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七年级数学（人教版）下学期期末压轴题训练
第十章 二元一次方程组
一、选择题
定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　）
A． B． C． D．
小美同学在学习了二元一次方程组后，利用方程组解决下面问题．设，，，是从1，0，这3个数中取值的一列数，若，，则，，，中数值为0的个数是（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以．若s，t都是“相异数”，其中（，，，都是正整数），规定：，当时，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
已知M，N都为整式
①若，且，则或；
②若，，当，时，则；
③若（，，为非负整数），且，则所有满足条件的整式M的和为；
其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（ ）
A．3， B．4，3 C．5， D．3，2
已知整式，，其中，为自然数，m，n，，为正整数，．且满足，，下列说法：
①若，，时，则，；
②若，则满足条件的整式M共有15个；
③若，则符合条件的情况有9种．
其中正确的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
如图，在3×3的方格上做填数游戏，要求每行、每列及斜对角线上三个方格中的数之和都相等，则x，y的值分别是（ ）
A．1，－1 B．－1，1 C．2，－1 D．－2，1
如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
已知正整数a，b，c，d满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（ ）．
①是该四元方程的一组解；
②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；
③若，则该四元方程有21组解；
④若，则该四元方程有505组解．
A．1 B．2 C．3 D．4
已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论：
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题
已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________．
若方程组的解是，则方程组的解为_______．
若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是__________．
已知关于，方程组的解是，则关于，方程组的解为________．
《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的孙子问题，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，最小的数是__________，第50个数是__________．
实数x，y满足，则______．
三、解答题
对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．
方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”；
若方程组的解与具有“友好关系”，求的值；
未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由．
阅读材料，回答问题．
解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法．
已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为__________；
用材料中的方法解二元一次方程组；
关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的方程组的解．
规定：对于平面直角坐标系中任意一点的坐标满足，此时我们称点为“倍差点”，请回答以下相关问题．
以下各点：①②③中是“倍差点”的有（填序号即可）；
若点是“倍差点”，且点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B，点B到y轴距离是到x轴距离的2倍，求此时点A的坐标；
已知“倍差点”，，关于x、y的方程组与有相同的解，求：①用含k的式子表示m和s；②若对于任意k的值，等式始终成立，求的值
已知的立方根是，是4的平方根．
求a，b的值；
若c是的整数部分，求的立方根．
已知方程组 的解满足，求k的值．
已知：用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨；用5辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货31 吨，某物流公司现有35 吨货物，计划同时租用A型车 a辆，B型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
请你帮该物流公司设计租车方案；
若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
如图1，已知甲、乙两个圆柱形量筒（量筒厚度忽略不计）的底面半径分别为和，高均为，并都装有一定量的水，甲的水位高，乙的水位高．现从甲倒一部分水到乙，甲的水位降低．
若，倒水后甲、乙的水位高度相等，则倒水后甲的水位高多少？
如图2，倒水后将乙放入甲的底部．
①当倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，乙放入甲之后，两量筒内的水位高度恰好相等，求x的值．
②若要使乙放入甲之后，甲、乙水位的高度之比为，且均为整数，求h的值．
参考答案
1．B
解：根据题意可得，，即，
将代入二元一次方程可得，
化简可得，
由题意可得，，解得，B选项符合题意．
2．D
设数值为的个数为，数值为的个数为，数值为的个数为，
共有100个数，
，
，
，
∵，
∴，即③，
联立，解得，
即数值为的个数是34．
3．A
解：，都是“相异数”，，，
，
．
，
，
．
，，且，都是正整数，
或或或，
、都是“相异数”，
，，，，
，
，，
.
4．B
解：对于①，由题意，，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴不符合题意，
∴原方程无解，故①错误；
对于②，联立方程组，
由得：，
代入得：，
化简得，即，故②正确；
对于③，为非负整数且，
所有可能的组合整式为：
若：则；
若：则或或；
