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2026年上海市中考数学试卷 （新考纲抢分Ⅱ卷）
难度系数：0.5；考试时间：100分钟；满分：150分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）单项式﹣2xy2的系数和次数分别为（　　）
A．2，2 B．2，3 C．﹣2，2 D．﹣2，3
2．（4分）下列关于x的方程一定有实数解的是（　　）
A．x2﹣x+2＝0 B．x2+x+4＝0
C． D．x2﹣2x﹣1＝0
3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，四个点的坐标分别为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10）．若一次函数y＝kx+5的图象经过上述四个点中的三个点，则3m+n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（4分）已知一组数据26，36，36，3■，41，42，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则下列统计量中仍能计算结果的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
5．（4分）下列命题是真命题的个数有（　　）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
④过点P作线段AB的垂线，垂足一定在线段AB上；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（4分）如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，∠OAB+∠OCB＝115°，则∠ADC的度数是（　　）
A．115° B．120° C．65° D．130°
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）的相反数是　 　 ．
8．（4分）已知am＝6，an＝3，则am﹣n＝　 　 ．
9．（4分）如果关于x的无理方程没有实数根，那么m的取值范围是　 　 ．
10．（4分）若将抛物线y＝x2﹣2x向上平移后经过点（2，3），所得抛物线的解析式为 　 　 ．
11．（4分）某非遗工坊推出“山西印象”主题书签，包含平遥古城、五台山、乔家大院、云冈石窟4种书签，小晋从中随机抽取1张（不放回），再从中随机抽取一张，两次恰好抽到平遥古城和云冈石窟书签的概率是　 　 ．
12．（4分）为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校1500名学生参加的安全知识竞赛，从中随机抽取100名学生的竞赛成绩进行分析，将竞赛成绩分成五个等级（0≤x＜60；60≤x＜70；70≤x＜80；80≤x＜90；90≤x≤100），并根据分析结果绘制了如图所示不完整的频数分布直方图．请据此估计全校学生中竞赛成绩低于60分的人数约有　 　 名．
13．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，设，，那么用向量、表示为　 　 ．
14．（4分）如图，为了测量山坡的护坡石坝与地面所成的夹角α，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝上，量得竿长1m处离地面的高度DE＝0.6m，又量得竿顶与坝脚的距离BC＝2.8m，则sinα＝　 　 ．
15．（4分）已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，点P是边BC上的动点，以B为圆心，BP为半径画圆，将圆B沿直线AP翻折得到圆B'，如果点D恰好在圆B与圆B'的连心线上，那么圆B与圆B'的公共弦的长度为　 　 ．
16．（4分）如图为小区常见漫步机的示意图，从侧面看，立柱A．高1.8m，AD长为0.35m，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2m，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为　 　 ．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
17．（4分）如图，已知四边形ABCD是正方形，O是对角线BD的中点，以OD为边作一个正五边形，则α的度数是　 　 °．
18．（4分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D是线段BC上的动点，将线段DA绕点D顺时针旋转90°得线段DE，连接AE，BE，CE，点F为CE的中点，则2AF+AE的最小值是　 　 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（9分）解方程组：．
20．（9分）解分式方程：．
21．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段AB的两个端点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在网格中作等腰直角△ABC，使点C在格点上，∠B＝45°；
（2）在BC边上找到一点D，使（保留作图痕迹，体现作图过程），连接AD，并直接写出AD的长．
22．（12分）综合与实践
【项目主题】探究算力应用中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力
算力是数字经济的核心生产力，它是指计算机处理数据、进行运算的能力，常用“每秒运算次数（次/秒）”衡量．某科技小组开展“算力应用实践”活动，探究不同设备的算力差异、算力与任务完成时间的关系，以及算力优化中的数学方法，体验数学在科技领域的实用价值，培养数据分析与运算求解素养．
【项目准备】
1．设备选取：选取3种常见设备（手机、平板电脑、笔记本电脑），分别记为设备A、设备B、设备C，测量并记录每种设备的基础算力；
2．任务设定：选取同一份数据处理任务，该任务的总运算量固定（单位：次），记为M；
