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人教版八年级下数学进阶测试 23.4实际问题与一次函数（三阶）
题号 一 二 三 总分
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阅卷人 一、选择题
得分
1．小明设想用电脑模拟台球游戏，为增加难度，约定：
①台球桌面设计为腰长为4的等腰；
②小球撞击桌边后的反弹角等于入射角．
如图建立平面直角坐标系，小明希望球从点出发，撞击边上的M点后反弹，再撞击边上的点N反弹，最后回到点P．则M点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作交直线于点D，延长交x轴于点C，连接，
由题意得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
同理可证明，
∵，
∴垂直平分，
∴；
∵是等腰直角三角形，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得，
∴点M的坐标为，
故选：B．
【分析】过点P作交直线于点D，延长交x轴于点C，连接，由题意得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据两点间距离可得，再根据点的坐标可得，同理可证明，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，根据等腰直角三角形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据点的坐标可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点C，D坐标代入解析式可得直线的解析式为，直线的解析式为，联立直线解析式，解方程组即可求出答案.
2．甲、乙两车从 A 城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A 城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.现有下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时， 或
其中正确的结论有(　　).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km， 甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为 把(5， 300)代入可求得
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为 ，
把(1， 0)和(4， 300)代入可得
解得
令 可得：
解得 ，
即甲、乙两直线的交点横坐标为 此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③不正确；
令 可得 、
即
当 时，可解得
当 时，可解得
又当 时， 此时乙还没出发，
当 时， 乙已到达B城，
综上可知当t的值为 或 或 或 时，两车相距
50千米，
∴④不正确；
综上可知正确的有①②共两个。
故答案为：B .
【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案.
3．甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（　　）
①甲登山的速度是每分钟10米；②乙在A地时距地面的高度b为30米；③乙登山分钟时追上甲；④登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：甲登山上升的速度是 （米/分钟），
乙提速后的速度为： （米/分钟），
，
，
故①②符合题意；
设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为 ，
∴ ，解得 ，
∴函数关系式为 ．
同理求得 段对应的函数关系式为 ，
当 时，解得： ，
∴乙登山 分钟时追上甲，故③不符合题意；
当 时，解得： ；
当 时，解得： ；
当 时，解得： ．
故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．故④不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据速度等于高度除以时间可得出甲登山上升的速度，根据高度等于速度乘以时间可得出乙提速后的速度，根据函数图象和题意得出甲、乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；根据函数图象和题意得出登山多长时间时，甲、乙在距地面的高度差。
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，，点A的坐标为，若直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；含30°角的直角三角形；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点A作轴于点E，过点B作于点F，
，
根据勾股定理得，，
又
对于，当时，，
，
∴直线与轴的交点坐标为；
设过点A且与直线平行的直线解析式为，
把代入，得：，
，
，
当时，，
∴直线与轴的交点坐标为
设过点B且与直线平行的直线解析式为
把代入得：，
当时，，
，
与轴的交点坐标为
∴直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是，即，
故选：A．
【分析】过点A作轴于点E，过点B作于点F，根据含直角三角形的性质和勾股定理求出点B的坐标，再利用待定系数法求出过点A和点B且与直线平行的直线解析式，分别求出与x轴的交点坐标，则直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是，即．
5．张院士的动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记，与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数：滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．若在整个往返过程中，，则（　　）．
A．6或9 B．18 C．6或18 D．9或18
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，
∵，
∴，
∴，
∴是的一次函数，
∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数；
∴当时，，
∴，
∴，
∴滑块从点到点所用的时间为，
当，时，，
解得：；
∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿，
∴滑块从点到点的滑动时间为，
∴滑块返回的速度为，
∴，
∴，
∴，
∴与的函数表达式为，
当，时，
，
解得：，
综上所述，当或时，．
故答案为：C．
【分析】设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入求得d关于t的函数，进而①当时，②当时，分别令，进而即可求解．
6．已知两地相距300千米，甲骑摩托车从地出发匀速驶向地，当甲行驶1后，乙骑自行车以 的速度从地出发匀速驶向地.甲到达地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙.在此过程中，甲、乙两人之间的距离（）与甲行驶时间之间的函数关系如图所示.下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米.其中说法正确的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：①(300 20×3)÷4=60(km/h)，
300÷60=5(小时)，
设甲最终追上乙时乙行驶了a小时，由题意得：60(a+1) 300=20a，
解得：a=6，故①错误；
②300 60×1=240(km)，所以P的纵坐标为240，②正确；
③20+60=80(km)，所以M坐标为(5，80)，又因为Q的坐标为(4，0)，
设线段QM所在直线的解析式y=kx+b，
解得：，
所以y=80x 320③错误；
④x=时，300 60× 20×( 1)=60(km)；
x=时，(20+60)×( 4)=60(km)；
x=时，20×( 1) (60× 300)=60(km)，④正确；
综上所述：②④正确.
