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陕西省榆林市高新区2026年九年级考前预测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的算术平方根是( )
A. B. C. D.
2.在一次“我是小小秩序员”设计活动中，希希同学设计了一个圆柱形的路障柱，它的表面展开图可能是( )
A. B. C. D.
3.计算：( )
A. B. C. D.
4.如图，，，点、分别在、上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，将正比例函数为常数，且的图象向下平移个单位长度后，所得的一次函数图象一定经过点( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，点、分别是、的中点，点在上，连接、，，若，则的长为( )
A. B. C. D.
7.如图，是的对角线，于点，于点，若，，，则的长为( )
A. B. C. D.
8.已知点，都在二次函数为常数，且的图象上，若当时，始终满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
9.在实数，，，中，最小的一个数是 ．
10.将正五边形和正五边形按如图方式摆放，顶点、、在一条直线上，则的度数为 ．
11.将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形，它第行两端的数均为，且每个数都是它下一行左右相邻两数的和，则第行从左到右第个数为 ．
12.如图，、、是的弦，与交于点，，若，则的度数为 ．
13.如图，在平面直角坐标系中，点、分别在反比例函数和的图象上，点在轴上，连接、、，轴于点，若，则的值为 ．
14.如图，在菱形中，，，连接，点为的中点，点、均在对角线上，且点在点的左侧，，连接、，则的最小值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共8分。
15.计算：．
16.解不等式，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集．
四、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
先化简，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值．
18.本小题分
如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且保留作图痕迹，不写作法
19.本小题分
如图，点、均在正方形内部，连接、、、，，，求证：．
20.本小题分
年月日，“陕耀中华”展正式开幕，展览纵贯第一单元“根与源”、第二单元“天与人”、第三单元“通与融”与第四单元“新与续”四大篇章，体现陕西在中华文明起源中的独特地位．小秦同学参观完展览，决定选择其中两个篇章撰写观展感悟，他在一个不透明的盒子里放入个分别标有汉字一、二、三、四的小球，依次对应四个单元，这个小球除所标汉字外都相同，摇匀后先从中随机摸出一个小球，不放回，再从剩下的个小球中随机摸出一个，以摸出的小球上所标的汉字对应的单元数为准进行选择．
小秦第一次摸出的小球标有汉字“一”的概率为 ；
请利用画树状图或列表的方法，求小秦选择的两个篇章中有第一单元“根与源”的概率．
21.本小题分
洛川会议纪念馆曾被命名为“全国优秀爱国主义教育示范基地”某校组织学生在该纪念馆进行红色研学期间，薇薇同学测量了纪念馆门楼如图顶部到门洞顶部的竖直高度，如图，她将测角仪大小不计放置在地面上的点处，测得门楼顶部的仰角，调整测角仪的高度至点处时，测得门洞顶部的仰角，米，米，已知，，、、三点在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内，请你计算纪念馆门楼顶部到门洞顶部的竖直高度【参考数据：，，】
22.本小题分
如图是某物理实验装置的一部分，初始位置时，甲、乙两容器中的液面在同一水平线上，实验过程中测得乙容器中液体的总体积随着甲容器下方升降垫的升高先匀速增加，最后保持不变．设升降垫增加的高度为，乙容器中液体的总体积为，则与之间的函数关系如图所示．
根据函数图象解答下列问题：
当时，求与之间的函数关系式；
当乙容器中液体的总体积为时，求升降垫增加的高度．
23.本小题分
随着电视剧主角的热播，秦腔文化再度引发大众关注．为引导学生了解并传承秦腔艺术，某校进行了“探秘秦腔文化传承非遗经典”问卷测试，测试后从七、八年级各随机抽取名学生，统计了他们的测试成绩满分：分，并将统计结果绘制成如下统计图：
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
七年级所抽取学生测试成绩的众数为 分，中位数为 分；
求八年级所抽取学生测试成绩的平均数；
若该校七年级共有名学生参加本次问卷测试，八年级共有名学生参加本次问卷测试，请你估计这两个年级在本次测试中得满分的共有多少名学生？
24.本小题分
如图，在中，，，经过点、，并与边交于点，连接并延长交于点，过点作的切线交于点，于点．
求证：；
若，的直径为，求的长．
25.本小题分
如图是某图书馆阅览区的大门，其外轮廓近似呈如图所示的抛物线形，点为抛物线与地面的交点点与点关于抛物线的对称轴对称，米，抛物线的最高点到的距离为米，管理员计划在门外墙壁上固定两个矩形区域图中阴影部分，分别作为规章制度牌和功能标识牌、已知规章制度牌矩形的顶点在抛物线上，，米，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，图中所有的点与线都在同一平面内．
求该抛物线大门的函数表达式；
若规章制度牌的最高处到地面的距离不大于米，则视为方便读者阅览，已知点到轴的距离为米，计算并判断该规章制度牌是否方便读者阅览？
26.本小题分
综合实践
问题提出：如图，在梯形中，，，连接，若的面积为，则的面积为 ；
问题探究：如图，内接于，为的直径，，点为上一点，连接、，与交于点，点在上，连接，，若，求的长；
问题解决：为深耕青少年科创教育，某市拟修建青少年科创中心，大致规划示意图如图所示，、、为条小路，，米，上的点处有一个公交站，米，上方的点处有一个报刊亭，为锐角，且，米．设计员计划在上取一点，以为边向上作等腰，使得，，沿修建科普展廊，取的中点，将区域规划为创作实践区，请你帮助设计人员判断：随着长度的变化，创作实践区的面积是否变化？若变化，请说明的面积与长度之间的关系；若不变，求出的面积．报刊亭、公交站的大小及小路、科普展廊的宽度均忽略不计
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：原式
．

