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绝密★启用前
2026年上海市中考数学试卷 （新考纲抢分Ⅰ卷）
难度系数：0.51；考试时间：100分钟；满分：150分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）单项式的系数是（　　）
A．﹣2 B． C． D．
2．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判断
3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，四个点的坐标分别为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10）．若一次函数y＝kx+5的图象经过上述四个点中的三个点，则3m+n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（4分）已知一组数据26，36，36，3■，41，42，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则下列统计量中仍能计算结果的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
5．（4分）下列说法中，不正确的是（　　）
A．命题“若a+b＞0，则a＞0”的逆命题为“若a＞0，则a+b＞0”
B．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
C．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
6．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠DCE的度数为（　　）
A．70° B．140° C．110° D．35°
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）计算的结果是 　 　 ．
8．（4分）若2m＝6，2n＝3，则2m﹣n的值是　 　 ．
9．（4分）方程的解是 　 　 ．
10．（4分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于原点对称的抛物线的表达式为 　 　 ．
11．（4分）现有四张分别标有数字0，，，π的卡片，随机抽出两张卡片，两张卡片数字的积为有理数的概率是　 　 ．
12．（4分）2011年国际数学协会正式宣布：将每年的3月14日设为“国际数学节”．某学校在3月14日举办了校园数学节活动，学生可通过参加多项数学活动获得积分（百分制），次日兑换奖品．为了更好地准备奖品，学生会干部从全校300名学生中随机抽取60名学生的积分，得到数据的频数分布直方图如图 （数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）．根据以上数据，估计该校300名学生中积分不低于70分的学生人数约为 　 　 ．
13．（4分）如图，正六边形ABCDEF中，，那么　 　 （用含、的式子表示）．
14．（4分）小红沿着坡度i为1：的斜面向上走了48米，则小红沿垂直方向升高了 　 　 米．
15．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝5，以AD为半径的圆A和以CD为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线BC的距离不超过3，设AD的长度为m，则m的取值范围是 　 　 ．
16．（4分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1，当点A位于最高点时，∠AOM＝120°，此时，点A到地面的距离为 　 　 ．
17．（4分）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为　 　 ．
18．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合）．连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD＝35°，则∠AED＝55°；③DE2CF CA；④若AB＝4，AD＝3BD，则AF．其中所有正确结论的序号是　 　 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）解方程组：．
20．（10分）解方程：1．
21．（10分）在网格中，已知线段AB的端点均为格点．观察如图仅用无刻度的直尺解决下列的问题．
（1）图1中由条件“D′B′∥DB和D′为AD的中点”判断点C为AB中点的依据是　 　 ；
（2）在图2中，在线段AB外有一点P，连接AP．在线段AB上确定一点H，使得∠PHB＝45°（保留作图痕迹）；
（3）在图3中作线段AB的三等分点M，使（保留作图痕迹）．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，且ED＝3AE，连接AC、BE，相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△EAB；
（2）求四边形EFCD与矩形ABCD的面积之比．
23．（12分）实验目的：借助物理知识用吸管制作乐器．
知识链接：根据物理学知识，我们知道声音是由物体的极动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．
实验操作：准备一些相同规格的吸管进行如下操作：
①分别剪出不同长度的吸管．
②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率．
③将吸管的长度记为x（mm），振动频率记为y（kHz），记录数据如表1：
组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组