故答案为D．
【分析】由题意可得两人起始距离为300km，求出甲的速度，再求出甲到B地的时间，再根据题意建立代数式可判断①；当甲行驶1小时，两人的距离等于300km减去甲1小时走的路程，可判断②；由题意可得M坐标为(5，80)，Q的坐标为(4，0)，设线段QM所在直线的解析式y=kx+b，根据待定系数法将点M，Q坐标代入解析式可判断③；计算当x=，，时，甲、乙两人之间距离，可判断④.
7．机场中通常会设置水平手扶电梯（类似于水平面上的传送带），其稳定运行时速度始终不变，有一乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李，找到后又立刻回头走到终点，整个过程共耗时11分钟，该乘客在手扶电梯上的步行速度始终不变．乘客到起点的距离，行李箱到起点的距离与乘客的运动时间t（分）的关系如图（部分），其中折线所在直线（）的与折线所在直线（）的满足．若该乘客直接走到终点，还需要等待______分，行李才能随着手扶电梯到达终点．（　　）
A． B．15 C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设乘客的步行速度为，手扶电梯的速度为，则乘客在手扶电梯上朝终点的步行速度为，乘客在手扶电梯上朝起点的步行速度为，行李箱在手扶电梯上的速度为，
根据题意得：，，
，
，
，
，，
乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李，
此时，时间过去：，
行李离起点的距离为，
乘客找回行李所用时间为：，
此时，乘客离终点的距离为：，
乘客找行李后，走到终点，所用时间为：，
整个过程共耗时11分钟，
，
整理得：，即，
若该乘客直接走到终点，则所用时间为：，
将代入，得：，
行李到达终点所用时间为：，
将代入，得：，
还需要等待，
故答案为：A．
【分析】根据题意设乘客的步行速度为，手扶电梯的速度为，则乘客在手扶电梯上朝终点的步行速度为，乘客在手扶电梯上朝起点的步行速度为，行李箱在手扶电梯上的速度为，分别求出各个阶段所用时间，结合整个过程共耗时11分钟，得到，再计算出乘客直接走到终点，行李随着手扶电梯到达终点所用时间，作差即可．
8．如图，已知直线：与轴的夹角是，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点按此作法继续下去，则点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：∵直线解析式：与x轴的夹角为30°，
∴与y轴的夹角为60°.
∵A（0，1），
∴OA=1，
∵AB⊥y轴，
∴∠ABO=30°，
∴Rt△AOB中，OB=2OA=2.
∵A1B⊥l，∠A1OB=60°，
∴∠OA1B=30°，
∴OA1=2OB=4，A1（0，4）.
∵A1BI⊥y轴，
∴OB1=2OA1=8.
∵A2B1⊥l，∠A1OB=60°，
∴∠OA2B1=30°，
∴OA2=2OB1=16=42，A2（0，42）.
∵A2B2⊥y轴，
∴OB2=2OA2=32.
∵A3B2⊥l，∠A1OB=60°，
∴∠OA3B2=30°，
∴OA3=2OB2=64=43，A3（0，43）.
…
∴OA2022=42022，A2022（0，42022）.
∵A2022B2022⊥y轴，
∴B2022纵坐标为42022，代入解析式得，.
∴B2022的坐标为.
故答案为：A.
【分析】分别求出A、A1、A2...的坐标，观察规律，得到A2022的坐标，从而可得B2022的坐标.
