最大值即判定②；根据顶点的横坐标与点A的横坐标相等列方程求出k的值判断③；根据平面直角坐标系中两点间的距离得出长判定④，根据得出，解不等式求出x的取值范围可判断⑤解答即可．
11．【答案】2m(m-1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：2m(m-1)2．
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
12．【答案】乙
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由表中数据可知，乙和丙的平均分高于甲和丁的平均分，因此乙和丙的成绩更好，
∵3.6<7.4，即乙的方差小于丙的方差，
∴乙的发挥比丙更稳定，
因此应推选乙．
故答案为：乙.
【分析】先比较平均数选出成绩较好的同学，再根据方差越小，成绩越稳定解答即可．
13．【答案】
【知识点】切线的性质；求正切值；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接交于点C，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：.
【分析】连接交于点C，根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出AC长，再根据切线的定义求出∠OAP=90°，然后根据正切的定义解答即可．
14．【答案】5x+3(20-3-x) ≥70
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：小敏同学投中了个五分球，投中了个三分球，
由题意得：．
故答案为：．
【分析】设小敏同学投中了个五分球，根据“ 共投篮20次，其中3次未投中，最终得分不低于70分 ”列不等式解答即可.
15．【答案】
【知识点】点的坐标；菱形的性质；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：连接，．
四边形是菱形，
对角线、互相平分，设交点为，则既是线段的中点，也是线段的中点．
，点，为中点，
点坐标为．
，，是中点，
根据中点坐标公式：
，
解得，
．
由勾股定理：
．
故答案为：.
【分析】利用菱形性质得到与中点相同；根据中点公式求出a，即可得到点B点坐标，然后根据两点间距离公式计算即可．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作于点，连接.
，
．
．
，，
为等边三角形，
．
，
．
∴，
，
，
，点为中点，
∴，
．
．
故答案为：．
【分析】过点作于点，过点作于点，连接，利根据平行线分线段成比例求出BM=3MN，然后得到△ABC是等边三角形，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理得到CM和BM长，利用直角三角形斜边中线的性质求出长，再根据30° 直角三角形解答即可．
17．【答案】解：原式
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】先根据平方差公式把分子分解因式，分母先提取公式因，然后分解因式约分，然后通分化简解答即可.
18．【答案】证明：如图，
∵CE⊥AD， BF⊥AD， ∴∠3=∠5=90°.
∵∠2=∠4， CD=BD，
∴△CDE≌△BDF (AAS).
∴DE=DF.
∵∠1=2∠2， ∠1+∠2=180°，
∴3∠2=180°. ∴∠2=60°.
∴∠6=30°.
∴CD=2DE.
∴BC=2EF.
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据AAS得到△CDE≌△BDF ，即可得到DE=DF，然后根据∠1=2∠2得到∠2=60°，即可得到∠6=30°，根据30°的直角三角形的性质得到CD=2DE，即可证明结论即可.
19．【答案】（1）解：共收回问卷 (份).
（2）解：第4天收回问卷 (份)，
∴P (抽到第4天收回问卷)
（3）解：P(第4天收回问卷获奖)
P(第6天收回问卷获奖)
∴第6天收回问卷获奖概率较高.
【知识点】频数（率）分布直方图；概率公式；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）根据第三组的频数除以频率求出总件数；
（2）根据概率公式计算即可；
（3）分别根据概率公式求出第4天和第6天收回问卷获奖的概率，比较大小解答即可．
20．【答案】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为x2+(m-2)x+1-m=0.
无论m为何实数，m2都是非负数.即△≥0.
∴原方程总有两个实数根.
（2）解：由(1)，原方程的根
∴x=1，或x=1-m.
若2×1-(1-m) =3，则2-1+m=3. ∴m=2.
若2(1-m)-1=3，则2-2m-1=3. ∴m=-1.
综上， m的值为2，或-1.
【知识点】公式法解一元二次方程；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，然后判断方程根的情况解答即可；
（2）根据求根公式求出x的值，根据条件 列方程求出m的值解答即可．
21．【答案】（1）解：由双曲线，得k=2m×3m=6×m.
∴m=0(舍)，或m=1.
∴A (2， 3)， B (6， 1).
∴k=2×3=6.
∴双曲线的解析式为
（2）证明：将A，B两点坐标代入直线，得
解得
∴直线 CD的解析式为
∴C (8， 0)， D (0， 4).
设
∵EF⊥x轴，
当n=4时， S△OEF取到最大值4.
此时 E(4， 2).
∴E是线段CD的中点.
∴∠EOC=∠ECO.
∴△OEF∽△CDO.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）把A、B两点坐标代入解析式，求出m和k的值解答即可；
（2）根据待定系数法求出直线的解析式，即可得到C、D两点的坐标；设，根据三角形的面积公式得到的面积关于n的函数解析式，配方为顶点式可求得面积的最大值及此时点E的坐标，即可得到OE=CE，然后根据两角对应相等的两三角形相似证明结论．
22．【答案】（1）证明：连接OE.
则OE=OC.