x/mm 20 40 60 80 100 120
y/kHz 4.28 2.15 2.43 1.08 0.86 0.72
建立模型：建立如图所示的平面直角坐标系，将表1中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出．
实验小组发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出图象，猜想y与x大致满足我们学过的一种函数关系．
再次查阅资料得到了表2的数据：
音调 do re mi fa sol la si
频率/kHz 0.26 0.29 0.33 0.35 0.39 0.44 0.49
根据以上研究，实验小组制作出了可以吹出表2中7个音调的吸管乐器．
解决问题：
（1）根据以上材料，可以判断表1中异常的数据是第　 　 组．
（2）根据小晋画出的图象，猜想y是x的　 　 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），并求y与x的函数关系式．（系数保留整数）
（3）根据以上材料，求音调“do”对应吸管的长度．（结果精确到1mm）
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣3mx+c经过点A（4m，0）（m≠0）．
（1）求抛物线的对称轴和c的值（用含m的式子表示）；
（2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝mx+m2于点N（M，N）不重合）．
①若m＝1，t＝2，求MN的长；
②已知在点P从点（2，0）运动到点（3，0）的过程中，MN的长随t的增大而减小，求m的取值范围．
25．（14分）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，⊙O是△ABD的外接圆，E是上一动点，连接DE并延长交BC于M，连接BE并延长交CD于N，
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积；
（3）当BM＝3时，求MN的长．
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2026年上海市中考数学试卷 （新考纲抢分Ⅰ卷）
难度系数：0.51；考试时间：100分钟；满分：150分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）单项式的系数是（　　）
A．﹣2 B． C． D．
2．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判断
3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，四个点的坐标分别为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10）．若一次函数y＝kx+5的图象经过上述四个点中的三个点，则3m+n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（4分）已知一组数据26，36，36，3■，41，42，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则下列统计量中仍能计算结果的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
5．（4分）下列说法中，不正确的是（　　）
A．命题“若a+b＞0，则a＞0”的逆命题为“若a＞0，则a+b＞0”
B．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
C．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
6．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠DCE的度数为（　　）
A．70° B．140° C．110° D．35°
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）计算的结果是 　 　 ．
8．（4分）若2m＝6，2n＝3，则2m﹣n的值是　 　 ．
9．（4分）方程的解是 　 　 ．
10．（4分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于原点对称的抛物线的表达式为 　 　 ．
11．（4分）现有四张分别标有数字0，，，π的卡片，随机抽出两张卡片，两张卡片数字的积为有理数的概率是　 　 ．
12．（4分）2011年国际数学协会正式宣布：将每年的3月14日设为“国际数学节”．某学校在3月14日举办了校园数学节活动，学生可通过参加多项数学活动获得积分（百分制），次日兑换奖品．为了更好地准备奖品，学生会干部从全校300名学生中随机抽取60名学生的积分，得到数据的频数分布直方图如图 （数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）．根据以上数据，估计该校300名学生中积分不低于70分的学生人数约为 　 　 ．
13．（4分）如图，正六边形ABCDEF中，，那么　 　 （用含、的式子表示）．
14．（4分）小红沿着坡度i为1：的斜面向上走了48米，则小红沿垂直方向升高了 　 　 米．
15．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝5，以AD为半径的圆A和以CD为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线BC的距离不超过3，设AD的长度为m，则m的取值范围是 　 　 ．
16．（4分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1，当点A位于最高点时，∠AOM＝120°，此时，点A到地面的距离为 　 　 ．
17．（4分）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为　 　 ．
