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2026年湖北省襄阳市襄城区襄城三校二模数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，比小的无理数是( )
A. B.
C. D.
2.如图，下列图形中是左图空心圆柱的俯视图的是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是．
A. B.
C. D.
4.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 打开电视机正在播放广告
C. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球 D. 抛一枚硬币正面向上
5.榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
7.算法统宗中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上即甲是乙的两倍；乙得甲九只羊，二家之数相当相等，两人都在暗思对方有多少只羊设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为( )
A. B.
C. D.
8.如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，得到两弧的交点，过这两个交点的直线分别交，于点，，连接，则的大小为( )
A. B. C. D.
9.如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于( )
A. B. C. D.
10.如图，中，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，、两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象由两段组成，如图所示，下列结论中错误的是( )
A.
B.
C. 图象段的函数表达式为
D. 面积的最大值为
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.“全民行动，共同节约”，我国亿人口如果都响应国家号召每人每年节约度电，一年可节约度，这个数用科学记数法表示为 ．
12.如果单项式与单项式是同类项，那么可以是 只需写出一个即可
13.老师制作了个完全相同的香囊除香料外，其中艾草香囊个，薰衣草香囊个，桂花香囊个小明将它们混合放在一个不透明的袋子里，从中随机拿出个香囊，则他拿到艾草香囊的概率为 ．
14.在压力不变的情况下，某物体所受到的压强是它的受力面积的反比例函数，其图象如图所示．当时，该物体所受到的压强为 ．
15.如图，在直角三角形纸片中，．是中点，将纸片沿翻折，直角顶点的对应点为，交于，则 ， ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.计算：．
四、解答题：本题共8小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，，，，点在边上，与相交于点，求证：．
18.本小题分
中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出中央电视塔的高度结果精确到参考数据：，，，，，
19.本小题分
浓情端午浸润书香，某校为了了解学生每天课余阅读时长单位： ，随机抽查了该校名学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图和图．
请根据相关信息，解答下列问题：
填空：的值为 ，图中的值为 ；
求统计的这组学生阅读时长数据的平均数、众数和中位数；
根据样本数据，若该校共有学生名，估计该校学生中阅读时长不少于 的学生人数约为多少？
20.本小题分
如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究．
小明的方法是从小到大逐一列举：
则小明列举的第个“智慧数”是 ；
小华在小明列举的基础上，发现除外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明：
设是正整数，
，
又是正整数，
为大于或等于的奇数．
除外，所有的正奇数都是“智慧数”．
她还发现：除外，所有能被整除的正整数都是“智慧数”，参考上面的方法进行证明．
用含有的式子表示除，，外的其它非“智慧数” 是正整数．
21.本小题分
如图，四边形是平行四边形．以边为直径作，恰好为的切线，其中点为切点．点是下方上的点，连接、．
求的度数；
若，，求的长．
22.本小题分
【综合与实践】某校综合与实践活动中，某学生小组对两款售价相同的汽车展开了调研，调研结果如下表所示：
燃油车 新能源汽车
油箱容积：升 电池容量：千瓦时
油价：元升 充电电价：元千瓦时
行驶里程：千米 行驶里程：千米
每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：____________元
新能源车的每千米行驶费用是 元；用含的代数式表示
根据调研数据了解，新能源车每千米行驶费用只有燃油车每千米行驶费用的，请求出以及这两款车的每千米行驶费用；
在的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用比燃油车年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用
23.本小题分
在中，点、分别在边、上，连接、、，．
如图，连接，求证：如果，求证：；
已知，连接．
如图，如果点、关于直线对称，求的值；
如图，如果，，请直接写出的值．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
求此抛物线的解析式；
点、点均在这个抛物线上点在点的左侧，点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上、两点之间的部分含、两点记为图象．
当点与点重合时，求点的坐标；
当点在轴上方，图象的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值；
设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，以、为边构造正方形，当正方形的边与二次函数的图象有且仅有一个公共点时，直接写出的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】答案不唯一
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】解：原式．
17.【答案】证明： ，
，
，
在 与 中，
．

18.【答案】解：在中，，
在中，，
，
，
由图可知四边形是矩形，则
米，
答：中央电视塔的高度为米．

19.【答案】【小题】
【小题】
解：观察条形统计图．
这组学生阅读时长数据的平均数 ；
在这组数据中，出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是．
将这组数据按由小到大的顺序排列，处于中间的数是．
这组数据的中位数是．
故答案为：，，．
【小题】
解： ．
答：估计该校学生中每天课余阅读时长不少于 的人数约为人．

20.【答案】【小题】
【小题】
证明：设是大于的正整数，
则
，
是大于的正整数，
和都是正整数，
是“智慧数”，
又能被整除，
除外，所有能被整除的正整数都是“智慧数”；
【小题】

21.【答案】【小题】
解：如图，连接，
，
为的切线，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
；
【小题】
解：如图，作于点，
，
由可得，
，
，
，
．

22.【答案】【小题】
【小题】
由题意，得，
解得
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元
【小题】
设每年行驶里程为，
由题意得，
解得．
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．

23.【答案】【小题】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【小题】
如图，作，交的延长线于，作，交的延长线于点，设和交于点，
点、关于直线对称，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
设，，
，
，，
，
，即，解得：，
，
，，
，
，
；
如图，作，交的延长线于，设和交于点，
由得，
在中，，
设，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，解得：，
在中，，
，
，
，即，
，，
，
，即，解得：，
，
，
．

24.【答案】【小题】
解：抛物线与轴交于点，将点，点的坐标分别代入得：
解得
抛物线解析式为．
【小题】
解：由知，抛物线与轴交于点，当时，，
点坐标为，
点与点重合，
点，
点的横坐标为，
，
点的横坐标为，
当时，，
点的坐标为．
，
顶点坐标为，抛物线对称轴为直线，
当时，，
当时，，
，，
点在点的左侧，
，
，
又点在轴上方，，，
，
当时，如图，
，
此时，点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，顶点处取最大值，
，
解得或不合题意，舍去；
当时，如图，
，
点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，点离对称轴最近，其纵坐标是最大值，
，
解得不合题意，舍去，
综上所述：图象的最高点与最低点的纵坐标差为时，的值为．
【小题】
解：如图，
，
当点在点上方时，
点，点，
，，
，
只有在抛物线上，满足要求，
，，
把点代入抛物线解析式得，
解得，不合题意，舍去，
当点在点上方时，
点，点，
，，
；
如图，
只有点在抛物线上时，满足要求，
，，
把点代入抛物线解析式得，
解得，不合题意，舍去，
综上所述，当或时，与抛物线有且只有一个交点．

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