阅卷人 二、填空题
得分
9．已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒成立，则k的取值范围为　 　．
【答案】且
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点作平行于轴的直线为．
将代入，得．
将代入，得．
∴．
由题意，时，恒成立，
即，化简得．
情况1：当时，，不等式恒成立．
情况2：当时，，
不等式两边同时除以（，不等号方向不变），得，
对于在范围内恒成立，
∵，越大，越大，当时，取得最大值，
∴，解得．
对于在范围内恒成立，解得．
又∵是一次函数，，
∴的取值范围为且．
故答案为：且
【分析】
先求出点B、C的坐标，计算BC的长度表达式，再根据绝对值不等式在给定的范围内恒成立的条件，分情况讨论求解k的取值范围.
10．如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，以为斜边向下方作等腰，延长交y轴于点C，连接，过点D作交x轴于点E．点P在线段上，当与的一边平行时，所有符合条件的点P的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；二元一次方程组的应用-几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设与x轴交于点H，过点D作DM⊥y轴于点M，DN⊥x轴于点N，如图所示：
直线分别交x轴、y轴于点A，B，
令，则，令，则，
∴点，点，
∴在中，，，
根据勾股定理得：，
∵是以为斜边的等腰三角形，
∴AD=BD，，
根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴设，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∴点，
∴，
∵是等腰直角三角形，轴，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
当点P在线段上，与的一边平行时，有以下两种情况：
①当时，即轴，如图2所示：
∴点P的横坐标为，
把代入得：，
∴点P的坐标为；
②当时，则，如图3所示：
设直线的表达式为：，
将点，点代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
设直线的表达式为：，
∵，
∴，
将，点代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
解方程组：，得：，
∴点P的坐标为，
∴所有符合条件的点P的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】设与x轴交于点H，过点D作DM⊥y轴于点M，DN⊥x轴于点N，求得点，点，从而得出，，然后证明得，则是等腰直角三角形，进而得是等腰直角三角形，设，则，在中，由勾股定理求出，则点，点，当点P在线段上，与的一边平行时，分和两种情况：进行讨论即可得出点P的坐标.
11．在平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为　 　．
【答案】
【知识点】最简二次根式；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，
∵，
∴，（，） ，
∵当时，，
∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为，
∴此时点Q的运动路径长为；
∵当时，，
∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为，
∴此时点Q的运动路径长为；
综上分析可知，点Q运动路径的长为．
故答案为：．
【分析】设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，根据，得出，然后分两种情况，或，得出与的函数关系式，即可得出Q横纵坐标的关系式，找出点Q的运动轨迹，根据勾股定理求出运动轨迹的长即可．
12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是直线上的一个动点，若，则点P的坐标是　 　．
【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行线的判定；等腰三角形的判定；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当点P在y轴左侧时，如图1，连接，
∵，
∴，
∵，
∴P点纵坐标为4，
又P点在直线上，把代入可求得，
∴P点坐标为；
当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2，
设P点坐标为，设直线的解析式为，
把A、P坐标代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令可得，
解得：，
∴C点坐标为，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
则，
∴P点坐标为，
综上可知，P点坐标为或．
故答案为：或．
【分析】分两种情况：当点P在y轴左侧时，即可得到，即可求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P，过作直线交x轴于点C，求出直线的解析式，即可得到点C的坐标，然后利用勾股定理求出的长，根据，得到关于a的方程解题即可．