18．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合）．连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD＝35°，则∠AED＝55°；③DE2CF CA；④若AB＝4，AD＝3BD，则AF．其中所有正确结论的序号是　 　 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）解方程组：．
20．（10分）解方程：1．
21．（10分）在网格中，已知线段AB的端点均为格点．观察如图仅用无刻度的直尺解决下列的问题．
（1）图1中由条件“D′B′∥DB和D′为AD的中点”判断点C为AB中点的依据是　 　 ；
（2）在图2中，在线段AB外有一点P，连接AP．在线段AB上确定一点H，使得∠PHB＝45°（保留作图痕迹）；
（3）在图3中作线段AB的三等分点M，使（保留作图痕迹）．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，且ED＝3AE，连接AC、BE，相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△EAB；
（2）求四边形EFCD与矩形ABCD的面积之比．
23．（12分）实验目的：借助物理知识用吸管制作乐器．
知识链接：根据物理学知识，我们知道声音是由物体的极动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．
实验操作：准备一些相同规格的吸管进行如下操作：
①分别剪出不同长度的吸管．
②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率．
③将吸管的长度记为x（mm），振动频率记为y（kHz），记录数据如表1：
组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组
x/mm 20 40 60 80 100 120
y/kHz 4.28 2.15 2.43 1.08 0.86 0.72
建立模型：建立如图所示的平面直角坐标系，将表1中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出．
实验小组发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出图象，猜想y与x大致满足我们学过的一种函数关系．
再次查阅资料得到了表2的数据：
音调 do re mi fa sol la si
频率/kHz 0.26 0.29 0.33 0.35 0.39 0.44 0.49
根据以上研究，实验小组制作出了可以吹出表2中7个音调的吸管乐器．
解决问题：
（1）根据以上材料，可以判断表1中异常的数据是第　 　 组．
（2）根据小晋画出的图象，猜想y是x的　 　 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），并求y与x的函数关系式．（系数保留整数）
（3）根据以上材料，求音调“do”对应吸管的长度．（结果精确到1mm）
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣3mx+c经过点A（4m，0）（m≠0）．
（1）求抛物线的对称轴和c的值（用含m的式子表示）；
（2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝mx+m2于点N（M，N）不重合）．
①若m＝1，t＝2，求MN的长；
②已知在点P从点（2，0）运动到点（3，0）的过程中，MN的长随t的增大而减小，求m的取值范围．
25．（14分）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，⊙O是△ABD的外接圆，E是上一动点，连接DE并延长交BC于M，连接BE并延长交CD于N，
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积；
（3）当BM＝3时，求MN的长．
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：________班级：
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考号：
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第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页2026年上海市中考数学试卷
（新考纲抢分Ⅰ卷）答题卡
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
图1
图2
图3
A
E
D
F
B
C
5
4
3
2
●
1
20
40
60
80
100120
D
D
N
N
A
0
E
C
A
0·
E
C
M
M
B
B
图1
图22026年上海市中考数学试卷 （新考纲抢分Ⅰ卷）答题卡
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
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图1
图2
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A
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N
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M
M
B
B
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图22026年上海市中考数学试卷 （新考纲抢分Ⅰ卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B． A D D C A
