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湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三上学期第一次周考数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则z=（ ）
A． B． C． D．
3．设，，，且，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若，则是第一、二象限的角；④若是第二象限的角，且是其终边上一点，则.其中正确的命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图1，平面四边形中，，垂足为，如图2，将沿翻折至，使得平面平面，若点为线段上的动点，则点到直线距离的最小值为（ ）

A． B． C． D．
6．已知数列满足=，，则数列的通项公式是（ ）.
A． B．
C． D．
7．的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数的定义域为R，，对任意x∈，都有＜2x成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A．若，，则当且仅当时，是互斥事件
B．若，，则是必然事件
C．若，，则时是独立事件
D．若，且，则是独立事件
10．给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ）
A．梯形可确定一个平面 B．棱台侧棱的延长线不一定相交于一点
C． D．若非零向量，，满足，则
11．在正三棱锥中，设，，则下列结论中正确的有（ ）
A．当时，到底面的距离为
B．当正三棱锥的体积取最大值时，则有
C．当时，过点A作平面分别交线段，于点，不重合，则周长的最小值为
D．当变大时，正三棱锥的表面积一定变大
三、填空题
12．已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为__________．
13．的展开式中项的系数是________．（用数字作答）
14．在平面直角坐标系中，分别为轴上的点，，则以原点为顶点且经过两点的抛物线的准线斜率为_______.
四、解答题
15．已知是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项．
（2）求数列的前n项和．
16．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积．
17．如图，已知圆，点，为圆上的动点，线段的垂直平分线与线段相交于点.

(1)求动点的轨迹方程；
(2)设（1）中曲线为，直线与曲线交于两点，求线段的中点坐标和弦长.
18．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（单位：百千克）与某种液体肥料每亩使用量（单位：千克）之间的对应数据的散点图如图所示．
(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数，并说明线性相关性的强弱（相关系数精确到小数点后2位，若，则线性相关程度很高）；
(2)求关于的线性回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少百千克．
附：数据和公式：；回归方程：，其中．相关系数：．
19．已知函数（其中e为自然对数的底数）.
(1)求函数的最小值；
(2)若，且在上恒成立，求的最大值；
(3)求证：.
参考答案
1．C
【详解】由题意可得：集合，
且，所以.
故选：C.
2．A
【详解】因为，所以，
故选：A.
3．ABC
【详解】因，且，则有且，于是得，
函数，则在上递减，在上递增，
当时，有成立，A选项可能成立；
当时，有成立，C选项可能成立；
由知，即取某个数，存在，
使得成立，如图，即B选项可能成立；
对于D，由成立知，必有，由成立知，必有，即出现矛盾，D选项不可能成立，
所以不可能成立的是D.
故选：ABC
4．A
解：①终边相同的角的同名三角函数的值相等，故正确；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等，错误，如；
③当，终边可能在轴正半轴上，故错误.
④余弦值应为，故错误.
综上所述，正确的命题的个数是1个.
故选：A
5．D
【详解】因为平面平面，平面，平面平面，，
所以平面，平面，则，又，，
以点为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系，连接，
则，，设，，
所以，，设与的夹角为，
，则，
所以点到直线的距离为，
由，则，所以，
所以点到直线距离的最小值为.
故选：D.

6．A
【详解】因为，所以,
设,可得,
所以，即,
所以，
所以数列是首项为，公比为3的等比数列，
所以，所以 .
故选:A.
7．A
【详解】当时，，令，得，则在上单调递减，上单调递增，即函数在处取得最小值，
所以问题转化为在上恒成立，
令，则在上恒成立
当时，不符合.
当时，对称轴，则或
解得或，
所以
故选：A.
8．C
【详解】令，则，
所以在R上单调递减，且，
因此不等式.
故选：C
9．ACD
【详解】对于A，因为，所以是互斥事件，所以A正确，
对于B，若事件为“抛骰子点数出现1或2”，则，若事件为“抛骰子点数出现的是小于等于4”，则，
而此时不是必然事件，所以B错误，
对于C，因为，，，，
所以，得，
所以，所以是独立事件，所以C正确，
对于D，因为，所以，
因为， ，所以，
所以是独立事件，则也是独立事件，所以D正确，
故选：ACD
10．AC
【详解】对于选项A：因为梯形有两边平行，且两条平行直线可以确定一个平面，
所以梯形可确定一个平面，故A正确；
对于选项B：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，两平面之间的部分是棱台，
则棱台的侧棱即为棱锥对应侧棱的一部分，所以棱台侧棱的延长线一定相交于一点，故B错误；
对于选项C：因为，故C正确；
对于选项D：因为，则，当时，，即不一定有，
例如，则，显然，故D错误；
故选：AC.
11．AD
解：对于A，当时，，
，
设正三棱锥的高为，
根据，得，A正确；
对于B，结合A的分析，当正三棱锥的体积取最大值时，则有，B错；
对于C，当时，过点A作平面分别交线段，于，不重合，
则周长的最小值为展开图的直线距离，C错；
对于，在中根据余弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，
故函数在上递增，
即当变大时，正三棱锥的表面积一定变大，故D正确．
故选：AD．
12．
【详解】令，
根据题意得，
由①得：，由②得：，由③得：，
求交集得：
故的取值范围为.
故答案为：
13．
【详解】展开式的通项为，
取得到，故的展开式中项的系数是.
故答案为：
14．
【详解】设抛物线，，，，，如图所示，
则，，即，
又在上，
，故，
又，所以，
故逆时针旋转后,分别旋转到轴上的点，
此时抛物线对称轴斜率为，而准线与对称轴垂直，故；
同理，若顺时针旋转，；
故答案为：.
15．（1）；（2）.
解：（1）是等差数列，，设公差，则，
，，成等比数列，，得，
，，；
（2）设数列的前n项和为，
①
又 ②
由①②得，
即数列的前n项和为.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴.
∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，
∴，
又因为，平面，平面，
∴平面，
又平面ACE，
∴平面平面．
（2）由（1）知，平面，
∴AC为三棱锥的高，且.
由直三棱柱的性质可得：四边形为矩形.
因为，分别为，的中点，
所以，，，
则，
∴．
17．(1)
(2)的中点坐标为，弦长.
【详解】（1）（1）连接，由题意得圆的圆心为，半径为，且，
所以，
根据椭圆的定义，点的轨迹为椭圆，其方程为.
（2）解：设
联立方程组，整理得，
则，且，
所以的中点坐标为，弦长.
18．(1)0.95，与线性相关性很强．
(2)，6.1
【详解】（1）根据题意，可得，
且，
，
，
可得，
因为时线性相关程度很高，所以与线性相关性很强．
（2）由，则，
所以线性回归方程为，
当时，，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克．
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以.
（2）令，，
由得出；由得出，
；，，
令，；，
时，，单调递增；时，，单调递减，
则是的极大值点，，的最大值为；
（3）证明：要证，
只需证明：对于恒成立，
令，则，
当时，令，则，
在上单调递增，即在上为增函数.
又因为，，
所以存在使得.
由，得即即，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以，即.

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