13．如图，直线与x轴和y轴分别交与A，B两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以A，C，D为顶点的三角形与全等，则的长为　 　．
【答案】6或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当时，即，
解得：，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，点C在射线上，
∴，即，
∵，
∴．
若以为顶点的三角形与全等，则或，
如图1所示，当时，，
∴；
如图2所示，当时，，
∴．
综上所述，的长为6或．
故答案为：6或．
【分析】先求出A点和B点坐标，并运用勾股定理求出长．然后分时，或两种情况，分别求得的值，即可得出结论．
阅卷人 三、解答题
得分
14．某学校组织八年级学生外出参加研学活动，计划租用客车若干辆．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下：
客车类型 甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
此次研学活动，学校共有322名学生和8名教师需要乘车，每辆车至少安排1名教师跟车管理．
（1）共需租　 　辆车？（直接写答案）
（2）设租用甲型客车辆，租车总费用为元，求出与的函数关系式，并求出共有哪几种可行的租车方案．
（3）租车公司为了回馈学校，将甲型客车每辆租金下调3元，乙型客车每辆租金下调元（），若租车的最低费用是2160元，求的值．
【答案】（1）8
（2）解：租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆
得
得
又为整数且不超过8辆，
解得
共有3种可行的租车方案．
方案一：租用甲型客车6辆，乙型客车2辆．
方案二：租用甲型客车7辆，乙型客车1辆．
方案三：租用甲型客车8辆，乙型客车0辆．
（3）解：下调后的租车费用为：
，
①当，即时，随的增大而增大，
则时，有最小值2160元，求得，
②当，即时，与题意不符，舍去．
③当，即时，随的增大而减小，
则时，有最小值2160元，
求得，不符题意，舍去．
综上所述，若租车的最低费用是2160元，的值为40．
【知识点】解一元一次不等式；列一次函数关系式；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）每辆车至少安排 1 名教师，共有 8 名教师，因此最多租 8 辆车。总人数为学生 + 教师：322+8=330人； 若租 7 辆，最多载客：7×45=315<330，无法满足。因此，必须租8辆车，每辆车至少安排 1 名教师，共有 8 名教师，因此最多租 8 辆车。 总人数为学生 + 教师：322+8=330人。 若租 7 辆，最多载客：7×45=315<330，无法满足。 因此，必须租8辆车。
故答案为：8。
【分析】（1）这里有两个关键约束：一是总人数约束（330 人需要载客），二是教师跟车约束（8 名教师最多租 8 辆车）。先验证 7 辆车无法满足载客需求，再结合教师人数限制，直接锁定必须租 8 辆车，为后续建模打下基础。
（2）先设甲型客车数量为x，根据 “总费用 = 甲型车费用 + 乙型车费用”，写出一次函数关系式y=120x+2240；再根据载客量要求列出不等式，求出x的整数取值范围，从而得到所有可行的租车方案。这一步的核心是用函数和不等式，把实际问题转化为数学模型。
（3）租金下调后，费用函数的一次项系数发生了变化，需要根据系数的正负，分三种情况讨论函数的增减性：
当系数为正时，函数随x增大而增大，最小值在x=6处取得；
当系数为负时，函数随x增大而减小，最小值在x=8处取得；
当系数为零时，函数为常数，与题意不符。 再分别列方程求解m，并检验解是否符合对应情况的条件，最终确定唯一有效解。这一步的关键是利用一次函数的增减性分析最值，体现了分类讨论的数学思想。、
15．定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（为常数）的“友谊点”为．
（1）已知点，则点的“友谊直线”的解析式为______________；直线的“友谊点”的坐标为_________________；
（2）两点关于轴对称，且点的“友谊直线”经过点和点，求该直线的解析式；
（3）直线不经过第二象限，为直线的“友谊点”．
①若为整数，求点的坐标；
②直线与轴，轴分别相交于两点，，为平面内一点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1），
（2）解：将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
根据定义，的“友谊点”的坐标为，
∵两点关于轴对称，
∴点的坐标为，
将代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为；
（3）解：①∵直线 不经过第二象限，
∴，
解得：，
又∵为整数，
∴的值为2，
根据题意，直线的“友谊点”的坐标为，
∴点的坐标为；
②点的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得点的“友谊直线”的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的“友谊点”的坐标为，
故答案为：，.
（3）②当时，，
∴点的坐标为，
当时，有，
解得：，
∴点的坐标为，
∵直线不经过第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
当为对角线时，则，
∴，
∴点的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或.
