资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
苏州市2025-2026学年第二学期八年级数学期末模拟卷（11）
一．选择题（共8小题）
1．学生的心理健康问题越来越被关注，为了了解学生的心理健康状况，某中学从该校3000名学生中随机抽取600名学生进行问卷调查，下列说法正确的是……………………………………………………………（　　）
A．每一名学生的心理健康状况是个体； B．3000名学生是总体 ；
C．600名学生是总体的一个样本； D．600名学生是样本容量；
2．下列事件中，属于必然事件的是…………………………………………………………………………（　　）
A．射击运动员射击一次，命中9环
B．掷一枚普通的正方体骰子，向上的一面出现的点数大于6
C．在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月
D．买一张电影票，座位号是偶数号
3．下列命题中正确的是………………………………………………………………………………………（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形； B．对角线相等的四边形是矩形 ；
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 ； D．对角线相等的菱形是正方形；
4．如果点是线段的黄金分割点（且，那么下列结论错误的为…………………………（　　）
A．； B．是和的比例中项； C．；D．；
5．如图，在中，，点、分别是，的中点，连接，过点作交的延长线于，若四边形的周长是16，的长为8，则的周长是…………………　　
A．20 B．22 C．24 D．26
6．在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，若以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩短为原来的后得到线段，则点的对应点的坐标为……………………（　　）
A． B． C． D．
7．如图，的中线，相交于点，若的面积为，则的面积为…………　　
A．12 B．8 C．6 D．4
8．如图，△中，，为中点，为的中点，连接．若，则的长为………………………………………………………………………………………………………………（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．已知，那么　　．
10．已知是关于的一元二次方程，则可取的值是 　　．
11．在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1、3、4、5小组的频数分别是3，17，15，5，则第2小组的频数是　　．
12．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 　 　．
13．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是 　　 ．
14．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，则的度数为 　　
15．如图，矩形中，、相交于点，平分，交于，若，则的度数为 　　度．
16．如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接．若．，则的长等于 　　
三．解答题（共11小题）
17．解方程：
（1）； （2）．
18．已知关于的方程．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根，满足，求的值．
19．“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把收集的数据分为以下4类情形：
．仅学生自己参与；
．家长和学生一起参与：
．仅家长自己参与；
．家长和学生都未参与．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 　　名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校5000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
20．如图，在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，．
①以原点为位似中心，在轴的右侧画出△的一个位似△，使它与△的相似比为；
②将△向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△，判断△与△，能否是关于某一点为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心，并写出点的坐标．
21．如图，道路的正上方挂有一盏路灯，把路灯看成一个点光源，路灯到道路的距离为，晚上，一名身高为的小女孩沿着道路散步，从处径直向前走到达处．已知小女孩在处影子的长为，在处影子的长为，求小女孩的身高．
22．如图，在平行四边形中，为对角线的中点，经过点并与，分别相交于点，．
（1）求证：；
（2）当时，连接，，请判断四边形的形状并说明理由．
23．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
24．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
（1）若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元件，如果以单价为100元件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．
25．如图1，中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作交于点，把△沿着翻折得△，连接．．
（1）证明：；
（2）当时，求折痕的长；
（3）当△为等腰三角形时，求的长．
26．【问题提出】
（1）如图1，正方形中，点是边上的动点，连接．过点作于点，过点作于点，求证：△△；
【类比探究】
（2）如图2，正方形中，点是边上的动点，连接．过点作于点，过点作于点，射线交于点．若，点为的中点，求的长；
【拓展延伸】
（3）在矩形中，，，点是边上的动点，连接．过点作于点，过点作于点，射线交直线于点．当点，，中，恰有一个点是另外两点所连线段的中点时，求的长．
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
【分析】根据菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定判断即可．
【解答】解：、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原命题是假命题；
、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原命题是假命题；
、对角线互相平分且相等且互相垂直的四边形是正方形，原命题是假命题；
、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；
