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2026年河南省南阳市名校协作体中考考前模拟数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.氢氧化钠具有强碱性，用途广泛．已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为，下表是部分元素的化合价，则氢元素的化合价应该为( )
元素 钠 氧 氢
化合价
A. B. C. D.
2.白河的生态修复工程让南阳的母亲河重焕生机．如图是东西流向且两岸、互相平行的一段白河河道，在河岸上有一建筑，在河岸上的小宛观测到建筑在他的北偏西方向上，则小宛的位置可能是( )
A. B.
C. D.
3.年月日上午时，十四届全国人大四次会议在人民大会堂开幕．国务院总理李强作政府工作报告，回顾了年工作，实施学前一年免费教育政策、惠及万儿童、数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.一个几何体的主视图和左视图如图所示，该几何体可以是( )
A. B. C. D.
5.下列计算结果等于的是( )
A. 个 B. 个
C. 个 D.
6.如图，点，均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点，，连接，交线段于点要求：点把线段分成的两部分．下列关于方案、的可行性判断正确的是( )
A. 方案和均可行 B. 只有方案可行
C. 只有方案可行 D. 方案和均不可行
7.“河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一种新的运算“洛书积”：对于两个实数和，其“洛书积”记为，运算规则为例如：则关于的方程的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
8.在一个不透明的盒子里有个红球和个黄球除颜色外其他都相同，如图是小华同学根据自己的一次摸球试验画出的正确但不完整的树状图，关于这次摸球试验，有下列结论：是有放回的摸球试验；可能是同时摸出两个球；可能是摸出一个球，不放回，再摸出一个球；摸出一个红球和一个黄球的概率为，其中正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，顶点，，点在轴的正半轴上，将向右平移得到，若经过点，则点的坐标为 ．
A. B. C. D.
10.如图，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数单位：反映金属块对细线的拉力，与金属块浸入水中的深度单位：的变化关系如图所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化提示：当长方体金属块浸入水中时，当时，下列结论正确的是( )
A. 该长方体金属块的重力是
B. 该长方体金属块的高度是
C. 传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小
D. 当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.单项式的次数是 ．
12.在结束了初中阶段数学内容的新课教学后，唐老师计划安排课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制了如图所示的扇形统计图，则唐老师安排复习“统计与概率”内容的时间为 课时．
13.定义：一个整数能表示成、是整数的形式，则称这个数为“二元平方和数”例如，因为，所以是“二元平方和数”将写成的形式，则 写出一种即可
14.在光的反射中，反射角等于入射角．如图，已知是半圆的直径，且，平面镜与半圆相切于点，从上的点发出一束光线，经平面镜反射后与半圆交于点若，要使劣弧的长为，需调整 ．
15.如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标轴的正半轴上的一点，若射线、、构成轴对称图形，则线段的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.按要求完成各题：
计算：；
解方程：．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有名同学参加初赛，成绩如下．满分：分，测试成绩的单位：分
【收集数据】
七年级：，，，，，，，，，，，，，，．
八年级：，，，，，，，，，，，，，，．
【分析数据】
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
根据表中的信息，解答下列问题：
填空： ， ；
你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数，方差中选择两个角度说明理由；
复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明最终谁入选．
项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试
小凡
小乐
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象与圆的一个交点，若图中阴影部分的面积为．
求圆的半径长；
求反比例函数的解析式．
19.本小题分
如图，菱形．
求作矩形，使得点，分别在，的延长线上；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，若，求的值．
20.本小题分
中国象棋，在中国拥有广泛的群众基础，北宋晁补之广象戏格序说：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也．故戏兵以象戏名之．”这一下子将发明象棋的时间推到了多年前的黄帝时期．某商场花费元从厂家购买了，两种材质的中国象棋件，每件中国象棋的批发价及零售价如表：
批发价元 零售价元
材质中国象棋
材质中国象棋
商场购进两种材质的中国象棋各几件？
若商场再次购进两种材质的中国象棋件，其中材质中国象棋的数量不多于材质中国象棋数量的倍，请设计一个方案：商场购进材质中国象棋多少件时获得最大利润，最大利润是多少？
21.本小题分
综合实践活动中，某数学课外活动小组用他们刚学过的锐角三角函数知识开展了测量“学校新建的图书馆楼顶上旗杆的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表：
课题 测量旗杆的高度
测量方案 如图，代表旗杆的高度，在地面，处用两个高度相同的测角仪分别测得旗杆顶端的仰角，，并测得之间的距离，，均代表测角仪的高度．
说明：点，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一直线上
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角的度数
仰角的度数
，之间的直线距离
测角仪的高度
参考数据 ，，．
任务一：根据多次测量取平均值的原理，表中 ， ；
任务二：据建筑人员介绍图书馆楼高为，求旗杆高度．
22.本小题分
综合与实践
问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的秋登宣城谢朓北楼，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景．
测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，的距离为米，桥拱最高点到水面的距离为米．
数学建模：如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．
求该抛物线的函数表达式；
问题解决：
如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为米．
若在桥拱最高点处有一个星形灯饰大小忽略不计，求灯饰与其水中倒影之间的距离；
工作人员计划在桥拱悬挂盏红灯笼，其中盏甲型灯笼自身高度为米，另外盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离．
23.本小题分
【综合与实践】
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
【特例研究】
在正方形中，相交于点．
如图，可以看成是绕点逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为 ，的值为 ；
如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到点、的对应点分别为点、，使得点落在上，点落在上，求的值；
【延伸拓展】如图，在菱形中，，对角线相交于点，是的垂直平分线与的交点，将绕点逆时针旋转并放缩得到点、的对应点分别为点、，使得点落在上，点落在上．若，，直接写出线段的长．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】答案不唯一，或
14.【答案】 度
15.【答案】或或
16.【答案】【小题】
解：
；
【小题】
解：
去分母得，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．