【分析】（1）根据新定义可得点的“友谊直线”的解析式，再根据的纵坐标都为-2可得直线的解析式，从而得到直线的“友谊点”的坐标；
（2）利用待定系数法得到直线解析式为，则的坐标为，点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可；
（3）①根据直线不经过第二象限，得到，则的值为2，由定义可得的坐标为，则点的坐标为．
②求出点的坐标为，点的坐标为，根据，得到，则，再分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时， 三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同讨论求解即可．
（1）解：由题意得，点的“友谊直线”的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的“友谊点”的坐标为．
（2）解：将代入，得，解得，
∴直线解析式为，
根据定义，的“友谊点”的坐标为，
∵两点关于轴对称，
∴点的坐标为，
将代入，得，
解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：①∵直线不经过第二象限，
∴，
解得，
又∵为整数，
∴的值为2，
根据题意，直线的“友谊点”的坐标为，
∴点的坐标为．
②当时，，
∴点的坐标为，
当时，即，
解得，
∴点的坐标为，
∵直线不经过第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
1 / 1人教版八年级下数学进阶测试 23.4实际问题与一次函数（三阶）
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题
得分
1．小明设想用电脑模拟台球游戏，为增加难度，约定：
①台球桌面设计为腰长为4的等腰；
②小球撞击桌边后的反弹角等于入射角．
如图建立平面直角坐标系，小明希望球从点出发，撞击边上的M点后反弹，再撞击边上的点N反弹，最后回到点P．则M点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．甲、乙两车从 A 城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A 城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.现有下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时， 或
其中正确的结论有(　　).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（　　）
①甲登山的速度是每分钟10米；②乙在A地时距地面的高度b为30米；③乙登山分钟时追上甲；④登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，，点A的坐标为，若直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．张院士的动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记，与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数：滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．若在整个往返过程中，，则（　　）．
A．6或9 B．18 C．6或18 D．9或18
6．已知两地相距300千米，甲骑摩托车从地出发匀速驶向地，当甲行驶1后，乙骑自行车以 的速度从地出发匀速驶向地.甲到达地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙.在此过程中，甲、乙两人之间的距离（）与甲行驶时间之间的函数关系如图所示.下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米.其中说法正确的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．机场中通常会设置水平手扶电梯（类似于水平面上的传送带），其稳定运行时速度始终不变，有一乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李，找到后又立刻回头走到终点，整个过程共耗时11分钟，该乘客在手扶电梯上的步行速度始终不变．乘客到起点的距离，行李箱到起点的距离与乘客的运动时间t（分）的关系如图（部分），其中折线所在直线（）的与折线所在直线（）的满足．若该乘客直接走到终点，还需要等待______分，行李才能随着手扶电梯到达终点．（　　）
A． B．15 C． D．
8．如图，已知直线：与轴的夹角是，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点按此作法继续下去，则点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
9．已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒成立，则k的取值范围为　 　．
10．如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，以为斜边向下方作等腰，延长交y轴于点C，连接，过点D作交x轴于点E．点P在线段上，当与的一边平行时，所有符合条件的点P的坐标为　 　．
11．在平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是直线上的一个动点，若，则点P的坐标是　 　．
13．如图，直线与x轴和y轴分别交与A，B两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以A，C，D为顶点的三角形与全等，则的长为　 　．
阅卷人 三、解答题
得分
14．某学校组织八年级学生外出参加研学活动，计划租用客车若干辆．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下：
客车类型 甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
此次研学活动，学校共有322名学生和8名教师需要乘车，每辆车至少安排1名教师跟车管理．
（1）共需租　 　辆车？（直接写答案）
（2）设租用甲型客车辆，租车总费用为元，求出与的函数关系式，并求出共有哪几种可行的租车方案．
（3）租车公司为了回馈学校，将甲型客车每辆租金下调3元，乙型客车每辆租金下调元（），若租车的最低费用是2160元，求的值．
15．定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（为常数）的“友谊点”为．
（1）已知点，则点的“友谊直线”的解析式为______________；直线的“友谊点”的坐标为_________________；
（2）两点关于轴对称，且点的“友谊直线”经过点和点，求该直线的解析式；
（3）直线不经过第二象限，为直线的“友谊点”．
①若为整数，求点的坐标；
②直线与轴，轴分别相交于两点，，为平面内一点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作交直线于点D，延长交x轴于点C，连接，
由题意得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
同理可证明，
∵，
∴垂直平分，
∴；
∵是等腰直角三角形，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得，
∴点M的坐标为，
故选：B．
【分析】过点P作交直线于点D，延长交x轴于点C，连接，由题意得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据两点间距离可得，再根据点的坐标可得，同理可证明，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，根据等腰直角三角形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据点的坐标可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点C，D坐标代入解析式可得直线的解析式为，直线的解析式为，联立直线解析式，解方程组即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km， 甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为 把(5， 300)代入可求得
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为 ，
把(1， 0)和(4， 300)代入可得
解得
令 可得：
解得 ，
即甲、乙两直线的交点横坐标为 此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③不正确；
令 可得 、
即
当 时，可解得
当 时，可解得
又当 时， 此时乙还没出发，
当 时， 乙已到达B城，
综上可知当t的值为 或 或 或 时，两车相距
50千米，
∴④不正确；
综上可知正确的有①②共两个。
故答案为：B .
