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八年级数学（人教版）下学期期末压轴题训练
第二十三章 一次函数
一、选择题
如图，在平面直角坐标系中，函数和的图像分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④
如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，的面积为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．32
如图，已知的顶点在坐标轴上，．正方形的顶点分别在坐标轴上，且．将正方形向右平移使得点恰好落在线段上，此时点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
如图，在直角坐标系中，直线和与坐标轴分别相交于A，B和C，D，若，则下列判断不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
如图，一次函数的图象与y轴交于点A，与正比例函数的图象交于点B，P是x轴上一动点，当的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在轴上，点在第二象限，将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（ ）
A．点的坐标为
B．
C．边所在直线的解析式为
D．的面积为
小谦同学在学了一次函数图象后，用数学软件绘制了的图象，如图所示，通过观察此图象，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点
B．当时，
C．关于的方程有两个实数根
D．当时，随的增大而减小
如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，且．已知点在内部或边界上，若，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，点为上一点， ，则的面积为（ ）初中题，不用向量
A． B． C． D．
二、填空题
已知一次函数（，是常数），当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是，那么该一次函数的表达式是________．
如图，平面直角坐标系中，直线交正半轴于点，交轴正半轴于点，为上一点，过点作交轴于点，为轴负半轴上一点，连接，若，，则有下列四个说法：①点坐标为；②的解析式为；③的长为8；④的最小值为17．其中正确的序号是__________．
新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图，在平面直角坐标系中等边，点，，若等边的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，则等和的取值范围为______．
如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为________，点的坐标为________．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点，，，…，均在直线上，点，，…在轴正半轴上．则点的坐标是__________．
如图，将矩形放在直角坐标系中，已知，．点在边上且，直线（为常数，）交直线于点，交轴于点，连接．当平分时，的值为______．
三、解答题
如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，．
点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________；
平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式；
点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；
若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________．
为提升居民的生活质量，某小区计划购买A，B两种型号室外健身器．已知A型室外健身器比B型室外健身器的单价少0.3万元，且用15万元购买A型室外健身器与用20万元购买B型室外健身器的数量相等．
A，B两种型号室外健身器的单价各是多少？
某小区计划共购买25台A，B型室外健身器，购买总费用不超过26万元，且B型室外健身器的购买数量不少于A型室外健身器购买数量的．共有几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【知识回顾】本册第二章教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】
如图1，观察图象，不等式的解集是 ．
如图2，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点B和点C结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围 ．
【拓展延伸】
如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴、轴分别交于点C、D，与直线交于点M，点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q．点B、点O恰好关于点D对称．
①如果线段的长为，求点P的坐标；
②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请直接写出所有符合条件的整点P的坐标．
已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为．
若a、b满足，求点A、点B的坐标；
若点为直线上一动点（点Q异于点A、B），在（1）的条件下，，求Q点横坐标m的取值范围；
若a、b、c符合，且满足，，t是代数式的最大值，C点的坐标是，是第一象限内线段上方的动点，连交直线于E点，当，且代数式取最大值时，求．
如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
求直线的函数解析式；
设点是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
①若的面积为5，求点的坐标；
②连接，如图2，若，直接写出点的坐标__________．
