资源简介

七年级数学（人教版）下学期期末压轴题训练
第八章 实数
一、选择题
已知三个实数，，满足，，， 则下列结论一定正确的是( )
A．， B．， C． D．
若，，，则m，n，k的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
估计（）的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，，记，则的值为（ ）
A． B． C． D．
如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（）
A． B． C． D．
已知整式，其中为正整数，，，…，均为绝对值小于2的整数，规定中各项次数和为，且．下列说法：
①当时，满足条件的整式共有4种；
②当时，满足条件的所有整式中，能被5整除的有5个；
③若方程有解，则所有满足条件的整式共有14个．
其中正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
对实数进行如下操作：先将其乘以2，再将所得的结果加上5，称为第一次操作，记结果为，将第一次操作的结果按相同规则再操作一次，得到第二次操作的结果，记为，以此类推，重复操作．记，则下列说法中正确的个数是（ ）
①当时，，；
②若，则；
③若为整数，则是偶数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ）
A． B． C． D．
设，，，…，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
已知整式，满足，若，其中、．．．，为整数，且、、不为零，下列说法正确的有（ ）个．
①当时，不存在使得为单项式；
②当时，满足条件的有2个；
③当时，满足条件的共有4个．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
如图是一组有规律的图案，第1个图中有4个小黑点，第2个图中有7个小黑点，第3个图中有12个小黑点，第4个图中有19个小黑点……，以此规律，第n个图中有2028个小黑点，则n的值为______．
一个四位自然数，若满足，，则称这个四位数为“一生一世数”，例如：四位数4896，∵，，∴4896是“一生一世数”，按照这个规定，最大的“一生一世数”是________；一个“一生一世数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若能被5整除，能被4整除，则满足条件的M的值为________．
对于一个四位数，满足各个数位上的数字互不相等且均不为，且满足 （为正整数），则称该数为“对数”．对“对数”，将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定： ．若四位数是一个“对数”，则的值为________．若是一个“对数”，且被的各个数位上的数字之和除，余数是，则满足条件的最小值为________．
如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数M为“双倍数”，记，．若“双倍数”，则______；若“双倍数”M满足能被7整除，则满足条件M的最大值与最小值之差为______．
对于一个三位正整数，若各个数位上的数字都不为0，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数叫“中项两倍数”·例如：三位数159，，是中项两倍数”；三位数764，，764不是“中项两倍数”．则“中项两倍数”的最小值是_____________，把“中项两倍数”的各个数字之和被3整除的商记为．其中，能被21整除，且为有理数的所有“中项两倍数”的值为_____________．
观察下列等式：；；；……根据以上规律，计算______．
三、解答题
计算：．
观察下列等式：
，
，
，
……
根据以上规律，请完成下面问题：
求的值；
比较与2026的大小，并说明理由．
对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，
例如：，．
计算：________；
若，写出一个满足题意的x的整数值________；
如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值．
思考并计算，直接写出答案________．
在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）；在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）．
图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是，（图①，图②长方形的长均为a个单位，宽均为b个单位），则____，____，____（填“”或“”或“”）；
如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是2m，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长为___m，宽为___m
如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是2m，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是1m．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，这个长方形的长是宽的3倍，且面积是，计划用不超过4400元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每平方米路面的铺设费用（人工费材料费）约为160元，请问总预算4400元够吗？并说明理由．
我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“优美数组”．例如：这三个数，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数是“优美数组”．
这三个数是“优美数组”吗？请说明理由；
若三个数是“优美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值；
若三个数是“优美数组”，将所有满足条件的的取值按从大到小的顺序排列，第1个取值记为，第2个取值记为，以此类推．求的第个取值的表达式（用含的代数式表示）．
若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题：
的“舒适区间”是________；的“舒适区间”是________；
若为偶数，且的“舒适区间”为，求的小数部分；
实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”．
定义“”是一种取整运算新符号，即表示不超过的最大整数；同时对任意实数定义“”为：．例如：；．
计算：_____，_____；对任意实数，直接写出的取值范围_____
对于任意实数，定义如下运算：计算，当不等于0时，令；之后计算，当不等于0时，令；最后计算．我们称“”为实数的连分数近似．例如当时，，因此；继续计算得，因此；最后算出，从而的连分数近似为：．
①按上述运算规则，写出当时，它的连分数近似为_____．
②连分数近似常被用于计算一个无理数的有理数近似．请按照上述规则，直接写出当时，它的连分数近似为_____．
（在计算过程中可能会用到下列等式：）
参考答案
1．D
解：∵，
∴异号，同号，则A不正确
∴异号，
∵，
∴，则，则B，C不正确.