16.【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
化系数为，得，
在数轴上表示解集如图所示：

17.【答案】解：原式
，
在中，
可取或，
选择，则原式，
若选择，则原式．

18.【答案】如图，点、即为所求：

19.【答案】证明：四边形为正方形，
，．
又，
，
，，
，
．

20.【答案】【小题】
【小题】
解：根据题意列表如下：
第一次 第二次 一 二 三 四
一 一，二 一，三 一，四
二 二，一 二，三 二，四
三 三，一 三，二 三，四
四 四，一 四，二 四，三
从列表可以看出所有等可能的结果共有种，小秦选择的两个篇章中有第一单元“根与源”一的情况数为，则小秦选择的两个篇章中有第一单元“根与源”的概率．

21.【答案】解：如图所示，延长交于点，
，，且，
，则四边形是矩形，
，米，米，
在中，，，
米，
米，
，
，是等腰直角三角形，
米，
米．

22.【答案】【小题】
解：当时，设与之间的函数关系式为：，
把，代入得：
解得：
与之间的函数关系式为：．
【小题】
解：当乙容器中液体的总体积为时，
，
解得：，
当乙容器中液体的总体积为时，升降垫增加的高度为．

23.【答案】【小题】
【小题】
解：先从散点图提取八年级人成绩：
编号成绩依次：，，，，，，，，，，
平均数为：分；
【小题】
解：七年级抽取的人中满分分有人，满分率，七年级人：
名；
八年级抽取的人中满分分有人，满分率，八年级人：
名；
合计：名；
答：估计这两个年级在本次测试中得满分的共有名学生．

24.【答案】【小题】
证明：如图，连接，
在中，，，
，
，
是的切线，
，
，
，
；
【小题】
解：的直径为，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，解得．

25.【答案】【小题】
解：点与点关于抛物线的对称轴对称，，
抛物线顶点坐标的横坐标为．
抛物线的最高点到的距离为，
抛物线顶点坐标的纵坐标为，
抛物线顶点坐标为．
故可设抛物线大门的函数表达式为，
抛物线过原点，
故将代入上式，可得，
解得：，
抛物线大门的函数表达式为．
【小题】
解：点到轴的距离为米，
点的横坐标为，
将代入中，即，
解得：，
点的坐标为，
，四边形为矩形，
，即轴，
，
点的坐标为，即，
，
该规章制度牌方便读者阅览．

26.【答案】【小题】
【小题】
解：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
；
【小题】
解：如图，延长、交于点，连接、，过点作的垂线，交直线于点，
，
，
在中，，
米，
，点为的中点，
，，
，
，
，即，
在中，，
，
又和都是锐角，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，米，
米，
，
点与点都在以为直径的圆上，即、、、四点共圆，
，
，
又，
，
，
平方米为定值，
随着长度的变化，的面积不变，的面积为平方米．

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