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）单项式的系数是（　　）
A．﹣2 B． C． D．
【答案】B．
【分析】根据单项式系数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数．
【解答】解：根据单项式的系数的定义可知：的系数是．
故选：B．
【点评】本题考查了单项式系数的定义．确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数的关键．
2．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判断
【答案】A
【分析】判断出判别式的值，可得结论．
【解答】解：由题意得，Δ＝m2﹣4×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系．
3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，四个点的坐标分别为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10）．若一次函数y＝kx+5的图象经过上述四个点中的三个点，则3m+n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据题意，先求出任意两点确定直线的k值，进一步得出一次函数经过的三个点，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10），
则A、B确定直线的k值为，B、C确定直线的k值为，C、D确定直线的k值为，A、C确定直线的k值为，
所以点A，C，D在一次函数y＝kx+5的图象上，
则k＝﹣3．
将点A坐标代入y＝﹣3x+5得，
﹣3（m﹣1）+5＝n+2，
整理得，3m+n＝6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
4．（4分）已知一组数据26，36，36，3■，41，42，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则下列统计量中仍能计算结果的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
【答案】D
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断．
【解答】解：这组数据的平均数、方差和中位数都与被涂污数字有关，而这组数据的众数与被涂污数字无关，即36是这组数据的众数或其中一个众数．
故选：D．
【点评】此题主要考查统计量的选择，主要包括平均数、中位数、众数、方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
5．（4分）下列说法中，不正确的是（　　）
A．命题“若a+b＞0，则a＞0”的逆命题为“若a＞0，则a+b＞0”
B．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
C．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【答案】C
【分析】根据逆命题的概念、等边三角形的判定、角平分线的性质、直角三角形全等的判定判断即可．
【解答】解：A、命题“若a+b＞0，则a＞0”的逆命题为“若a＞0，则a+b＞0”，说法正确，不符合题意；
B、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，说法正确，不符合题意；
C、三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，到三个顶点的距离不一定相等，故本选项说法不正确，符合题意；
D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠DCE的度数为（　　）
A．70° B．140° C．110° D．35°
【答案】A
【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”即可求得答案．
【解答】解：因为∠A＝70°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
所以∠BCD＝180°﹣∠A＝110°．
所以∠DCE＝180°﹣∠BCD＝70°．
故选：A．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）计算的结果是 　0　 ．
【答案】0．
【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行计算即可．
【解答】解：原式
＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了实数的性质，解题关键是熟练掌握绝对值的性质．
8．（4分）若2m＝6，2n＝3，则2m﹣n的值是　2　 ．
【答案】2．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．
【解答】解：∵2m＝6，2n＝3，
∴2m﹣n＝2m÷2n＝6÷3＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．（4分）方程的解是 x＝1　 ．
【答案】x＝1．
【分析】利用因式分解法得到∴0或0，再分别解两个无理方程，然后进行检验确定原方程的解．
【解答】解：∵，
∴0或0，
解0得x＝﹣1，
解0得x＝1，
检验：当x＝﹣1时， 没有意义，
当x＝1时， 0，则x＝1为原方程的解，
所以原方程的解为x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
10．（4分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于原点对称的抛物线的表达式为 y＝﹣x2﹣2x+3　 ．