3．实验原理：在理想状态下（即设备在20℃环境温度下性能完全发挥），设备完成任务的时间t（单位：秒）与设备算力p（单位：次/秒）成反比例关系，即t（M为定值，且M＞0，p＞0）；
4．实验数据：小组完成3组实验，记录的设备在20℃时的理想算力与对应任务完成时间如表：
设备类型 理想算力p（次/秒） 完成时间t（秒）
设备A（手机） 1×109 120
设备B（平板电脑） 2×109 a
设备C（笔记本电脑） 4×109 30
【项目探究】
（1）根据实验原理，该数据处理任务的总运算量M＝　 　 次，a＝　 　 ．
（2）在实际应用中，设备的实际算力会受环境温度影响．实验表明，在20℃≤x≤40℃范围内，设备A和设备B的实际算力PA，PB（单位：次/秒）与环境温度x（单位：℃）满足一次函数关系，其表达式分别为：PA＝﹣2×107x+1.4×109，PB＝﹣4×107x+2.8×109．若将设备A和设备B组成一个“联合算力组”同时处理该任务，其总算力为两者实际算力之和．求当环境温度为30℃时，该联合算力组完成总运算量M所需的时间．
（3）设备C的实际算力PC（次/秒）与环境温度x（℃）（20≤x≤40）也满足一次函数关系，其表达式为：PC＝﹣1×108x+6×109．若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中联合算力组在30℃时的完成时间，求环境温度x的取值范围．
23．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，N是中线CM的中点，CD∥AB，交线段BN的延长线于点D．
（1）求证：四边形ADCM是菱形；
（2）如果线段BD与边AC相交于点P，联结PM，当∠BPM＝∠BAC时，求证：线段PM是线段BM与CP的比例中项．
24．（12分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数经过（﹣1，4），求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
25．（14分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝90°，作直径BD，过点D作DE∥AC交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若AE＝8，．
①求⊙O的半径长．
②在⊙O上取一点F，使得BF＝BC，连接AF，求线段AF的长．
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：________班级：
________
考号：
________
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第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页
第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页2026年上海市中考数学试卷
（新考纲抢分Ⅱ卷）答题卡
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
三三
L-
L
A
D
M
N
C
B
F
B
A
C
D
E2026年上海市中考数学试卷 （新考纲抢分Ⅱ卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D． D D D B C
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）单项式﹣2xy2的系数和次数分别为（　　）
A．2，2 B．2，3 C．﹣2，2 D．﹣2，3
【答案】D．
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式﹣2xy2的系数与次数分别是﹣2，3．
故选：D．
【点评】本题考查了单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型．
2．（4分）下列关于x的方程一定有实数解的是（　　）
A．x2﹣x+2＝0 B．x2+x+4＝0
C． D．x2﹣2x﹣1＝0
【答案】D
【分析】分别计算四个方程的判别式Δ＝b2﹣4ac，然后根据Δ的意义进行判断即可．
【解答】解：A、∵a＝1，b＝﹣1，c＝2，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程没有实数根，不符合题意；
B、∵a＝1，b＝1，c＝4，
∴Δ＝12﹣4×1×4＝﹣15＜0，
∴方程没有实数根，不符合题意；
C、∵a，b＝﹣2，c＝1，
∴Δ＝4﹣4×10，
∴方程没有实数根，不符合题意；
D、∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝4﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．
3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，四个点的坐标分别为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10）．若一次函数y＝kx+5的图象经过上述四个点中的三个点，则3m+n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据题意，先求出任意两点确定直线的k值，进一步得出一次函数经过的三个点，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10），
则A、B确定直线的k值为，B、C确定直线的k值为，C、D确定直线的k值为，A、C确定直线的k值为，
所以点A，C，D在一次函数y＝kx+5的图象上，
则k＝﹣3．
将点A坐标代入y＝﹣3x+5得，
﹣3（m﹣1）+5＝n+2，
整理得，3m+n＝6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
4．（4分）已知一组数据26，36，36，3■，41，42，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则下列统计量中仍能计算结果的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