故选：．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定等知识，难度不大．
4．如果点是线段的黄金分割点（且，那么下列结论错误的为（　　）
A． B．是和的比例中项
C． D．
【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可．
【解答】解：点是线段的黄金分割点（且，
是和的比例中项，，
，
故选项、、不符合题意，选项符合题意，
故选：．
【点评】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
5．如图，在中，，点、分别是，的中点，连接，过点作交的延长线于，若四边形的周长是16，的长为8，则的周长是　　
A．20 B．22 C．24 D．26
【分析】根据三角形中位线定理得到，，得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
在中，是的中点，
，
，
，
的周长，
故选：．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，若以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩短为原来的后得到线段，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出点坐标．
【解答】解：以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，
端点的横坐标和纵坐标都变为点的横坐标和纵坐标的一半，
又，
端点的坐标为．
故选：．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
7．如图，的中线，相交于点，若的面积为，则的面积为　　
A．12 B．8 C．6 D．4
【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据相似三角形的性质、三角形的面积公式求出，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：，是的中线，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
解得，的面积为，
的面积为，
故选：．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
8．如图，△中，，为中点，为的中点，连接．
若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先证明△和△相似，再得出的长．
【解答】解：根据题意可得：第1、3、4、5个小组的频数分别为3，17，15，5，共，
而样本总数为50，
则第二小组的频数是．
故答案为：10．
【点评】本题考查频数和频率的知识，注意掌握每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和．
12．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 　且　．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得且△，
解得且，
所以实数的取值范围是且．
故答案为：且．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根．
13．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是 　4049　 ．
【分析】将代入方程得，，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，整理，即可求解．
【解答】解：由条件可知，，
将代入方程得，，即，
原式
．
故答案为：4049．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的定义、根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义，根与系数的关系即．
14．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，则的度数为 　　
【分析】根据菱形的性质求出，再根据斜边中线等于斜边一半得出即可．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，解题关键是根据菱形和直角三角形的性质得出角之间的关系．
15．如图，矩形中，、相交于点，平分，交于，若，则的度数为 　75　度．
【分析】根据矩形的性质可得为等边三角形，得出，又因为为等腰直角三角形，，由此关系可求出的度数．
【解答】解：在矩形中，平分，
，
又知，
，
，
为等边三角形，
，
，，
为等腰直角三角形，
．
，，
，
此时．
故答案为．
【点评】此题综合考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、矩形的性质等知识点．
16．如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接．若．，则的长等于 　6　
【分析】如图，过点作，交于，首先证明，进而得到，，是等腰直角三角形，解得，进而得到．
【解答】解：如图，过点作，交于，
四边形是正方形，
（2），
，
或，
，．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和公式法是解题的关键．
18．已知关于的方程．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根，满足，求的值．
【分析】（1）依据题意，利用根的判别式的意义得到△，然后解不等式即可；
（2）依据题意，可得，，则，，结合，从而，进而计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意得，△，
．
的取值范围为．
（2）由题意得，，，
，．
又．
．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
19．“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把收集的数据分为以下4类情形：
．仅学生自己参与；
．家长和学生一起参与：
．仅家长自己参与；
．家长和学生都未参与．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 　400　名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校5000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
【分析】（1）根据类的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出类的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
用乘以类所占的百分比即可得出类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）用总人数乘以“家长和学生都未参与”的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）（名，