若：或或或或或，
则所有满足条件的整式M的和为：，故③正确；
综上，正确的有2个，故B正确．
5．A
解：∵ 方程组为共轭方程组，
∴，
∴，
联立方程：
解得：
故选：A．
6．B
解：∵时，，，
又∵，，
∴，，
解得，，
∴，（为正整数），故①正确．
∵，则，其中，，，
令（），则，
当时， ，此时满足条件的自然数解有组，是或或或，
当时， ，此时满足条件的自然数解有3组，是或或；
当时， ，此时满足条件的自然数解有2组，是或；
当时， ，此时满足条件的自然数解有1组，是；
总解数为个．故②错误．
∵，
∴，，
，，
∴，
又∵，
∴，，，，
由，分两种情况：
当，，则，，结合，，且，
解得有，，，对应3种情况．
当，，则，，结合，，且，
解得有，，，，对应4种情况．
∴总情况数，故③错误．
综上，仅①正确．故选B．
7．B
解：首先，计算第一行的和：
∵左上到右下的对角线的和与每行和相等，
∴，
化简得，
解得，
再根据第三列的和与第一行和相等，
，
代入，
得，
即，
解得，
故选：B．
8．D
解：如图，设中间两个数分别为，，
由题意可得，，
，
，
即，
整理得：．
当时，，故A选项不符合题意；
当时，，故C选项不符合题意；
当时，，
此时，在月历中可以框出符合题意的四个数，故D选项符合题意；
当时，；
此时，16在月历中是第三行最后一个数，无法框出符合题意的四个数，故B选项不符合题意．
故选：D．
9．C
解：①当时，方程左边，方程右边，
∴方程左右两边相等，
是四元方程的一组解，故①正确；
②设，
，
，
∴当，四元方程左右两边相等，
∴连续的四个正整数一定是该四元方程的解，故②正确；
③，且c、d均为正整数，
，
，
同理，
，
又，
，
，
时，或或或或或或，
同理时，或或或或或，
时，或或或或，
…，
时，，
∴当，该四元方程一共有组解，故③错误；
④由③得，
，
，
，
a，c都是正整数，且，
∴当时，，
当时，，
…，
当时，，
∴满足题意的a、b、c、d的值有505组，
∴若，则该四元方程有505组解，故④正确；
故选C．
10．D
解：，
得，
解得，
把代入，得，
故方程组的解为，
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，得，
解得，结论正确；
②当时，方程组的解为，
方程，
而，
故方程组的解也是方程的解，
故结论正确；
③由，得，是定值，
故无论取什么实数，的值始终不变，结论正确．
故选：D．
11．0或或
解方程组得：
∵方程组的解满足
∴，
∴，
∵
∴
整理得，，
∴，
∵a，b均为正整数
∴当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
∴n的值为0，，．
12．
解：将所求方程组两边同时除以7，整理得，
∵已知原方程组的解是，
∴对比原方程组可得，
解得．
13．
解：把待解方程组两边同时除以2，得，
方程组的解是，
，
整理第二个方程得，
得到新方程组，
两式相加得，
解得，
将代入，
解得，
待解方程组的解为．
14．
解：关于，的方程组的解为，
将待解方程组的第二个方程两边同乘得：
，
∴该方程组满足，
解得：
15．11 746
解：由被3除余2且被5除余1设（为正整数，、为非负整数），
令（为正整数），
∴，，
当，，
，．
∴最小的数是，第50个数是
16．或3
解：设， ，
则
将第一个方程两边同乘，得 ，
将第二个方程两边同乘，得 ，
两式作差得，解得，
将代入，得，解得，
因此可得，，
由得或，
当时， ，即或，
解得或，
此时 或 ，
当时， ，即，
解得或，
此时 或 ，
综上，的值为或．
17．（1）解：具有“友好关系”，理由如下：
，
①-②得，
解得，
将代入②得，
解得，
∴方程组的解为，
∴，
∴方程组的解与具有“友好关系”，
（2）解：，
②-①得，
∴
∵方程组的解与具有“友好关系”，
∴，
解得或，
∴的值为或；
（3）解： ，
得，，
解得，
与，都是正整数，
当时，，
则，
此时方程组的解具有“友好关系”；
当时，，
则，
此时方程组的解不具有“友好关系”；
当时，（不合，舍去）；
当时，（不合，舍去）；
综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”．
18．
（1）解：设，，
则原方程组可化为，
与关于，的二元一次方程组系数一致，
∴，
∴，解得．
（2）解：设，，
则原方程组可化为，解得．
∴，解得．
（3）解：原方程组可化为 ，
设，，
则原方程组可化为 ，
与关于，的二元一次方程组的系数一致，
∴．
∴，解得．
19．
（1）解：当时，①是“倍差点”，
当时，②不是“倍差点”，
当时，③是“倍差点”；
（2）解：∵点是“倍差点”，
∴，即，
∵点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B，
∴，
∵点B到y轴距离是到x轴距离的2倍，
∴，即，
当时，，，
则，解得（舍去）；
当时，，，
则，解得，此时，
∴；
当时，，，
则，解得，此时，
∴；
∴点A的坐标为或
（3）解：①∵关于x、y的方程组与有相同的解，
∴联立解得
∴，
∵，是“倍差点”，
∴，，
将，代入得，整理得，
∴解得，
②由①得，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
20．
（1）解：∵的立方根是，
∴，
∵是4的平方根，
或，
当时，解得，
当时，解得．
综上，或．
（2）解：∵，
∴的整数部分是3，
，
当，时，，8的立方根是2；
当，时，，0的立方根是0；
综上，的立方根是2或0．
21．
解：，
得：，即，
∴，即，解得：．
22．
（1）解：设1辆A车运x吨，1辆B车运y吨，
根据题意，列方程组：
解得，
答：1辆A车运3吨，1辆B车运4吨；
（2）解：根据题意，租用a辆 A，b辆B，满足：，
∵a、b为非负整数，
∴或或，
故有三种租车方案：租用1辆A，8辆B或租用5辆A，5辆B或租用9辆A，2辆B；
（3）解：租金：A：200元/次，B：240元/次，
计算各方案费用：
租用1辆A，8辆B费用为（元），
租用5辆A，5辆B费用为（元），
租用9辆A，2辆B费用为（元），
∴最省钱方案为租用1辆 A，8辆B，最少租车费为2120元．
23．
（1）解：∵甲的底面半径为，甲的水位降低，
∴倒出的水的体积为：，
∵乙的底面半径，
∴乙的水位增加：，
∴甲的水位为：，乙的水位为：，
，
，
，
，
即甲的水位高为：．
（2）解：①由题意可得：倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，则，可得乙的水位的高度为，
，
，
，
．
②由题意得：乙的水位高为，放入甲后甲的水位高为：，
，
，
，
∵为正整数，
∴时，．而时，不合题意舍去，
∴的值为： 12 ．

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