【答案】D
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断．
【解答】解：这组数据的平均数、方差和中位数都与被涂污数字有关，而这组数据的众数与被涂污数字无关，即36是这组数据的众数或其中一个众数．
故选：D．
【点评】此题主要考查统计量的选择，主要包括平均数、中位数、众数、方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
5．（4分）下列命题是真命题的个数有（　　）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
④过点P作线段AB的垂线，垂足一定在线段AB上；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据平面内垂直与平行的基础性质，只需逐个判断每个命题的真假，统计真命题个数即可．
【解答】解：根据平面内垂直与平行的基础性质，只需逐个判断每个命题的真假，统计真命题个数可得：
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，故①是真命题；
②一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补，并非一定相等，故②是假命题；
③只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，命题未说明被截的两条直线平行，故③是假命题；
④过点P作线段AB的垂线，垂足可能在线段AB的延长线上，不一定在线段AB上，故④是假命题；
⑤只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，命题未说明点在直线外，若点在已知直线上无法作出平行线，故该命题是假命题；
故选：B．
【点评】本题考查平面内垂直与平行的基础性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
6．（4分）如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，∠OAB+∠OCB＝115°，则∠ADC的度数是（　　）
A．115° B．120° C．65° D．130°
【答案】C
【分析】由OA＝OB＝OC，根据等边对等角可得∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，结合已知条件可得∠OBA+∠OBC＝115°，然后根据圆内接四边形对角互补即可解答．
【解答】解：由题意可得，OA＝OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，∠OAB＝∠OBA，
∵∠OAB+∠OCB＝115°，
∴∠ABC＝∠OBA+∠OBC＝∠OAB+∠OCB＝115°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴⊙O的内接四边形ABCD中，∠OAB+∠OCB＝115°，
则∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣115°＝65°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形性质，等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝115°是解题关键．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）的相反数是　　 ．
【答案】．
【分析】根据相反数的定义进行计算即可．
【解答】解：由相反数的定义可得：
的相反数是．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查实数的性质，正确进行计算是解题关键．
8．（4分）已知am＝6，an＝3，则am﹣n＝　2　 ．
【答案】2．
【分析】根据同底数幂的除法法则去做即可．
【解答】解：am﹣n＝am÷an＝6÷3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减是解题的关键．
9．（4分）如果关于x的无理方程没有实数根，那么m的取值范围是m＞﹣5　 ．
【答案】m＞﹣5
【分析】根据关于x的无理方程没有实数根，可知﹣5﹣m＜0，从而可以求得k的取值范围．
【解答】由可得，，
由题意可得：﹣5﹣m＜0没有实数根，
∴m＞﹣5，
故答案为：m＞﹣5．
【点评】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解答方法，无实数根应满足什么条件．
10．（4分）若将抛物线y＝x2﹣2x向上平移后经过点（2，3），所得抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x+3　 ．
【答案】y＝x2﹣2x+3．
【分析】平移的规律：左加右减，上加下减．用规律求函数解析式即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣2x向上平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m（m＞0），
把（2，3）代入y＝x2﹣2x+m得4﹣4+m＝3，
解得：m＝3，
∴解析式为：y＝x2﹣2x+3，
故答案为：y＝x2﹣2x+3．
【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
11．（4分）某非遗工坊推出“山西印象”主题书签，包含平遥古城、五台山、乔家大院、云冈石窟4种书签，小晋从中随机抽取1张（不放回），再从中随机抽取一张，两次恰好抽到平遥古城和云冈石窟书签的概率是　　 ．
【答案】．
【分析】列表得出共有12种等可能性的结果，其中恰好抽到平遥古城和云冈石窟的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：将平遥古城、五台山、乔家大院、云冈石窟分别记为A、B、C、D，
列表如下：
A B C D
