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(共21张PPT)
1.6 相似三角形的应用
1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度；
2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
你和本班的一些同学要去埃及风情公园研学.在只有小镜子、标杆、皮尺等基本测量工具的情况下，你知道怎样测量“金字塔”的高度和“尼罗河”的宽度吗？
问题1: 如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B 间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？
A
B
分析：如图，在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B 两点，连接并延长AC，BC，在 AC 的延长线上取一点 D，在 BC 的延长线上取一点E，使 ==k(k 为正整数)，测量出 DE 的长度后，就可以由相似三角形的有关知识求出 A，B 间的距离了.
C
D
E
做一做 如图，如果==2，且测得DE的长为50 m，则A，B两点间的距离为多少？
解：∵==2，∠ACB=∠DCE，
∴ △ABC∽△DEC．∴=2．
∵ DE=50 m，
∴ AB=2DE=100m.
A
B
C
D
E
问题2： 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直于 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.
解得 PQ = 90.
因此，河宽大约为 90 m.
解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P =∠P，
∴△PQR∽△PST.
∴ ，
即 ，
依据：构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解
不易直接测量的距离
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC⊥BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D． 此时如果测得 BD = 80 m，DC = 30 m，EC = 24 m，求两岸间的大致距离 AB．
E
A
D
C
B
30 m
24 m
80 m
解：∵∠ADB =∠EDC，
∠ABC =∠ECD = 90°，
∴△ABD∽△ECD.
∴ ，即 ，
解得 AB = 64.
因此，两岸间的大致距离为 64 m.
问题：如图，为了测量金字塔的高度 OB，先竖一根已知长度的木棒 O'B'，比较木棒的影长 A'B' 与金字塔的影长 AB，即可近似算出金字塔的高度 OB. 如果 O'B' = 1 米，A'B' = 2 米，AB = 274 米，求金字塔的高度 OB.
A'
B'
O'
A
C
B
O
解：∵太阳光线是平行光线，
∴∠OAB =∠O'A'B'.
∵∠ABO =∠A'B'O' = 90°，
∴△OAB∽△O'A'B' ( 两角分别相等的两个三角形相似 )
∴ = ，
∴OB = = = 137 ( 米 )，
答：金字塔的高度 OB 为 137 米.
A'
B'
O'
A
C
B
O
表达式：物1高 : 物2高 = 影1长 : 影2长
测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
思考：还可以有其他测量方法吗？
A
F
E
B
O
┐
┐
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
OA · EF
AF
平面镜
C
入射光线
反射光线
∠EAC=∠BAC
∠EAF=∠BAO
∠EFA=∠BOA
入射角=反射角
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
注：“在同一时刻物高与影长成正比例”和“利用镜子的反射测量高度”这两种方法都用到相似三角形的性质测量高度
表达式：物1高 : 物2高 = 物1镜距 : 物2镜距
在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛(O)、 准星(A)、靶心点(B)在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到 A'，如图所示.已知 OA = 0.2 m，OB = 50 m，AA' = 0.0005 m，求小明射击到的点 B' 偏离靶心点 B 的长度 BB'（近似地认为 AA'∥BB' ）.
解：∵ AA'∥BB′，∴ △OAA' ∽△OBB′.
∵ OA = 0.2 m，OB = 50 m，AA' = 0.0005 m，∴ BB' = 0.125 m.
答：李明射击到的点 B' 偏离靶心点 B 的长度 BB' 为 0.125 m.
相似三角形的应用
利用相似三角形的性质测量宽度(不能直接测量的两点间的距离)
利用相似三角形的性质测量高度(不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度)
1.如图，为估算学校旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m，BC=8m，则旗杆的高度是(　　)
A.6.4m
B.7m
C.8m
D.9m
C
2.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m,AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(　　)
A．0.2m
B．0.3m
C．0.4m
D．0.5m
C
3.如图所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经过CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为 （入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D．若AC=3，CE=4，ED=8，则BD= ．
6
4.小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线.
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m.求河宽AB.
解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，即＝，
解得AB＝17.
经检验，AB＝17是原分式方程的解.
答：河宽AB的长为17 m.

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