∴∠OEC=∠OCE.
∵∠OCE=∠DCE，
∴∠OEC=∠DCE.
∴OE∥CD.
∵CD⊥AB，
∴OE⊥AB.
∴E为右半圆的中点.
即 E为定点.
（2）解：连接AE，作AH⊥CE于H.
由((1)，
，
．
【知识点】圆周角定理；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）根据等边对等角和角平分线的定义得到，即可得到，进而可得，证明结论即可．
（2）连接，作于．在求出，然后根据是等腰直角三角形此求出，然后根据勾股定理求出EH长，再根据线段的和差解答即可．
23．【答案】（1）解：设线段 AB 的函数解析式为q= kx+b.
将A(60， 70)， B (120， 50)代入，得
解得
∴线段 AB 的函数解析式为
（2）解：日销售利润
当x=90时，日销售最大利润w=1350.
销售单价
即要获得日销售最大利润，销售单价为60元/kg，日产量为90kg.
（3）解：由(2)，当x=60时，
当x=120时，
即日销售利润的范围为1200≤w≤1350.
日销售额
当x=60时，
当x=120时，
即日销售额的范围为4200≤m≤6000.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）根据“日销售利润=(每千克售价-成本)×日产数量”列函数关系式，配方得到最大值，然后求出销售单价解答即可；
（3）根据日产数量的范围求出日销售利润的范围；再根据日销售额的函数解析式，根据函数的增减性，求出日销售额取值范围即可．
24．【答案】（1）解：如图1，由旋转， AF=AE.
AE最长时， AF才最长. AE最长等于AC.
作 FG⊥AC于G.
∵ABCD是矩形， ∴BC=AD=6， ∠B=90°.
∴∠3=∠B.
∵∠1=∠2，
∴△AFG≌△ACB (AAS).
∴AG=AB=8， GF=BC=6.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=10.
∴GC=10-8=2.
在 Rt△GFC中，由勾股定理，得
（2）解：如图2，点 E在点 B处时，点 F在点 G处.
点E在点 C处时，点 F在点 F1处.
点 E在点 D处时，点 F在点 F2处.
点 F 的运动路径为折线GF1F2.
∵∠4=∠2=∠1，
∴∠F2AF1=∠DAC.
∴△F2AF1≌△DAC(SAS).
∴点 F的运动路径长为
又∠5=∠6=∠2=∠1，
F2F1∥AC.
过点 D 作 FH⊥AC于 H，与 F1F2交于 F.则 FH⊥F1F2.
此时 DF 最小，
由AC·DH=AD·DC=2S△ADC，得10DH=6×8.
∴DH=4.8.
∴DF=1.2．
即 DF的最小值为1.2.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；矩形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据最长，则最长，最长为，即可得到，作于，根据矩形的性质，利用AAS得到，即可得哦大，，根据勾股定理求出，即可得到，再利用勾股定理求出的长解答即可．
（2）分别确定点E在点B、C、D时点F的位置，即可得到点的运动路径为折线，根据SAS打得到，即可得到，求出点的运动路径长为．根据，得到．过点作于，与交于，则，此时最小，根据等积变形得到DH长，即可求出DF长解答即可．
25．【答案】（1）解：∵点B (0， - 2)在y轴上，可设抛物线为 将A，C两点坐标代入，得
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图1， △OAB为直角三角形， OA=1， OB=2.
当∠BAD=90°时，作 DH⊥x轴于H，则∠1=∠AOB.
∵∠HDA+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠HDA=∠3.
∴△HAD∽△OAB.
设HD=m， HA=2m. ∴OH=2m+1.
则 D(2m+1， - m).代入抛物线，得
解得m=0(舍)，或m=2.
∴D (5， - 2).
此时， BD∥x轴.则∠4=∠3.
∴△ABD∽△OAB.满足条件.
当∠ABD'=90°时， BD'>BD>AD=2AB.
△BAD'与△OAB不会相似.
当∠ADB=90°时，点 D 在以AB为直径的圆上.
由图象，此时点 D 不会在抛物线上.
综上.点 D 的坐标为(5， - 2).
（3）解：如图2，作EI⊥y轴于I，作 FJ⊥y轴于 J.
则△IEB∽△JBF.
设 显然e≠f.
则
∴(e-5)(f-5) =-4.
∴ef=5(e+f-5) - 4. ①
设直线 EF 为y= kx+t.则
，
∴直线 EF 为
即
当x=5时， y=4.与e， f均无关.
∴直线 EF 必经过一个定点 G(5，-4).
则
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）当∠BAD=90°时，作 DH⊥x轴于H，根据两角对应相等得到△HAD∽△OAB，根据对应边成比例设设HD=m， HA=2m，即可得到点D的坐标，代入抛物线解析式求出m的值；然后考虑∠ABD'=90°，∠ADB=90°时不存在解答即可；
（3）作轴于，作轴于，根据平行线得到△IEB∽△JBF，根据对应边成比例得到，设点 求出直线EF的解析式，然后整理得到定点坐标即可.
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