2．A
解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂，
∴，，，
∵，
即，
∴．
3．C
解：原式，
，
，，
，
，，
，
，即，且原式为正数，
原式.
4．C
解：，
，
，
当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，
则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，
，
，
∴，
，
．
5．D
解：正方形的面积为，正方形的面积为，
正方形的边长，正方形的边长，
设正方形的边长为，由图可知，点在线段上，点在线段上，
，即，
，，，
选项均不符合题意，
，
，
正方形的边长可以是，选项 D 符合题意．
6．A
解：∵均为绝对值小于2的整数，规定中各项次数和为，且．
∴可取，0或1，
对于①，已知，是一次整式：
当是单项式时，仅含一次项，整式为，，共2种；
当是多项式时，含一次项和常数项，整式为，，，，共4种；
因此满足条件的整式共种，故说法①错误．
对于②，当时，，则，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
当能被5整除时：
当时，，
要为5的倍数，只有，
对应整式为，共1种；
当时，，
要为5的倍数，只有，
对应整式为，共1种；
因此满足条件的整式共个，故说法②错误．
对于③，当时，整式有6种：，，，
对应的方程均有解，共6个；
当时，则，，
∴，
∴符合条件的所有整式为：，，，，共6个；
其中使方程有解的整式为，，，共4个；
总共有个，故说法③错误．
综上，三个说法均错误，正确个数为0．
7．D
解：当时，
，
，
，
，
，
∴，
∴，，故①正确；
，
，
，
，
，
，
∴，
∵
∴，
解得，故②正确；
∵为整数，
∴是奇数，
∴是奇数……
依此类推，都是奇数，
∵，
∴是2026个奇数的和，
∴是偶数，故③正确；
综上，正确的个数是3个．
8．A
解：由题意可得，则表示的数为，
，
表示的数为3，
，
同理：，，，
……
，即选项A符合题意．
9．C
解：∵，
……
∴，
∴
．
10．D
解：∵ 所有系数为整数，，且不为零，系数和等于，对三个说法逐一判断：
① 若为单项式，所有低于次的系数均为，系数和为，即，不存在整数满足条件，因此不存在这样的，①正确；
② 当时，，满足，系数和，
∵ ，
∴ ，小于的正完全平方数只有和，
当时，，符合条件；当时，，符合条件；共个满足条件的，②正确；
③ 当，对分类讨论：
：，满足，系数和，仅时符合条件，共个；
：，满足，系数和，最大系数和为，仅符合条件，得，符合条件的为，共个；
：，满足，系数和，仅符合条件，得，符合条件的只有，共个；
：系数和的最大值为，由于，为正整数，故不存在满足条件的M；
因此总个数为，③正确；
综上，个说法都正确，正确个数为.