定义：我们把一次函数（）的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数（）图象的“星光点”．例如，求一次函数图象的“星光点”时，联立方程，解得，则一次函数图象的“星光点”为．
一次函数图象的“星光点”为_________；
关于的一次函数图象的“星光点”为，求，的值；
在平面直角坐标系中，若一次函数（）的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数（）的图象上没有“星光点”，点在轴上，且，连接，直接写出直线的“星光点”．
【问题探究】
如图1，已知一次函数（k、b为常数，）的图象经过点和点，点E在线段上，点E的横坐标为1．
①求一次函数的函数解析式；
②点F是线段上一点，，连接，求的面积．
【问题解决】
如图2，在平面直角坐标系中，是供水管道网局部示意图，主管道长均为5（A、B分别在x轴、y轴的正半轴上）．在道路上有两个辖区P、Q，辖区P到管道的距离为2，辖区Q到管道的距离为1，市政部门计划在主管道上修建一处水库M，并分别铺设分支管道向两个辖区供水．为节约成本，要求分支管道总长最短，请确定水库M的修建位置（即点M的坐标），并求出的最小值．
参考答案
1．A
解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为；
同理可得：，，，，，，，，
，，，为自然数
，
点的坐标为，即 ．
2．B
解：直线经过第一、三象限，
，
直线与轴的交点在轴下方，
，
，故①正确；
一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
关于的方程的解是，
∴关于的方程的解是，故②正确；
当时，，故③错误；
当时，函数，
一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
关于的方程的解是，
，
，故④正确；
综上可知，正确的是：①②④．
3．B
解：由图象可知，，，
．
根据题意可知，当点运动到点时，的面积最大，此时，
，
，
，
如图，则可得，
设直线的解析式为，
把，代入可得
，
解得，
所以直线的解析式为，
当点P运动到中点时，即时，
把代入，得，
所以当点P运动到中点时，的面积为20．
4．B
解：在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
点的坐标为，四边形为正方形，
，
设点平移后的点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
故的坐标为，
，
，
的坐标为．
5．C
解：∵当时，，，
∴，
，故A选项正确．
对于直线，当时，，
当时，，解得，
∴，；
对于直线，当时，，
当时，，解得，
∴，，
∴，，
，
，
，
∴，故B选项正确．
∵直线经过第一、三、四象限，
∴，
∵，
，
，故D选项正确．
若时，，故C选项不一定成立．
6．A
解：如图，作点关于轴对称的点，连接，交轴于点，连接，．
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴点的坐标为，
点的坐标为．
联立
解得
∴点的坐标为．
的周长为，为定值，，
，
∴当点在点处时，的周长最小．
设直线的解析式为．
∵点的坐标为，点的坐标为，
解得
∴直线的解析式为．
令，即，解得，
点的坐标为．
综上所述，当的周长最小时，点的坐标为．故选A．
7．D
解：由函数图象可知，当秒时，直线经过点，
当秒时，的值最大，即直线经过点，
当时，直线经过点，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
由图象可知，直线移动到点用了秒，移动到点用了秒，
个单位长度，个单位长度，
点的横坐标为，点的横坐标是，
，
三角板是等腰直角三角形，
，
点的坐标是，
故A选项正确；
，
，
当直线经过点时，的值最大，最大值为；
故B选项正确；
点的坐标是，点的坐标是，
设直线的解析式是，
可得：，
解得：，
边所在直线的解析式是，
故C选项正确；
，
的面积为，
故选项错误．
8．B
解：由图象可知，图象经过点，故A正确，不符合题意；
当时，；故B错误，符合题意；
图象与轴有2个交点，故关于的方程有两个实数根，故C正确，不符合题意；
当时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意.
9．A
解：过点作，如图所示：
，
，
，
，
则，
，即点，
，
，
由于一次函数中可知，图象过点时，有最小值，此时取到最小值，
将代入一次函数得，，
解得．
10．A
解：∵，
∴．
由折叠性质得：
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴．
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴．
以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，连接，
则，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为．
由翻折知，，
∵，
∴，
∴点H在上，
设的解析式为，
则，
解得，
∴的解析式为，
联立得，
解得，
∴．
．
11．或
解：①当时，一次函数（，是常数），随增大而增大，函数必过，，则，
解得．
∴该一次函数的表达式是．
②当时，一次函数（，是常数），随增大而减小，函数必过，，则，
解得．
∴该一次函数的表达式是．
综上所述，该一次函数的表达式是或．
12．①③④
解：∵直线交正半轴于点，
∴令，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴直线的一次项系数和直线一样为，
令，则，
∴，
∵点位于轴正半轴，
∴，
∴设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，代入，得，
∴直线的解析式为：，故②错误；
令，把代入，则，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
将线段向下平移8个单位，得到线段，使与重合，将点作关于原点的对称点，连接，如图，
则，，
∵，，，，
∴，，，
∴，
则，
那么，的最小值为17，故④正确．
13．
解：如图，过点作轴，与轴交于点，与交于点，
∵点，，
∴，轴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
根据勾股定理：，
∴点，即，