17.【答案】【小题】
【小题】
解：八年级的学生人工智能技术的总体水平较好，理由：
从中位数看，八年级成绩的中位数比七年级的高；
从众数看，八年级成绩的众数比七年级的高；
从方差看，八年级成绩的方差比七年级的小，即八年级的测试成绩更稳定；
所以八年级的学生人工智能技术的总体水平较好；
【小题】
解：小凡的最后成绩为，
小乐的最后成绩为，
，
小凡的最后成绩较高，
即最终入选的是小凡．

18.【答案】【小题】
解：由反比例函数图象和圆关于原点对称可知，
阴影部分面积为圆面积的，
设圆的半径为，则，
，
，
．
即圆的半径长为．
【小题】
解：在第一象限，
，，
过点作轴于点，连接，则，，
，
，
，
点坐标为，
将代入，得，
反比例函数的解析式为．

19.【答案】【小题】
解：如图所示为所求：
【小题】
解：菱形中，，，
，
四边形是矩形，
，
，
设，则，
，即，
解得，
，
．

20.【答案】【小题】
解：设商场购进材质中国象棋件，材质中国象棋件，
依题意，得：
解得：．
答：商场购进材质中国象棋件，材质中国象棋件；
【小题】
设商场再次购进材质中国象棋件，则材质中国象棋件，获得的利润为元，
则，
由题意得，
解得，
，，
随的增大而增大．
当时，利润最大，最大值为元．
故商场购进材质中国象棋件时获得最大利润，最大利润是元．

21.【答案】【小题】

【小题】
如图，
依题意，，，，
连接，交于点，，
四边形为矩形，则，
，
在中，，
，
，
在中，



答：旗杆高度为．

22.【答案】【小题】
【详解】解：轴垂直平分，，
，，
由题意得，
设该抛物线的函数表达式为，将，，代入，
得，解得
该抛物线的函数表达式为；
【小题】
解：由抛物线的对称性得，
当时，，
灯饰与其水中倒影之间的距离为米；
解：由题意可得，甲型灯笼的悬挂点到的距离为米，
由得，点与之间的距离为米，
甲型灯笼的悬挂点即为点，
甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为米；
由题意可得，乙型灯笼的悬挂点到的距离为米，
由得，与之间的距离为米，
该悬挂点到的距离为米，
令，解得或，
乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米．
综上，甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米．

23.【答案】【小题】
【小题】
解：将绕点逆时针旋转并放缩得到
，
，
，即
，
，
，
，即，
．
【小题】
解：在菱形中，，
，，，，
为等边三角形，
，，
，，
在的垂直平分线上，
，
，
，
，，
；
如图：当点在上时，延长交于，则，
将绕点逆时针旋转并放缩得到
，
，即，解得：，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
如图：当点在上时，
，，
点在上，
如图：延长交于，则，
由的方法可得，
．
综上，的长为或．

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