即在这次抽样调查中，共调查了400名学生，
故答案为：400；
（2）类学生有：（人，
补全的条形统计图如图所示；
，
即在扇形统计图中计算类所对应扇形的圆心角的度数是．
（3）（人，
答：该校5000名学生中“家长和学生都未参与”的人数有250人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20． 如图，在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，．
①以原点为位似中心，在轴的右侧画出△的一个位似△，使它与△的相似比为；
②将△向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△，判断△与△，能否是关于某一点为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心，并写出点的坐标．
①把、的横纵坐标都乘以2得到、的坐标，然后描点、连线即可；
②延长、、的交点为，然后写出点的坐标即可．
【解答】解：（1）解不等式①得，
解不等式②得，
所以不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解为，0，1，2，3，它们的和为；
（2）①如图，△为所作；
②△与△是关于点为位似中心的位似图形，如图，点为所作，点的坐标为．
【点评】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．也考查了解一元一次不等式组和平移变换．
21．如图，道路的正上方挂有一盏路灯，把路灯看成一个点光源，路灯到道路的距离为，晚上，一名身高为的小女孩沿着道路散步，从处径直向前走到达处．已知小女孩在处影子的长为，在处影子的长为，求小女孩的身高．
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
【解答】解：小女孩的身高：小女孩的影长路灯的高度：路灯的影长，
当小女孩在处时，，即，
当小女孩在处时，，即，
，
，
，
经检验：是原方程的根．
，
即，
解得：．
答：小女孩的身高为1.5米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握“在同一时刻物高与影长的比相等”是解题的关键．
22．如图，在平行四边形中，为对角线的中点，经过点并与，分别相交于点，．
（1）求证：；
（2）当时，连接，，请判断四边形的形状并说明理由．
【分析】（1）根据证明△△即可；
（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】（1）证明：四边形都是平行四边形，
，
，
，，
△△，
；
（2）解：结论：四边形是菱形．
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
23．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）证明，得，再证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，则，然后由勾股定理求出，即可解决问题．
【解答】（1）证明：，
，
平分
，
，
．
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
，
，
菱形的面积，
，
，
即的长为．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
（1）若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元件，如果以单价为100元件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．
【分析】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；
（2）设每件工艺品降价元出售，则降价元后可卖出的总件数为，每件获得的利润为，此时根据获得的利润卖出的总件数每件工艺品获得的利润，列出次方程，求解即可．
【解答】解：（1）设条带的宽度为，
根据题意，得．
整理，得，
解得，（舍去）．
答：丝绸条带的宽度为．
（2）设每件工艺品降价元出售，
由题意得：．
解得：．
所以售价为（元．
答：当售价定为75元时能达到利润22500元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出一元二次方程模型，难度不大．
25．如图1，中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作交于点，把△沿着翻折得△，连接．．
（1）证明：；
（2）当时，求折痕的长；
（3）当△为等腰三角形时，求的长．
【分析】（1）由，得，故，而△沿着翻折得△，有，即得；
（2）设交于，由，可得，而△沿着翻折得△，有，可证，即可得△△，故，，设，则，知，解得，即，，设，则，有，解得，从而；
（3）当时，过作于，设，证明△△，得，可得，解得；当时，设，则，可得，
解得，即，即可得到答案．
【解答】（1）证明：，
，
，
△沿着翻折得△，
，
；
（2）解：设交于，如图：
，
，
△沿着翻折得△，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，
又，
△△，
，，
，
设，则，
，
，
解得，
，，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
，
折痕的长为；
（3）解：当时，过作于，如图：
设，
由（1）知，
又，，
△△，
，
，，
，
，
，
，
解得，即；
当时，如图：
设，则，
，
，
，
解得，即；
在边上，
，
综上所述，的长为或．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
26．【问题提出】
（1）如图1，正方形中，点是边上的动点，连接．过点作于点，过点作于点，求证：△△；
【类比探究】
（2）如图2，正方形中，点是边上的动点，连接．过点作于点，过点作于点，射线交于点．若，点为的中点，求的长；
【拓展延伸】
（3）在矩形中，，，点是边上的动点，连接．过点作于点，过点作于点，射线交直线于点．当点，，中，恰有一个点是另外两点所连线段的中点时，求的长．
【分析】（1）正方形的性质得，，结合垂直得，可得，即可证明△△；
（2）根据直角三角形的性质得，则有，结合正方形的性质得，有，即可得，则，设，则，，利用勾股定理得，即可求得；
（3）可证明△△，则，设，则，分两种情况：当点为的中点时，由（2）得，得，利用勾股定理求得即可；当点为的中点时，延长交于点，则有，那么，，结合中点得，判定，则，有，利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：四边形为正方形，
，，
，
，，
，
则，
，，解得，则；
综上所述，的长或．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟悉特殊四边形的性质和三角形的性质，以及分类讨论思想的应用．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