【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：甲登山上升的速度是 （米/分钟），
乙提速后的速度为： （米/分钟），
，
，
故①②符合题意；
设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为 ，
∴ ，解得 ，
∴函数关系式为 ．
同理求得 段对应的函数关系式为 ，
当 时，解得： ，
∴乙登山 分钟时追上甲，故③不符合题意；
当 时，解得： ；
当 时，解得： ；
当 时，解得： ．
故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．故④不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据速度等于高度除以时间可得出甲登山上升的速度，根据高度等于速度乘以时间可得出乙提速后的速度，根据函数图象和题意得出甲、乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；根据函数图象和题意得出登山多长时间时，甲、乙在距地面的高度差。
4．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；含30°角的直角三角形；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点A作轴于点E，过点B作于点F，
，
根据勾股定理得，，
又
对于，当时，，
，
∴直线与轴的交点坐标为；
设过点A且与直线平行的直线解析式为，
把代入，得：，
，
，
当时，，
∴直线与轴的交点坐标为
设过点B且与直线平行的直线解析式为
把代入得：，
当时，，
，
与轴的交点坐标为
∴直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是，即，
故选：A．
【分析】过点A作轴于点E，过点B作于点F，根据含直角三角形的性质和勾股定理求出点B的坐标，再利用待定系数法求出过点A和点B且与直线平行的直线解析式，分别求出与x轴的交点坐标，则直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是，即．
5．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，
∵，
∴，
∴，
∴是的一次函数，
∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数；
∴当时，，
∴，
∴，
∴滑块从点到点所用的时间为，
当，时，，
解得：；
∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿，
∴滑块从点到点的滑动时间为，
∴滑块返回的速度为，
∴，
∴，
∴，
∴与的函数表达式为，
当，时，
，
解得：，
综上所述，当或时，．
故答案为：C．
【分析】设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入求得d关于t的函数，进而①当时，②当时，分别令，进而即可求解．
6．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：①(300 20×3)÷4=60(km/h)，
300÷60=5(小时)，
设甲最终追上乙时乙行驶了a小时，由题意得：60(a+1) 300=20a，
解得：a=6，故①错误；
②300 60×1=240(km)，所以P的纵坐标为240，②正确；
③20+60=80(km)，所以M坐标为(5，80)，又因为Q的坐标为(4，0)，
设线段QM所在直线的解析式y=kx+b，
解得：，
所以y=80x 320③错误；
④x=时，300 60× 20×( 1)=60(km)；
x=时，(20+60)×( 4)=60(km)；
x=时，20×( 1) (60× 300)=60(km)，④正确；
综上所述：②④正确.
故答案为D．
【分析】由题意可得两人起始距离为300km，求出甲的速度，再求出甲到B地的时间，再根据题意建立代数式可判断①；当甲行驶1小时，两人的距离等于300km减去甲1小时走的路程，可判断②；由题意可得M坐标为(5，80)，Q的坐标为(4，0)，设线段QM所在直线的解析式y=kx+b，根据待定系数法将点M，Q坐标代入解析式可判断③；计算当x=，，时，甲、乙两人之间距离，可判断④.
7．【答案】A
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设乘客的步行速度为，手扶电梯的速度为，则乘客在手扶电梯上朝终点的步行速度为，乘客在手扶电梯上朝起点的步行速度为，行李箱在手扶电梯上的速度为，
根据题意得：，，
，
，
，
，，
乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李，
此时，时间过去：，
行李离起点的距离为，
乘客找回行李所用时间为：，
此时，乘客离终点的距离为：，
乘客找行李后，走到终点，所用时间为：，
整个过程共耗时11分钟，
，
整理得：，即，
若该乘客直接走到终点，则所用时间为：，
将代入，得：，
行李到达终点所用时间为：，
将代入，得：，
还需要等待，
故答案为：A．
【分析】根据题意设乘客的步行速度为，手扶电梯的速度为，则乘客在手扶电梯上朝终点的步行速度为，乘客在手扶电梯上朝起点的步行速度为，行李箱在手扶电梯上的速度为，分别求出各个阶段所用时间，结合整个过程共耗时11分钟，得到，再计算出乘客直接走到终点，行李随着手扶电梯到达终点所用时间，作差即可．
8．【答案】A
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：∵直线解析式：与x轴的夹角为30°，
∴与y轴的夹角为60°.