【答案】y＝﹣x2﹣2x+3．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点进行解答即可．
【解答】解：∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于原点对称的抛物线的表达式为：﹣y＝（﹣x）2+2x﹣3，即y＝﹣x2﹣2x+3．
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
11．（4分）现有四张分别标有数字0，，，π的卡片，随机抽出两张卡片，两张卡片数字的积为有理数的概率是　　 ．
【答案】．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
0 π
0 0 0 0
0 1 π
0 1
π 0 π π2
由表知，共有12种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的数字之积为有理数有8种结果，
所以抽出的两张卡片上的数字之积为有理数的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
12．（4分）2011年国际数学协会正式宣布：将每年的3月14日设为“国际数学节”．某学校在3月14日举办了校园数学节活动，学生可通过参加多项数学活动获得积分（百分制），次日兑换奖品．为了更好地准备奖品，学生会干部从全校300名学生中随机抽取60名学生的积分，得到数据的频数分布直方图如图 （数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）．根据以上数据，估计该校300名学生中积分不低于70分的学生人数约为 　200名　 ．
【答案】200名
【分析】总人数乘以样本中积分不低于70分的学生人数所占比例即可．
【解答】解：估计该校300名学生中积分不低于7（0分）的学生人数约为300200（名），
故答案为：200名．
【点评】本题主要考查频数分布直方图及样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
13．（4分）如图，正六边形ABCDEF中，，那么　　 （用含、的式子表示）．
【答案】．
【分析】根据正多边形的性质和向量的和差进行计算求解．
【解答】解：在正六边形ABCDEF中，
有：，
∵，∴，故答案为：．
【点评】本题考查了正多形和圆，掌握正多边形的性质和向量的和差是解题的关键．
14．（4分）小红沿着坡度i为1：的斜面向上走了48米，则小红沿垂直方向升高了 　24　 米．
【答案】24．
【分析】设小红沿着垂直方向升高了x米，由坡度的概念用x表示出小红行走的水平宽度，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：设小红沿着垂直方向升高了x米，
∵坡比为1：，
∴小红行走的水平宽度为x米，
由勾股定理得：x2+（x）2＝482，
解得：x＝24，
即小红沿着垂直方向升高了24米，
故答案为：24．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
15．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝5，以AD为半径的圆A和以CD为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线BC的距离不超过3，设AD的长度为m，则m的取值范围是 　m≤10　 ．
【答案】m≤10
【分析】如图，当E在AB的左侧时，连接AC，AE，CE，过E作ER⊥BC于R，作ES⊥AB于S，如图，当E在AB的右侧时，连接AC，AE，CE，过E作EH⊥BC于H，交AD于Q，再分别求解m的值，从而得到答案．
【解答】解：如图，当E在AB的左侧时，连接AC，AE，CE，过E作ER⊥BC于R，作ES⊥AB于S，
∵已知矩形ABCD，AB＝5，AD＝m，
∴四边形ERBS为矩形，AD＝CB＝m，AB＝CD＝5，
∵ES＝BR，ER＝BS＝3，
∴AS＝5﹣3＝2，
∵A，C为圆心，
∴AC是DE的垂直平分线，
∴AD＝AE＝m，CD＝CE＝5，
∵ER＝3，
∴CR4，
∴ES＝BR＝4﹣m，
在Rt△AES中，m2＝（4﹣m）2+22，
解得：m，
如图，当E在AB的右侧时，连接AC，AE，CE，过E作EH⊥BC于H，交AD于Q，
∵已知矩形ABCD，AB＝5，AD＝m，
∴AD＝CB＝m，AB＝CD＝5，四边形CDQH为矩形，
∴QH＝CD＝5，
同理可得：
AD＝AE＝m，CD＝CE＝5，
∵EH＝3，
∴QD＝CH4，
∴AQ＝m﹣4，
∵EQ＝5+3＝8
在Rt△AEQ中，m2＝（m﹣4）2+82，
∴m＝10，
综上所述：点E到直线BC的距离不超过3，则m≤10；
故答案为：m≤10．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理的应用，两圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等，确定临界点是解答本题的关键．
16．（4分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1，当点A位于最高点时，∠AOM＝120°，此时，点A到地面的距离为 　5米　 ．
【答案】5米．
【分析】过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于点G，求出∠AOE＝30°，再由锐角三角函数定义求出AG＝2米，即可求解．
【解答】解：如图，过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于点G，
∵AB＝6米，OA：OB＝2：1，
∴OA＝4米，
∵∠AOM＝120°，∠EOM＝90°，
∴∠AOE＝30°，
在Rt△AOG中，AG＝AO sin30°＝42（米），
∴点A位于最高点时到地面的距离为2+3＝5（米），