A ﹣ （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） ﹣ （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） ﹣ （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） ﹣
由表格可知，共有12种等可能性的结果，其中恰好抽到平遥古城和云冈石窟的结果有2种，
∴恰好抽到平遥古城和云冈石窟的概率．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法与树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（4分）为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校1500名学生参加的安全知识竞赛，从中随机抽取100名学生的竞赛成绩进行分析，将竞赛成绩分成五个等级（0≤x＜60；60≤x＜70；70≤x＜80；80≤x＜90；90≤x≤100），并根据分析结果绘制了如图所示不完整的频数分布直方图．请据此估计全校学生中竞赛成绩低于60分的人数约有　75　 名．
【答案】75．
【分析】先由随机抽取100名学生得出低于60分的人数所占百分比，再用总人数乘以低于60分的人数所占百分比即可．
【解答】解：∵低于60分的人数所占百分比为100%＝5%，
∴估计全校学生中竞赛成绩低于60分的人数约有1500×5%＝75（名），故答案为：75．
【点评】本题考查频数分布直方图以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
13．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，设，，那么用向量、表示为　　 ．
【答案】．
【分析】连接BE，取BE的中点为O，连接OF，根据向量线性运算的三角形法则和正六边形的性质即可求解．
【解答】解：连接BE，取BE的中点为O，连接OF，
根据正六边形的性质得到BA∥OF，AB＝OF，BC∥FE，
在正六边形ABCDEF中，设，，
∴，四边形OBAF是平行四边形，
∴，
∴，
∵BC∥FE，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形与圆，正确进行计算是解题关键．
14．（4分）如图，为了测量山坡的护坡石坝与地面所成的夹角α，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝上，量得竿长1m处离地面的高度DE＝0.6m，又量得竿顶与坝脚的距离BC＝2.8m，则sinα＝　　 ．
【答案】．
【分析】利用相似建立等式求解．
【解答】解：AC＝4.5m，竿长1m处离地面的高度DE＝0.6m，竿顶与坝脚的距离BC＝2.8m，如图，过点C作CF⊥AB于点F，
∴DE∥CF，
∴∠A＝∠A，∠DAE＝∠CAF，
∴Rt△DAE∽Rt△CAF，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．
15．（4分）已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，点P是边BC上的动点，以B为圆心，BP为半径画圆，将圆B沿直线AP翻折得到圆B'，如果点D恰好在圆B与圆B'的连心线上，那么圆B与圆B'的公共弦的长度为　　 ．
【答案】．
【分析】连接BE，B'E，B'P，设AP与BB'交于点O，由圆B沿直线AP翻折得到圆B'，点D恰好在圆B与圆B'的连心线上，则BE＝B'E＝B'P＝BP，所以四边形BEB'P是菱形，故有BB'⊥EP，，又四边形ABCD是矩形，则∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，所以∠ABD＝∠APB，∠CBD＝∠BAP，通过tan∠CBD＝tan∠BAP，可得，从而得出，，在Rt△BOP 中，OB2+OP2＝BP2，即，然后求出OP即可．
【解答】解：如图，连接BE，B'E，B'P，设AP与BB'交于点O，
由圆B沿直线AP翻折得到圆B'，点D恰好在圆B与圆B'的连心线上，
∴BE＝B'E＝B′P＝BP，
∴四边形BEB'P是菱形，
∴BB'⊥EP，，
∴∠BOP＝90°，
∴∠CBD+∠APB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，
∴∠ABD+∠CBD＝∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠ABD＝∠APB，∠CBD＝∠BAP，
∴tan∠CBD＝tan∠BAP，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴圆B与圆B'的公共弦的长度为，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，圆的有关概念等知识，掌握圆的有关知识是解题的关键．
16．（4分）如图为小区常见漫步机的示意图，从侧面看，立柱A．高1.8m，AD长为0.35m，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2m，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为　0.52m ．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】0.52m．
【分析】过点B作BM⊥CF，垂足为M，过点C作CN⊥AE，垂足为N，可知四边形CNBM是矩形，在Rt△ANC中，根据∠CAN的余弦可得AN≈1.28，据此求解即可．
【解答】解：如下图所示，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点B作BM⊥CF，垂足为M，
∴四边形CNBM是矩形，AC＝AB＝AE﹣BE＝1.8﹣0.2＝1.6（m），
在Rt△ANC中，∠CAN＝37°，
∴，即，
∴AN≈1.6×0.8＝1.28（m），
∴CF＝NE＝AE﹣AN＝1.8﹣1.28＝0.52（m），
∴CF为0.52m．
故答案为：0.52m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
17．（4分）如图，已知四边形ABCD是正方形，O是对角线BD的中点，以OD为边作一个正五边形，则α的度数是　117　 °．