∴点．
∵设边上点的坐标为，
∴这两个和等点满足，即，
∴这两个和等点为直线与边的两个不同交点，
∵如图，当直线过点、时，只有一个交点，
∴当过点时，，当过点C时，，
∴的取值范围为．
14．
解：∵，，
∴正方形的边长为1，正方形的边长为2，
∴，
设直线解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线解析式为，
∴．
∵，点的坐标为，
∴的纵坐标为，的横坐标为，
的纵坐标为，的横坐标为，
的纵坐标为，的横坐标为，
∴，
∴，即．
15．
解：当时，有，
解得，
∴点的坐标为．
∵四边形为正方形，
∴点的坐标为．
当时，有，
解得：，
∴点的坐标为．
同理，可得出：，
∴的坐标为（为正整数），
∴点的坐标是．
16．1或3
解：如图：
由题可得：，，，，，
∵直线(为常数，)交直线于点，交轴于点，
∴令，得，
∴，
∵令，得，
解得，
∴，
∵平分，
∴点到直线的距离等于点到直线的距离，
∵，
∴点到直线的距离为，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或．
17．（1）解：四边形是平行四边形，，点在轴正半轴上，，，
，，，
点D的纵坐标与点A相同，横坐标为，
点的坐标是，
平行四边形的面积；
（2）解：，，
对角线，的交点坐标为，即，
设经过点且平分平行四边形面积的直线解析式为，
将，代入，得：，
解得，
所求直线的解析式为；
（3）解：，点在轴正半轴上，，
，即，
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得，
直线的解析式为，
设，，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，存在三种情况：
当为对角线时，如图：
则与的中点重合，
，
解得，
点的坐标为，即；
当为边，点N在x轴的负半轴时，如图所示：
则与的中点重合，
，
解得，
点的坐标为，即；
当为边，点N在x轴的正半轴时，如图所示：
则与的中点重合，
，
解得，
点的坐标为，即，
综上可得，存在，点的坐标为或；
（4）解：，
一次函数的图象一定经过点，
当 的图象经过点时，
，
解得；
当的图象经过点时，
，
解得；
结合上图，可得当或时，的图象与平行四边形的边有2个交点．
18．（1）解：设A型号室外健身器单价为万元，则B型号室外健身器单价为万元，
由题意得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
∴（万元），
∴A型号室外健身器单价为0.9万元，B型号室外健身器单价为1.2万元；
（2）解：设购买A型号室外健身器台，则购买B型号室外健身器台，
由题意得，
解得，
∵为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案：方案一，购买A型号室外健身器台，购买B型号室外健身器台；方案二，购买A型号室外健身器台，购买B型号室外健身器台；方案三，购买A型号室外健身器台，购买B型号室外健身器台；
设小区购买室外健身器的总花费为万元，则，
∵，
∴随着的增大而减小，
∴当时，取得最小值，
∴购买A型号室外健身器台，购买B型号室外健身器台，所需购买总费用最少．
19．（1）解：当时，，即，
所以不等式的解集是；
（2）解：当时，，
解得，
∴当时，；
将两个函数关系式联立，得
，
解得，
即点，
∴当时，，
∴当时，，
∴当时，，
即自变量的取值范围是；
（3）解：当时，，
∴点．
∵点B，点O恰好关于点D对称，
∴点．
∵直线经过点，
∴，
解得，
∴直线：．
设点，则点，
∴．
①∵，
∴，
解得或，则或，
∴点P的坐标为或；
②时，解得或；
时，解得或，
则当或时，，
所以或，则，
整点P的坐标是，，，．
20．（1）解：∵，且，，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：由（1）可得，，
∴，，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点为直线上一动点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当时，，此时，
解得，
∴，
当时，，此时，
解得，与矛盾，故无解；
当时，，此时，
解得，
∴；
（3）解：∵，，
∴两式相加可得，
∴，
将代入得，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵
，
∴当时，有最大值为，即，此时，
∴，，
∴，
∵C点的坐标是，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．（1）解：对于，
由得：，
．
由得：，解得，
，
点与点关于轴对称．
设直线的函数解析式为，
，解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：①设，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点的坐标为；
②点与点关于轴对称，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，，
，解得，
．
22．（1）解：根据“星光点”的定义得，
解得；
∴一次函数图象的“星光点”为；
（2）解：一次函数图象的“星光点”为，
根据“星光点”的定义得，
解得；
（3）解：如图，
∵若一次函数没有“星光点”，
即与没有交点，
联立，得，
整理得，
由于无解，
∴；
一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，
令，，则点，
令，，则点，
∴，
∴，
设点，，
∵，
∴，
∴或，
∴点，；
①当点，，
设，
将点，代入得；
解得，
则，
联立；
解得，
∴的“星光点”是．
②当点，，
设，
将点，代入得；
解得，
则，
联立；
解得，
∴的“星光点”是．
综上，直线的“星光点”为或．
23．（1）解：①∵一次函数的图象经过点，
∴，
解得，
所以一次函数关系式为；
②∵点E的横坐标为1，
∴，
∴点；
∵，
∴；
（2）解：∵辖区P到管道的距离是2，辖区Q到管道的距离是1，
∴将代入，得
，
∴点．
作点Q关于x轴的对称点，
∴，
连接交x轴于点M，根据两点之间线段最短可知的最小值为，
，
所以的最小值为．
设直线的直线关系式为，根据题意，得
，
解得，
∴直线的直线关系式为，
当时，，
解得，
∴点．

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