故答案为：5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
17．（4分）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为　27°　 ．
【答案】27°．
【分析】连接OG、OF、OD、OE、DF、AC，根据四边形ABCD是正方形得到∠ADC＝90°，根据正五边形CEFGH内接于⊙O，得到，进而得到∠DOF、∠DOE的度数，据此求解∠AMF的度数即可．
【解答】解：如图，连接OG、OF、OD、OE、DF、AC，
由题意可得：∠ADC＝90°，
∴AC过圆心O，
∴，，
∵正五边形CEFGH内接于⊙O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴∠DOF＝90°﹣36°＝54°，
∴∠DOE＝72°﹣54°＝18°，
∴，
故答案为：27°．
【点评】本题考查了正方形的性质，圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
18．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合）．连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD＝35°，则∠AED＝55°；③DE2CF CA；④若AB＝4，AD＝3BD，则AF．其中所有正确结论的序号是　①②④　 ．
【答案】①②④．
【分析】先判断出∠BCD＝∠ACE，即可判断出①正确；先求出∠BDC＝100°，进而得出∠AEC＝100°，即可判断出②正确；先判断出∠CAE＝∠CEF，进而得出△CEF∽△CAE，即可得出CE2＝CF AC，最后用勾股定理即可得出③正确；先求出BC＝AC＝4，再求出BD，进而求出CE＝CD，求出，进而可判断出④错误．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∵将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE，故①正确；
∵BC＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠BCD＝35°，
∴∠BDC＝180°﹣45°﹣35°＝100°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠BDC＝100°，
∵CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴∠CED＝45°，
∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝55°，故②正确；
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAE＝∠CBD＝45°＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，
∴，
∴CE2＝CF AC，
在等腰直角三角形CDE中，DE2＝2CE2＝2CF AC，故③不正确；
如图，过点D作DG⊥BC于G，
∵AB＝4，
∴AC＝BC＝4，
∵AD＝3BD，
∴BDAB，
∴DG＝BG＝1，
∴CG＝BC﹣BG＝4﹣1＝3，
∴CD，
∵△BCD≌△ACE，
∴，
∵CE2＝CF AC，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②④．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△BCD≌△ACE是解本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）解方程组：．
【答案】或或或．
【分析】将原方程通过公式法和因式分解方进行变形，从而得到新的二元一次方程组，利用消元法解方程组即可得到答案．
【解答】解：将原方程通过公式法和因式分解方进行变形可得：
由原方程可得（x﹣2y）2＝9，
∴x﹣2y＝3或x﹣2y＝﹣3，
由方程变形可得（x﹣3y）（x+2y）＝0，
∴x﹣3y＝0或x+2y＝0，
根据条件可得二元一次方程组如下：
∴或或或，
解方程组得或或或，
故方程组的解为：或或或．
【点评】本题考查解二元二次方程组．利用消元法解方程组即可得到答案是关键．
20．（10分）解方程：1．
【答案】x＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：6x﹣3（x+3）＝x2﹣9﹣（x﹣3），
整理得：x2﹣4x+3＝0，即（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x＝1或x＝3，
当x＝1时，（x+3）（x﹣3）≠0，
当x＝3时，（x+3）（x﹣3）＝0，
∴x＝3是增根，分式方程的解为x＝1．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（10分）在网格中，已知线段AB的端点均为格点．观察如图仅用无刻度的直尺解决下列的问题．
（1）图1中由条件“D′B′∥DB和D′为AD的中点”判断点C为AB中点的依据是　平行线等分线段定理　 ；
（2）在图2中，在线段AB外有一点P，连接AP．在线段AB上确定一点H，使得∠PHB＝45°（保留作图痕迹）；
（3）在图3中作线段AB的三等分点M，使（保留作图痕迹）．
【答案】（1）平行线等分线段定理；
（2）如图所示，∠PHB＝45°，
∵PH＝PB＝4，∠BPH＝90°，
∴∠PHB＝45°；
（3）如图点M即为所求．
∵AC∥BD，
∴△ACM∽△BDM，
∴，
∴．
【分析】（1）根据D′为AD的中点，得到AD′＝DD′，根据平行线分线段成比例定理得到1，求得AC＝BC，于是得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（3）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵D′为AD的中点，
