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广东湛江市第二十一中学2025-2026学年高二第二学期6月阶段性考试数学试题
一、单选题
1．计算：（ ）
A．120 B．90 C．60 D．30
2．端午节吃粽子是我国的传统习俗．现有一盘中装有6个粽子，其中4个不同的蛋黄粽，2个不同的豆沙粽．若从蛋黄粽和豆沙粽中各取1个，则不同的取法种数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
3．已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为（ ）
A．1或 B． C．2或 D．1
4．的展开式中常数项是（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
5．如果数据…，的平均数为2，方差为3，则数据…，的平均数和方差分别为
A．11, 25 B．11, 27 C．8, 27 D．11, 8
6．某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示：
时间x（月份） 1 2 3 4 5
销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9
若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法错误的是（ ）
A．变量x，y正相关
B．回归直线一定过样本中心
C．
D．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台
7．若事件A，B满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极值点
B．是 的极大值点
C． 的单调递减区间是
D．
10．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A． B．展开式的二项式系数和为
C．展开式的各项系数和为 D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量的概率分布列为，则
B．若随机变量，若，则
C．若随机变量，则
D．在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则
三、填空题
12．从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答）
13．已知为等差数列的前项和，若，则___________.
14．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数；，请你根据上面探究结果，计算__________．
四、解答题
15．已知数列是等比数列，，，数列满足：．
(1)求，的通项公式；
(2)数列求数列的前项和．
16．已知函数在处取得极值．
(1)求的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值．
17．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.
(1)求证：平面
(2)求证：平面平面
(3)若，求二面角 的余弦值.
18．4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2.
(1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率；
(2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列.
19．某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单.
(1)根据统计数据，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联.
好评 非好评 合计
更换厨师前
更换厨师后
合计
(2)现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望.
(3)用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后的所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求当事件“”的概率最大时的值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
参考答案
1．A
【详解】.
2．C
【详解】由题意，不同的取法种数为种.
故选：C.
3．A
【详解】因为为，的等差中项，所以，
又因为数列为等比数列，设公比为，则有，
解得，
故选：A.
4．B
【详解】的展开式的通项为，
令，即，则常数项为.
故选：B.
5．B
【详解】试题分析：由平均数和方差的性质得数据3x1+5，3x2+5，3x3+5，…，3xn+5的平均数为，方差为32 σ2．∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为2，
∴数据3x1+5，3x2+5…，3xn+5的平均数是：3×2+5=11，
∵x1，x2，x3，…，xn的方差为3，
∴3x1+5，3x2+5，3x3+5，…，3xn+5的方差是32×3=27．
故选B．
6．D
【详解】对于A，由，得变量x，y正相关，A正确；
对于B，样本中心点一定在回归直线上，B正确；
对于C，，因此，C正确；
对于D，，当时，（百台），D错误.
7．A
【详解】，代入，得到，
又因为，
所以.
8．B
【详解】构造函数，则，
因为，所以，故，
因此在上单调递增，
所以对于任意的正数，有，即，即，
又因为，所以，结合选项可知B正确.
9．BC
【详解】观察导函数的图象，当或时，，当且仅当时取等号，
当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，
但在两侧符号不变，所以不是的极值点，所以A错误，B正确；
的单调减区间是，所以 C正确；
函数在上单调递增，所以，所以D错误.
10．AD
【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确；
对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确；
对于D：令，得，令，得，所以，故D正确．
11．ACD
【详解】对于：，
所以，所以，故A正确；
对于，可得，故B不正确；
对于，因为，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
12．18
【详解】根据题意，该三位数的百位数字不能为0，所以只能从1，2，3中任取1个数字，有种选择；
而十位数字和个位数字可从剩余的3个数字中任选2个即可，有种选择，
所以从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为种选择.
故答案为：18.
13．14
【详解】设等差数列的公差为，由，得
解得则
14．
【详解】解：由题意，，，
由，得，解得，而，
所以函数关于点，对称，
所以，
.
故答案为：.
15．(1)，.
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，
于是 ；
则，
故的通项公式为，的通项公式为.
（2）由题可知
数列的前项和为
.
16．(1)，
(2)
(3)最大值为，最小值为
【详解】（1），在处取得极值，
，解得：；
当，时，，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，满足题意；
综上所述：，.
（2）由（1）得：，，，，
在点处的切线方程为：，即.
（3）由（1）知：在，上单调递减，在上单调递增；
，
又，，，
在上的最大值为，最小值为.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
因为为棱的中点，
所以，，
又，，为的中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）证明：因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面，又平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
（3）取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
又，所以，
又直三棱柱的几何特征可得面，又面，所以，
又，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以二面角的平面角为，
因为，
所以，，
在中，，
所以，
所以二面角的余弦值为．
18．(1)0.85
(2)
0 1 2
0.02 0.26 0.72
【详解】（1）设事件为选用机器人A，事件为选用机器人B，
用事件表示机器人成功，则
由全概率公式得.
（2）由题意得的取值可能为.
，
，
，
的分布列为
0 1 2
0.02 0.26 0.72
19．(1)列联表见解析，有关联
(2)分布列见解析，期望为
(3)80
【详解】（1）列联表如下：
好评 非好评 合计
更换厨师前 600 200 800
更换厨师后 1600 400 2000
合计 2200 600 2800
根据列联表中数据，经计算得到，
所以可以认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联.
（2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8个订单中，好评订单有个，非好评有2个，
而从这8个订单中随机抽取3个，其中好评的订单个数的可能值有，
则，
所以的分布列为：
1 2 3
数学期望.
（3）依题意，更换厨师后好评率为，
从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，则，
于是，
由，
由，解得，而，则当时，单调递增；
由，解得，则当时，单调递减，
所以使事件“”的概率最大时的值为80.

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