【答案】117．
【分析】由五边形OEFGD是正五边形，则∠DOE＝108°，所以∠BOE＝72°，又四边形ABCD是正方形，所以∠ABD＝45°，最后通过三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：如图，
∵五边形OEFGD是正五边形，
∴，
∵∠DOE+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝72°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∴α＝∠BOE+∠ABD＝72°+45°＝117°．
故答案为：117．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．
18．（4分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D是线段BC上的动点，将线段DA绕点D顺时针旋转90°得线段DE，连接AE，BE，CE，点F为CE的中点，则2AF+AE的最小值是　　 ．
【答案】．
【分析】根据条件构造辅助线，得到△EFG与△CFA全等，利用全等三角形的性质得到AF＝GF，EG＝CA＝AB＝3，将求2AF+AE的最小值转化为求AG+AE的最小值，设BG长为x，则BE长为3﹣x，利用勾股定理可得，根据的几何意义可表示点（x，0）到点（0，3）和（3，3）的距离之和，最后利用将军饮马模型即可解答．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
又∵线段DE是由线段DA绕点D顺时针旋转90°得到，
∴△ADE也为等腰直角三角形，∠AED＝45°，
∴∠ABC＝∠AED＝45°，
∴A，D，B，E四点共圆，
∴∠ABE＝∠ADE＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠ABE＝∠BAC＝90°，
∴BE∥AC，
如图，延长AF，EB交于点G，
∵点F为CE的中点，
∴EF＝CF，
∵BE∥AC，
∴∠G＝∠FAC，
又∵∠EFG＝∠CFA，
∴△EFG≌△CFA（AAS），
∴AF＝GF，EG＝CA＝AB＝3，
∴2AF+AE＝AG+AE，
设BG长为x，则BE长为3﹣x，
在Rt△ABE中，，
在Rt△ABG中，，
∴，
∵的几何意义可表示点（x，0）到点（0，3）和（3，3）的距离之和，
在平面直角坐标系中分别用点K、M、N表示点（x，0）、（0，3）、（3，3），
由图可知，点M（0，3）关于x轴的对称点为点M′（0，﹣3），KM＝KM′，
∴KM+KN＝KM′+KN≥NM′，
即当点N、K、M′三点共线时，距离之和取得最小值，此时点K位于线段NM′与x轴交点处，
由勾股定理得，线段，
即点（x，0）到点（0，3）和（3，3）的距离之和最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质以及最小值问题，综合性比较强．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（9分）解方程组：．
【答案】或或或．
【分析】把第一个方程化为x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4，第二个方程化为3x+y＝0或3x﹣y＝0，把这个方程组转化为几个二元一次方程组，解这些方程组即可求得原方程组的解．
【解答】解：由题意，∵x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝16，
∴x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4，
又∵9x2﹣y2＝（3x+y）（3x﹣y）＝0，
∴3x+y＝0或3x﹣y＝0，
∴或或或，
∴或或或．
【点评】本题主要考查了高次方程的解法，解题时要能根据题意进行化简是关键．
20．（9分）解分式方程：．
【答案】x＝﹣3．
【分析】先去分母，方程两边乘（x+1）（x﹣1），再解分式方程，然后再检验即可．
【解答】解：方程可化为，
2+x（x+1）＝（x+1）（x﹣1），
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，最简公分母（x+1）（x﹣1）＝（﹣2）×（﹣4）＝8≠0，
∴原方程的解为x＝﹣3．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．
21．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段AB的两个端点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在网格中作等腰直角△ABC，使点C在格点上，∠B＝45°；
（2）在BC边上找到一点D，使（保留作图痕迹，体现作图过程），连接AD，并直接写出AD的长．
【答案】（1）如图，△ABC即为所求；
（2）．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形；
（2）过点A作AH⊥BC于点H．求出AH，DH，再利用勾股定理求解．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）过点A作AH⊥BC于点H．
在Rt△ABC中，BC5，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
∴AH＝BH＝CHBC，
∵BD：DC＝2：3，
∴BDBC＝2，
∴DH＝BH﹣BD2，
∴AD．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，等腰直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
22．（12分）综合与实践
【项目主题】探究算力应用中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力
算力是数字经济的核心生产力，它是指计算机处理数据、进行运算的能力，常用“每秒运算次数（次/秒）”衡量．某科技小组开展“算力应用实践”活动，探究不同设备的算力差异、算力与任务完成时间的关系，以及算力优化中的数学方法，体验数学在科技领域的实用价值，培养数据分析与运算求解素养．