∵A（0，1），
∴OA=1，
∵AB⊥y轴，
∴∠ABO=30°，
∴Rt△AOB中，OB=2OA=2.
∵A1B⊥l，∠A1OB=60°，
∴∠OA1B=30°，
∴OA1=2OB=4，A1（0，4）.
∵A1BI⊥y轴，
∴OB1=2OA1=8.
∵A2B1⊥l，∠A1OB=60°，
∴∠OA2B1=30°，
∴OA2=2OB1=16=42，A2（0，42）.
∵A2B2⊥y轴，
∴OB2=2OA2=32.
∵A3B2⊥l，∠A1OB=60°，
∴∠OA3B2=30°，
∴OA3=2OB2=64=43，A3（0，43）.
…
∴OA2022=42022，A2022（0，42022）.
∵A2022B2022⊥y轴，
∴B2022纵坐标为42022，代入解析式得，.
∴B2022的坐标为.
故答案为：A.
【分析】分别求出A、A1、A2...的坐标，观察规律，得到A2022的坐标，从而可得B2022的坐标.
9．【答案】且
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点作平行于轴的直线为．
将代入，得．
将代入，得．
∴．
由题意，时，恒成立，
即，化简得．
情况1：当时，，不等式恒成立．
情况2：当时，，
不等式两边同时除以（，不等号方向不变），得，
对于在范围内恒成立，
∵，越大，越大，当时，取得最大值，
∴，解得．
对于在范围内恒成立，解得．
又∵是一次函数，，
∴的取值范围为且．
故答案为：且
【分析】
先求出点B、C的坐标，计算BC的长度表达式，再根据绝对值不等式在给定的范围内恒成立的条件，分情况讨论求解k的取值范围.
10．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；二元一次方程组的应用-几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设与x轴交于点H，过点D作DM⊥y轴于点M，DN⊥x轴于点N，如图所示：
直线分别交x轴、y轴于点A，B，
令，则，令，则，
∴点，点，
∴在中，，，
根据勾股定理得：，
∵是以为斜边的等腰三角形，
∴AD=BD，，
根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴设，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∴点，
∴，
∵是等腰直角三角形，轴，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
当点P在线段上，与的一边平行时，有以下两种情况：
①当时，即轴，如图2所示：
∴点P的横坐标为，
把代入得：，
∴点P的坐标为；
②当时，则，如图3所示：
设直线的表达式为：，
将点，点代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
设直线的表达式为：，
∵，
∴，
将，点代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
解方程组：，得：，
∴点P的坐标为，
∴所有符合条件的点P的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】设与x轴交于点H，过点D作DM⊥y轴于点M，DN⊥x轴于点N，求得点，点，从而得出，，然后证明得，则是等腰直角三角形，进而得是等腰直角三角形，设，则，在中，由勾股定理求出，则点，点，当点P在线段上，与的一边平行时，分和两种情况：进行讨论即可得出点P的坐标.
11．【答案】
【知识点】最简二次根式；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，
∵，
∴，（，） ，
∵当时，，
∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为，
∴此时点Q的运动路径长为；
∵当时，，
∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为，
∴此时点Q的运动路径长为；
综上分析可知，点Q运动路径的长为．
故答案为：．
【分析】设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，根据，得出，然后分两种情况，或，得出与的函数关系式，即可得出Q横纵坐标的关系式，找出点Q的运动轨迹，根据勾股定理求出运动轨迹的长即可．
12．【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行线的判定；等腰三角形的判定；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当点P在y轴左侧时，如图1，连接，
∵，
∴，
∵，
∴P点纵坐标为4，
又P点在直线上，把代入可求得，
∴P点坐标为；
当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2，
设P点坐标为，设直线的解析式为，
把A、P坐标代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令可得，
解得：，
∴C点坐标为，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
则，
∴P点坐标为，
综上可知，P点坐标为或．
故答案为：或．
【分析】分两种情况：当点P在y轴左侧时，即可得到，即可求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P，过作直线交x轴于点C，求出直线的解析式，即可得到点C的坐标，然后利用勾股定理求出的长，根据，得到关于a的方程解题即可．