11．45
解：第1个图案由个小黑点组成，
第2个图案由个小黑点组成，
第3个图案由个小黑点组成，
第4个图案由个小黑点组成，
……，
第个图案由个小黑点组成，
根据题意可得，解得：（不合题意，舍去），．
n的值为45．
12．
（1）解：∵千位和百位数越大，四位数越大，
∴千位上的数字与百位上的数字均为9，
∵千位上的数字加十位上的数字为13，百位上的数字加个位数上的数字为14，
∴十位上的数字为4，个位数上的数字为5，
∴该四位数为9945．
（2）解：设该四位数十位上的数为，则千位上的数为，百位上的数为，个位上的数为，
则，
，
，
∴ ，
，
∵能被5整除，
∴个位数为0或5，
∵个位数为0，
∴的个位数为0或5，则或，
∵，
∴，，
能被4整除，
当时，，
，
∵，
∴，
当时，非整数，排除；
当时，，整数，且能被整除，
当时，，非整数，排除；
∴，
则千位上的数为，个位上的数为，
∴满足条件的的值为．
13．
解：①四位数是“对数”，
由定义得 ，
解得 ，
，互换后得，
．
②设，互换后得，
，
，
是“对数”，
，即，
，可得
，
的各个数位上数字之和为，
将代入可得，
，
已知被的各个数位上数字之和除，余数是，
即（为整数），
将和代入可得：
，
将代入可得，
，
去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得
，
提取公因式，得
，
进一步化简可得，
，
两边同时除以，得
，
为的整数且互不相等，
，
即，
去分母，得，
解得，，
又因为为整数，
的最小值为，
当时，
，
要使最小，
则，
此时，
要使最小，
则，
不满足各数位上的数字互不相等，舍去．
当时，，
不是整数，舍去．
当时，，
不是整数，舍去．
当时，，
不是整数，舍去．
当时，，
不是整数，舍去．
当时，，
要使最小，则，此时，
要使最小，则，
满足条件的的最小值为．
14．114 7197
解：①当时，， ，
∴；
②根据定义得，即，其中，其中a，b，c，d都为整数且互不相等，
化简和：
，
，
则，
∵
，
且与都能被7整除，
∴也能被7整除，
求满足条件的M的最大值：要使M最大，需a尽可能大，
当时，，
即能被7整除，且，c为整数，
∴，
此时，，且各数字互不相等，
由，得，
当时，，与重复，舍去；
当时，，四个数字9，3，4，5互不相等，符合条件，故最大；
求满足条件的M的最小值：要使M最小，需a尽可能小，
当时， ，
即能被7整除，且，c为整数，
∴，
此时，不符合；
当时， ，
即能被7整除，且，c为整数，
∴，
此时，取最小，得，四个数字2，1，4，8互不相等，符合条件，故最小；
因此最大值与最小值之差为．
15．111 147
解：是“中项两倍数”，
当最小时，百位数字和个位数字都为1，即，
则，
∴的最小值是；
是“中项两倍数”，
，
能被整除，
为整数，
，
为有理数，
为有理数，
或或，
当，时，，
解得（舍），
当，时，，
解得，此时，
当，时，，
解得（舍），
综上，．
16．
解：∵；
；
；……
∴
．
17．解：
．
18．（1）解：；
（2）解：，，，
，
，
，
∵，
．
19．（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，且x为整数，
∴或或（答案不唯一，符合题意即可）．
（3）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点，
∴点C表示的数为，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的值为．
（4）解：，，
，…，
∵，，
∴
．
20．（1）解：根据题意得：；；
∴，
（2）解：设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，则：
，
（负值舍负），
长方形场地的长，
长方形场地的宽．
（3）解：够，理由如下：
设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，
则，
（负值舍去），
长方形场地的宽，
长方形场地的长，
则两条小路的总面积为：，
将两条小路改铺成鹅卵石路面的总费用元，
∵，，
∴
∴
∴
答：总预算4400元够．
21．（1）解：，，这三个数是“优美数组”，理由如下：
∵，，，且4，6，12都是整数，
∴，，这三个数是“优美数组”；
（2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12，
∴这两个数的乘积为144，
当时，则，
∵，
∴，此时符合题意；
当时，则不符合题意；
综上所述，；
（3）解：∵三个数是“优美数组”，
∴是负整数，且，
∵是整数，
∴只需是整数即可，
令（为正整数，且）
则，
∵为整数，设，则（为偶数），
令（t为正整数），则，
此时也为整数，
∴（排除，此时；排出，此时），
∴时，；
时，；
时，；
以此类推，，为正整数．
22．（1）解：∵，，，
∴，舒适区间为；
∵，，，
∴，的舒适区间为；
（2）解：的“舒适区间”为，
，
，
为偶数，
，
若，则，，因此小数部分为；
若，则，，因此小数部分为；
的小数部分为或；
（3）解：根据二次根式有意义的条件，被开方数非负：
，，
，
，
∴右边，
即左边两个立方根之和为： ，
两边立方得：，
，
，
，
，
的“舒适区间”为．
23．（1）解：，
，
，
，
，
，
即．
（2）① 解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
连分数近似为，
，
．
(2) ② 解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
连分数近似为，
，
，
．

展开更多......

收起↑