【项目准备】
1．设备选取：选取3种常见设备（手机、平板电脑、笔记本电脑），分别记为设备A、设备B、设备C，测量并记录每种设备的基础算力；
2．任务设定：选取同一份数据处理任务，该任务的总运算量固定（单位：次），记为M；
3．实验原理：在理想状态下（即设备在20℃环境温度下性能完全发挥），设备完成任务的时间t（单位：秒）与设备算力p（单位：次/秒）成反比例关系，即t（M为定值，且M＞0，p＞0）；
4．实验数据：小组完成3组实验，记录的设备在20℃时的理想算力与对应任务完成时间如表：
设备类型 理想算力p（次/秒） 完成时间t（秒）
设备A（手机） 1×109 120
设备B（平板电脑） 2×109 a
设备C（笔记本电脑） 4×109 30
【项目探究】
（1）根据实验原理，该数据处理任务的总运算量M＝　1.2×1011 次，a＝　60　 ．
（2）在实际应用中，设备的实际算力会受环境温度影响．实验表明，在20℃≤x≤40℃范围内，设备A和设备B的实际算力PA，PB（单位：次/秒）与环境温度x（单位：℃）满足一次函数关系，其表达式分别为：PA＝﹣2×107x+1.4×109，PB＝﹣4×107x+2.8×109．若将设备A和设备B组成一个“联合算力组”同时处理该任务，其总算力为两者实际算力之和．求当环境温度为30℃时，该联合算力组完成总运算量M所需的时间．
（3）设备C的实际算力PC（次/秒）与环境温度x（℃）（20≤x≤40）也满足一次函数关系，其表达式为：PC＝﹣1×108x+6×109．若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中联合算力组在30℃时的完成时间，求环境温度x的取值范围．
【答案】（1）1.2×1011，60；
（2）该联合算力组完成总运算量M所需时间为50秒．
（3）环境温度x的取值范围20℃≤x≤36℃．
【分析】（1）根据t计算即可；
（2）当 x＝30时，求出PA，PB然后代入公式计算即可；
（3）由第（2）问可知，联合算力组在30℃时的完成时间为50秒，根据题意列不等式求解即可．
【解答】解：（1）根据即t，得M＝tp＝120×1×109＝1.2×1011，
a60，
故答案为：1.2×1011，60；
（2）当 x＝30时，
（次/秒），
（次/秒）．
联合算力组总算力：（次/秒）．
由（1）知M＝1.2×1011次，所需时间：
（秒），
答：该联合算力组完成总运算量M所需时间为50秒．
（3）由第（2）问可知，联合算力组在30℃时的完成时间为50秒．
设备C完成该任务的实际时间，依题意：
．
因为PC＞0，所以不等式可化为：x≤36．
结合自变量的取值范围20≤x≤40，得：
20≤x≤36．
答：环境温度x的取值范围20℃≤x≤36℃．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的应用，解题的关键是利用相关知识点求解．
23．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，N是中线CM的中点，CD∥AB，交线段BN的延长线于点D．
（1）求证：四边形ADCM是菱形；
（2）如果线段BD与边AC相交于点P，联结PM，当∠BPM＝∠BAC时，求证：线段PM是线段BM与CP的比例中项．
【答案】见解析．
【分析】（1）证明△DNC≌△BNM（AAS），推出CD＝BM＝AM，可得结论；
（2）证明△PMN∽△CMP，推出PM2＝MN MC，又因为CN＝MN，MC＝BM，推出PM2＝CN BM，再证明CP＝CN可得结论．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AM＝BM，
∴CM＝AM＝BM，
∵N是CM的中点，
∴CN＝MN，
∵CD∥AB，
∴∠CDN＝∠MBN，
∵∠DNC＝∠BNM，
在△DNC和△BNM中，
，
∴△DNC≌△BNM（AAS），
∴CD＝BM＝AM，
∵CD∥AM，
∴四边形ADCM是平行四边形，∵CD＝BM，CM＝BM，
∴CD＝CM，
∴四边形ADCM是菱形；
（2）∵CM＝AM，
∴∠ACM＝∠BAC，
∵∠BPM＝∠BAC，
∴∠MPN＝∠PCM，
∵∠PMN＝∠CMP，
∴△PMN∽△CMP，
∴PM2＝MN MC，
∵CN＝MN，MC＝BM，
∴PM2＝CN BM，
∵四边形ADCM是菱形，
∴D，M关于AC对称，
∴∠CPN＝∠APM＝∠APD，
∵∠APM+∠MPN+∠CPN＝180°，∠CPN+∠PCM+∠CNP＝180°，∠MPN＝∠PCN，
∴∠CPN＝∠CNP，
∴CP＝CN，
∴PM2＝PC BM，
∴线段PM是线段BM与CP的比例中项．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，相似三角形解决问题．
24．（12分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数经过（﹣1，4），求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
【答案】（1）yx2x+3；
（2）M（﹣1，9），N（1，1）；
（3）当m＞0时a≤﹣1；当m＜0时，a≥1．
【分析】（1）把（﹣1，4）点的坐标代入函数解析式中求出m即可；
（2）根据抛物线开口向上得m＞0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标；
（3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围．
【解答】解：（1）把（﹣1，4）代入函数解析式得，
m+2m+3＝4，
∴m，
∴函数解析式为：yx2x+3；
（2）∵抛物线开口方向向上，
∴m＞0，
∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m，
∴抛物线的顶点为（1，3﹣m），
∴当x＜1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
∴最低点N（1，3﹣m），
∵当x＝﹣1时，y＝3m+3，
当x＝2时，y＝3，
且m＞0，
∴3m+3＞3，
∴最高点M（﹣1，3m+3），
∴3m+3＝9，
∴m＝2，
代入M点和N点坐标得：M（﹣1，9），N（1，1）；
（3）①当m＞0时，