∴AD′＝DD′，
∵BD∥BD′，
∴1，
∴AC＝BC，
∴点C为AB中点，
故答案为：平行线等分线段定理；
（2）如图所示，∠PHB＝45°，
∵PH＝PB＝4，∠BPH＝90°，
∴∠PHB＝45°；
（3）如图点M即为所求．
理由：∵AC∥BD，
∴△ACM∽△BDM，
∴，
∴．
【点评】本题是三角形的综合题，考查作图﹣相似变换，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，且ED＝3AE，连接AC、BE，相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△EAB；
（2）求四边形EFCD与矩形ABCD的面积之比．
【答案】（1）∵四边形ABCD为矩形，点E在AD上，
∴∠ABC＝∠EAB＝90°，AD＝BC，
∵AB：BC＝1：2，
∴BC＝2AB，
∵ED＝3AE，
∴BC＝AD＝AE+3AE＝4AE，
∴2AB＝4AE，
∴AB＝2AE，
∴2，
∴△ABC∽△EAB．
（2）四边形EFCD与矩形ABCD的面积之比为19：40．
【分析】（1）由矩形的性质得∠ABC＝∠EAB＝90°，AD＝BC，由AB：BC＝1：2，得BC＝2AB，因为ED＝3AE，所以BC＝AD＝2AB＝4AE，则AB＝2AE，推导出2，即可证明△ABC∽△EAB．
（2）由S△ABCAB BC，S矩形ABCD＝AB BC，得S△ADC＝S△ABCS矩形ABCD，可证明△EFA∽△ABC，因为BC＝2AB，AB＝2AE，所以CAAB＝2AE，则，求得，则S△EFAS△ABCS矩形ABCD，所以S四边形EFCDS矩形ABCD，则．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，点E在AD上，
∴∠ABC＝∠EAB＝90°，AD＝BC，
∵AB：BC＝1：2，
∴BC＝2AB，
∵ED＝3AE，
∴BC＝AD＝AE+3AE＝4AE，
∴2AB＝4AE，
∴AB＝2AE，
∴2，
∴△ABC∽△EAB．
（2）解：∵S△ABCAB BC，S矩形ABCD＝AB BC，
∴S△ADC＝S△ABCS矩形ABCD，
∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠ACB，
∵△ABC∽△EAB，
∴∠BAC＝∠AEB，
∴∠FEA＝∠BAC，
∴△EFA∽△ABC，
∵∠ABC＝90°，BC＝2AB，AB＝2AE，
∴CAAB2AE＝2AE，
∴，
∴，
∴S△EFAS△ABCS矩形ABCDS矩形ABCD，
∵S四边形EFCDS矩形ABCDS矩形ABCDS矩形ABCD，
∴，
∴四边形EFCD与矩形ABCD的面积之比为19：40．
【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出2，进而证明△ABC∽△EAB是解题的关键．
23．（12分）实验目的：借助物理知识用吸管制作乐器．
知识链接：根据物理学知识，我们知道声音是由物体的极动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．
实验操作：准备一些相同规格的吸管进行如下操作：
①分别剪出不同长度的吸管．
②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率．
③将吸管的长度记为x（mm），振动频率记为y（kHz），记录数据如表1：
组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组
x/mm 20 40 60 80 100 120
y/kHz 4.28 2.15 2.43 1.08 0.86 0.72
建立模型：建立如图所示的平面直角坐标系，将表1中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出．
实验小组发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出图象，猜想y与x大致满足我们学过的一种函数关系．
再次查阅资料得到了表2的数据：
音调 do re mi fa sol la si
频率/kHz 0.26 0.29 0.33 0.35 0.39 0.44 0.49
根据以上研究，实验小组制作出了可以吹出表2中7个音调的吸管乐器．
解决问题：
（1）根据以上材料，可以判断表1中异常的数据是第　三　 组．
（2）根据小晋画出的图象，猜想y是x的　反比例　 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），并求y与x的函数关系式．（系数保留整数）
（3）根据以上材料，求音调“do”对应吸管的长度．（结果精确到1mm）
【答案】（1）三；
（2）反比例；y；
（3）音调“do”对应吸管的长度331mm．
【分析】（1）根据表中数据，可x与y的乘积接近86的定值，从而可得答案．
（2）根据散点图判断，根据散点图判断，可以用反比例函数来确定y与x的对应关系，由于吸管的长度x与振动频率记为y的乘积接近86的定值，故系数保留整数时k＝86，即可得到y；
（3）由题可得，音调“do”对应频率/kHz为0.26，即y＝0.26，将y＝0.26代入y即可．
【解答】解：（1）根据表中数据，可发现吸管的长度x与振动频率记为y的乘积接近86的定值，而第三组xy＝60×2.43＝145.8相差太多，故第三组数据错误；
故答案为：三；
（2）根据散点图判断，可以用反比例函数来确定y与x的对应关系，
由于吸管的长度x与振动频率记为y的乘积接近86的定值，
故在反比例函数中k＝86（系数保留整数），
故y与x的函数关系式为y，
故答案为：反比例；y；
（3）由题可得，音调“do”对应频率/kHz为0.26，即y＝0.26，
将y＝0.26代入y，
可得吸管的长度x≈331mm，
答：音调“do”对应吸管的长度331mm．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣3mx+c经过点A（4m，0）（m≠0）．