13．【答案】6或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当时，即，
解得：，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，点C在射线上，
∴，即，
∵，
∴．
若以为顶点的三角形与全等，则或，
如图1所示，当时，，
∴；
如图2所示，当时，，
∴．
综上所述，的长为6或．
故答案为：6或．
【分析】先求出A点和B点坐标，并运用勾股定理求出长．然后分时，或两种情况，分别求得的值，即可得出结论．
14．【答案】（1）8
（2）解：租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆
得
得
又为整数且不超过8辆，
解得
共有3种可行的租车方案．
方案一：租用甲型客车6辆，乙型客车2辆．
方案二：租用甲型客车7辆，乙型客车1辆．
方案三：租用甲型客车8辆，乙型客车0辆．
（3）解：下调后的租车费用为：
，
①当，即时，随的增大而增大，
则时，有最小值2160元，求得，
②当，即时，与题意不符，舍去．
③当，即时，随的增大而减小，
则时，有最小值2160元，
求得，不符题意，舍去．
综上所述，若租车的最低费用是2160元，的值为40．
【知识点】解一元一次不等式；列一次函数关系式；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）每辆车至少安排 1 名教师，共有 8 名教师，因此最多租 8 辆车。总人数为学生 + 教师：322+8=330人； 若租 7 辆，最多载客：7×45=315<330，无法满足。因此，必须租8辆车，每辆车至少安排 1 名教师，共有 8 名教师，因此最多租 8 辆车。 总人数为学生 + 教师：322+8=330人。 若租 7 辆，最多载客：7×45=315<330，无法满足。 因此，必须租8辆车。
故答案为：8。
【分析】（1）这里有两个关键约束：一是总人数约束（330 人需要载客），二是教师跟车约束（8 名教师最多租 8 辆车）。先验证 7 辆车无法满足载客需求，再结合教师人数限制，直接锁定必须租 8 辆车，为后续建模打下基础。
（2）先设甲型客车数量为x，根据 “总费用 = 甲型车费用 + 乙型车费用”，写出一次函数关系式y=120x+2240；再根据载客量要求列出不等式，求出x的整数取值范围，从而得到所有可行的租车方案。这一步的核心是用函数和不等式，把实际问题转化为数学模型。
（3）租金下调后，费用函数的一次项系数发生了变化，需要根据系数的正负，分三种情况讨论函数的增减性：
当系数为正时，函数随x增大而增大，最小值在x=6处取得；
当系数为负时，函数随x增大而减小，最小值在x=8处取得；
当系数为零时，函数为常数，与题意不符。 再分别列方程求解m，并检验解是否符合对应情况的条件，最终确定唯一有效解。这一步的关键是利用一次函数的增减性分析最值，体现了分类讨论的数学思想。、
15．【答案】（1），
（2）解：将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
根据定义，的“友谊点”的坐标为，
∵两点关于轴对称，
∴点的坐标为，
将代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为；
（3）解：①∵直线 不经过第二象限，
∴，
解得：，
又∵为整数，
∴的值为2，
根据题意，直线的“友谊点”的坐标为，
∴点的坐标为；
②点的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得点的“友谊直线”的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的“友谊点”的坐标为，
故答案为：，.
（3）②当时，，
∴点的坐标为，
当时，有，
解得：，
∴点的坐标为，
∵直线不经过第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
当为对角线时，则，
∴，
∴点的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或.
【分析】（1）根据新定义可得点的“友谊直线”的解析式，再根据的纵坐标都为-2可得直线的解析式，从而得到直线的“友谊点”的坐标；
（2）利用待定系数法得到直线解析式为，则的坐标为，点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可；
（3）①根据直线不经过第二象限，得到，则的值为2，由定义可得的坐标为，则点的坐标为．
②求出点的坐标为，点的坐标为，根据，得到，则，再分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时， 三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同讨论求解即可．
（1）解：由题意得，点的“友谊直线”的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的“友谊点”的坐标为．
（2）解：将代入，得，解得，
∴直线解析式为，
根据定义，的“友谊点”的坐标为，
∵两点关于轴对称，
∴点的坐标为，
将代入，得，
解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：①∵直线不经过第二象限，
∴，
解得，
又∵为整数，
∴的值为2，
根据题意，直线的“友谊点”的坐标为，
∴点的坐标为．
②当时，，
∴点的坐标为，
当时，即，
解得，
∴点的坐标为，
∵直线不经过第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
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