则有当x≤1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
∴a+2≤1，
∴a≤﹣1；
②当m＜0时，
则有当x≤1时y随x增大而增大，
当x≥1时，y随x增大而减小，
∴a≥1；
综上，当m＞0时a≤﹣1；当m＜0时，a≥1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．
25．（14分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝90°，作直径BD，过点D作DE∥AC交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若AE＝8，．
①求⊙O的半径长．
②在⊙O上取一点F，使得BF＝BC，连接AF，求线段AF的长．
【答案】（1）如图1，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝90°，连接CE．
∴AC为直径，
∴∠AEC＝90°．
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO．
∵DE∥AC，
∴∠CAE＝∠AED．
又∵∠ABO＝∠AED，
∴∠BAO＝∠CAE．
在△ABC和△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴AB＝AE；
（2）①5；
②2.8．
【分析】（1）连接CE，由∠ABC＝90°得出AC为直径，根据AAS证明△ABC≌△AEC，从而可得结论；
（2）①根据得，由AE＝AB＝8得BC＝6，再根据勾股定理得AC＝10，从而可求出⊙O的半径长．
②延长AF，CB交于点G，根据ASA证明△ABG≌△ABC，得AG＝AC＝10，BG＝BC＝BF＝6．∠GCA＝∠G＝∠GFB，可证△FBG∽△CAG，求得FG＝7.2，从而可求出AF＝2.8．
【解答】（1）证明：如图1，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝90°，连接CE．
∴AC为直径，
∴∠AEC＝90°．
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO．
∵DE∥AC，
∴∠CAE＝∠AED．
又∵∠ABO＝∠AED，
∴∠BAO＝∠CAE．
在△ABC和△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴AB＝AE；
（2）解：①∵∠AED＝∠ABD＝∠BAC，，
∴．
∵AE＝AB＝8，
∴BC＝AB tan∠BAC＝6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴OC＝5；
②如图2，延长AF，CB交于点G．
∵BF＝BC，
∴，
∴∠GAB＝∠CAB．
在△ABG和△ABC中，
，
∴△ABG≌△ABC（ASA），
∴AG＝AC＝10，BG＝BC＝BF＝6．
∴∠GCA＝∠G＝∠GFB，
∵∠G＝∠G，
∴△FBG∽△CAG，
∴．
∵FB＝BC＝6，
∴，
∴AF＝AG﹣FG＝2.8．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握相似与全等三角形的性质．
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2026年上海市中考数学试卷 （新考纲抢分Ⅱ卷）
难度系数：0.5；考试时间：100分钟；满分：150分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）单项式﹣2xy2的系数和次数分别为（　　）
A．2，2 B．2，3 C．﹣2，2 D．﹣2，3
2．（4分）下列关于x的方程一定有实数解的是（　　）
A．x2﹣x+2＝0 B．x2+x+4＝0
C． D．x2﹣2x﹣1＝0
3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，四个点的坐标分别为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10）．若一次函数y＝kx+5的图象经过上述四个点中的三个点，则3m+n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（4分）已知一组数据26，36，36，3■，41，42，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则下列统计量中仍能计算结果的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
5．（4分）下列命题是真命题的个数有（　　）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
④过点P作线段AB的垂线，垂足一定在线段AB上；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（4分）如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，∠OAB+∠OCB＝115°，则∠ADC的度数是（　　）
A．115° B．120° C．65° D．130°
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）的相反数是　 　 ．
8．（4分）已知am＝6，an＝3，则am﹣n＝　 　 ．
9．（4分）如果关于x的无理方程没有实数根，那么m的取值范围是　 　 ．
10．（4分）若将抛物线y＝x2﹣2x向上平移后经过点（2，3），所得抛物线的解析式为 　 　 ．
11．（4分）某非遗工坊推出“山西印象”主题书签，包含平遥古城、五台山、乔家大院、云冈石窟4种书签，小晋从中随机抽取1张（不放回），再从中随机抽取一张，两次恰好抽到平遥古城和云冈石窟书签的概率是　 　 ．
12．（4分）为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校1500名学生参加的安全知识竞赛，从中随机抽取100名学生的竞赛成绩进行分析，将竞赛成绩分成五个等级（0≤x＜60；60≤x＜70；70≤x＜80；80≤x＜90；90≤x≤100），并根据分析结果绘制了如图所示不完整的频数分布直方图．请据此估计全校学生中竞赛成绩低于60分的人数约有　 　 名．