（1）求抛物线的对称轴和c的值（用含m的式子表示）；
（2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝mx+m2于点N（M，N）不重合）．
①若m＝1，t＝2，求MN的长；
②已知在点P从点（2，0）运动到点（3，0）的过程中，MN的长随t的增大而减小，求m的取值范围．
【答案】（1）对称轴为直线xm，c＝﹣4m2；
（2）①MN＝9；
②m＜﹣3或m≤1．
【分析】（1）由对称轴公式可直接得对称轴，将点A代入抛物线可得c和m的关系式；
（2）①将m＝1代入可得抛物线和直线解析式，将点t＝2代入可得点M、N坐标，即可得解；
②易得M、N坐标，可得MN表达式，进而可得其与x轴交点坐标，据此分类讨论求解即可．
【解答】解：（1）对称轴为直线xm，
将点A（4m，0）代入y＝x2﹣3mx+c得，16m2﹣12m2+c＝0，
解得c＝﹣4m2；
（2）①由（1）知抛物线解析式为y＝x2﹣3mx﹣4m2，
当m＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4，直线解析式为y＝x+1，
当t＝2时，则M（2，﹣6），N（2，3），
∴MN＝3﹣（﹣6）＝9；
②∵抛物线解析式为y＝x2﹣3mx﹣4m2，直线解析式为y＝mx+m2，
∴M（t，t2﹣3mt﹣4m2），N（t，mt+m2），
∴MN＝|t2﹣3mt﹣4m2﹣mt﹣m2|＝|t2﹣4mt﹣5m2|，
对称轴为直线x＝2m，
令t2﹣4mt﹣5m2＝0，则有（t+m）（t﹣5m）＝0，
解得t＝﹣m或t＝5m；
当m＞0时，﹣m＜5m，
则MN＝|t2﹣4mt﹣5m2|，
函数图象如图，
由图象可知当t≤﹣m或1.5m≤t≤5m时，MN随t的增大而减小，
∵点P从点（2，0）运动到点（3，0）的过程中，MN的长随t的增大而减小，
即2≤t≤3时，MN的长随t的增大而减小，
∴，
解得m≤1；
当m＜0时，﹣m＞5m，
则MN＝|t2﹣4mt﹣5m2|，
函数图象如图，
由图象可知当t≤5m或2m≤t≤﹣m时，MN随t的增大而减小，
∵点P从点（2，0）运动到点（3，0）的过程中，MN的长随t的增大而减小，
即2≤t≤3时，MN的长随t的增大而减小，
∴，
解得m＜﹣3；
综上，m＜﹣3或m≤1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
25．（14分）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，⊙O是△ABD的外接圆，E是上一动点，连接DE并延长交BC于M，连接BE并延长交CD于N，
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积；
（3）当BM＝3时，求MN的长．
【答案】（1）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，连接OB，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD，△BCD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBD＝60°，
∵⊙O是△ABD的外接圆，
∴OB垂直平分AD，
∴，
∴∠CBO＝∠OBD+∠CBD＝90°，
∴OB⊥BC，
∵OB是⊙O的半径，
∴CB是⊙O的切线；
（2）；
（3）．
【分析】（1）连接OB，证明△ABD，△BCD是等边三角形，可得∠ABD＝∠CBD＝60°，然后根据⊙O是△ABD的外接圆，可得，从而得到∠CBO＝∠OBD+∠CBD＝90°，即可求证；
（2）连接OD，OE，OB，设OE交BD于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得∠BOD＝2∠A＝120°，∠BOE＝60°，从而得到，再根据图中阴影部分面积为S扇形BOD﹣S四边形OBDE，即可求解；
（3）过点M作MH⊥CD于点H，证明△BEM∽△BCN，可得∠BME＝∠BNC，可证明△BCN≌△DBM，从而得到CN＝BM＝3，然后在Rt△CMH中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，连接OB，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD，△BCD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBD＝60°，
∵⊙O是△ABD的外接圆，
∴OB垂直平分AD，
∴，
∴∠CBO＝∠OBD+∠CBD＝90°，
∴OB⊥BC，
∵OB是⊙O的半径，
∴CB是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OD，OE，OB，设OE交BD于点F，
由（1）得：△ABD是等边三角形，AB＝4，
∴BD＝AB＝4，
∵E是中点，
∴，，
∴，
∵∠A＝60°，
∴∠BOD＝2∠A＝120°，
∴∠BOE＝60°，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分面积为；
（3）解：如图3，四边形ABED是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，过点M作MH⊥CD于点H，
∴∠BED＝180°﹣∠A＝120°，
∴∠DEN＝∠BEM＝60°，
∵∠C＝60°，
∴∠C＝∠BEM，
∵∠EBM＝∠CBN，
∴△BEM∽△BCN，
∴∠BME＝∠BNC，
在△BCN和△DBM中，
，
∴△BCN≌△DBM（AAS），
∴CN＝BM＝3，
在Rt△CMH中，∠C＝60°，CM＝BC﹣BM＝1，
∴，，
∴，
在直角三角形MNH中，由勾股定理得：．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
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