13．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，设，，那么用向量、表示为　 　 ．
14．（4分）如图，为了测量山坡的护坡石坝与地面所成的夹角α，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝上，量得竿长1m处离地面的高度DE＝0.6m，又量得竿顶与坝脚的距离BC＝2.8m，则sinα＝　 　 ．
15．（4分）已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，点P是边BC上的动点，以B为圆心，BP为半径画圆，将圆B沿直线AP翻折得到圆B'，如果点D恰好在圆B与圆B'的连心线上，那么圆B与圆B'的公共弦的长度为　 　 ．
16．（4分）如图为小区常见漫步机的示意图，从侧面看，立柱A．高1.8m，AD长为0.35m，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2m，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为　 　 ．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
17．（4分）如图，已知四边形ABCD是正方形，O是对角线BD的中点，以OD为边作一个正五边形，则α的度数是　 　 °．
18．（4分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D是线段BC上的动点，将线段DA绕点D顺时针旋转90°得线段DE，连接AE，BE，CE，点F为CE的中点，则2AF+AE的最小值是　 　 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（9分）解方程组：．
20．（9分）解分式方程：．
21．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段AB的两个端点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在网格中作等腰直角△ABC，使点C在格点上，∠B＝45°；
（2）在BC边上找到一点D，使（保留作图痕迹，体现作图过程），连接AD，并直接写出AD的长．
22．（12分）综合与实践
【项目主题】探究算力应用中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力
算力是数字经济的核心生产力，它是指计算机处理数据、进行运算的能力，常用“每秒运算次数（次/秒）”衡量．某科技小组开展“算力应用实践”活动，探究不同设备的算力差异、算力与任务完成时间的关系，以及算力优化中的数学方法，体验数学在科技领域的实用价值，培养数据分析与运算求解素养．
【项目准备】
1．设备选取：选取3种常见设备（手机、平板电脑、笔记本电脑），分别记为设备A、设备B、设备C，测量并记录每种设备的基础算力；
2．任务设定：选取同一份数据处理任务，该任务的总运算量固定（单位：次），记为M；
3．实验原理：在理想状态下（即设备在20℃环境温度下性能完全发挥），设备完成任务的时间t（单位：秒）与设备算力p（单位：次/秒）成反比例关系，即t（M为定值，且M＞0，p＞0）；
4．实验数据：小组完成3组实验，记录的设备在20℃时的理想算力与对应任务完成时间如表：
设备类型 理想算力p（次/秒） 完成时间t（秒）
设备A（手机） 1×109 120
设备B（平板电脑） 2×109 a
设备C（笔记本电脑） 4×109 30
【项目探究】
（1）根据实验原理，该数据处理任务的总运算量M＝　 　 次，a＝　 　 ．
（2）在实际应用中，设备的实际算力会受环境温度影响．实验表明，在20℃≤x≤40℃范围内，设备A和设备B的实际算力PA，PB（单位：次/秒）与环境温度x（单位：℃）满足一次函数关系，其表达式分别为：PA＝﹣2×107x+1.4×109，PB＝﹣4×107x+2.8×109．若将设备A和设备B组成一个“联合算力组”同时处理该任务，其总算力为两者实际算力之和．求当环境温度为30℃时，该联合算力组完成总运算量M所需的时间．
（3）设备C的实际算力PC（次/秒）与环境温度x（℃）（20≤x≤40）也满足一次函数关系，其表达式为：PC＝﹣1×108x+6×109．若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中联合算力组在30℃时的完成时间，求环境温度x的取值范围．
23．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，N是中线CM的中点，CD∥AB，交线段BN的延长线于点D．
（1）求证：四边形ADCM是菱形；
（2）如果线段BD与边AC相交于点P，联结PM，当∠BPM＝∠BAC时，求证：线段PM是线段BM与CP的比例中项．
24．（12分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数经过（﹣1，4），求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
25．（14分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝90°，作直径BD，过点D作DE∥AC交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若AE＝8，．
①求⊙O的半径长．
②在⊙O上取一点F，使得BF＝BC，连接AF，求线段AF的长．
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)2026年上海市中考数学试卷 （新考纲抢分Ⅱ卷）答题卡
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页
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L-
A
D
M
N
C
B
F
B
A
C
D
E

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