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专题二：平面向量
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
平面向量的概念与线性运算 2025Ⅰ 卷 3；2024Ⅱ 卷 3； 2023Ⅰ 卷 4 向量加减、数乘运算；几何意义；三点共线判定
平面向量基本定理与坐标表示 2025Ⅱ 卷 5；2024Ⅰ 卷 4；2022Ⅱ 卷 3 基底选择；坐标运算；用基底表示向量
平面向量的数量积 2025Ⅰ 卷 4；2024Ⅰ 卷 5；2023Ⅱ 卷 4 数量积计算；模长；夹角；垂直判定
向量的综合应用 2023Ⅰ 卷 10；2022Ⅰ 卷 8 与三角函数、解三角形、解析几何结合
近五年新高考中，平面向量为必考中档题，多以选择题、填空题出现，难度中等，分值稳定。核心考查：线性运算、坐标运算、数量积、垂直与平行判定、模长与夹角，偶尔在解答题中作为工具考查，与三角函数、解三角形、平面几何结合，突出数形结合与运算素养，重基础重方法。
【易错点提醒】
忽略零向量的特殊性
判断易错，时不成立
忽略共线向量
（1）已知同一平面上的向量、、两两所成的角相等，并且，，，求的长度．
（2）已知向量，，则“”是“为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件= C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
投影向量理解错误
已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
向量夹角的定义
在边长为1正三角形中，则的值为 .
忽视平面向量的运算律出错
（多选）已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则 D.
混淆点的坐标与向量的坐标
（1）已知=(2，3)，则点N位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 不确定
（2）已知点A(-1，-5)，向量=(-1，0)，=(1，-1)，当=+时，点B的坐标为（ ）
A. (2，6) B. (-1，-6) C. (0，-1) D. (-4，5)
7. 模长忘记开方
已知单位向量，的夹角为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 共线向量忽视方向相同相反
在中，点满足，则（　　）
A． B． C． D．
【典型真题】
1.向量加法
【2025新高考Ⅰ卷6】帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图（风速的大小和向量的大小相同，单位，则真风为　　
等级 风速大小 名称
2 轻风
3 微风
4 和风
5 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
2.向量垂直
【2024新高考Ⅰ卷3】已知向量，，若，则　　
A． B． C．1 D．2
3.向量的模
【2023新高考Ⅱ卷13】已知向量，满足，，则______．
4.向量线性运算
【2022新高考Ⅰ卷3】在中，点在边上，．记，，则　　
A． B． C． D．
5.向量的夹角
【2022新高考Ⅱ卷4】已知向量，，，若，，，则　　
A． B． C．5 D．6
6.数量积运算
【2021新高考Ⅰ卷10】已知为坐标原点，点，，，，，则　　
A． B．
C． D．
【教材好题】
1．（人教A版习题）若非零向量与满足，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
2．（人教A版习题）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标.
3．（人教A版习题）如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
4.（人教A版习题）如图，在⊙中，是不是只需知道⊙的半径或弦的长度，就可以求出的值？
5.（人教A版例题）用向量方法证明两角差的余弦公式
证明:如图,在平面直角坐标系内作单位圆,以轴的非负半轴为始边作角,它们的终边与单位圆的交点分别为.则
，
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专题二：平面向量
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
平面向量的概念与线性运算 2025Ⅰ 卷 3；2024Ⅱ 卷 3； 2023Ⅰ 卷 4 向量加减、数乘运算；几何意义；三点共线判定
平面向量基本定理与坐标表示 2025Ⅱ 卷 5；2024Ⅰ 卷 4；2022Ⅱ 卷 3 基底选择；坐标运算；用基底表示向量
平面向量的数量积 2025Ⅰ 卷 4；2024Ⅰ 卷 5；2023Ⅱ 卷 4 数量积计算；模长；夹角；垂直判定
向量的综合应用 2023Ⅰ 卷 10；2022Ⅰ 卷 8 与三角函数、解三角形、解析几何结合
近五年新高考中，平面向量为必考中档题，多以选择题、填空题出现，难度中等，分值稳定。核心考查：线性运算、坐标运算、数量积、垂直与平行判定、模长与夹角，偶尔在解答题中作为工具考查，与三角函数、解三角形、平面几何结合，突出数形结合与运算素养，重基础重方法。
【易错点提醒】
忽略零向量的特殊性
判断易错，时不成立
忽略共线向量
（1）已知同一平面上的向量、、两两所成的角相等，并且，，，求的长度．
【答案】6或
（2）已知向量，，则“”是“为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件= C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
投影向量理解错误
已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
向量夹角的定义
在边长为1正三角形中，则的值为 .
【答案】
忽视平面向量的运算律出错
（多选）已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则 D.
【答案】AB
混淆点的坐标与向量的坐标
已知=(2，3)，则点N位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 不确定
【答案】D
已知点A(-1，-5)，向量=(-1，0)，=(1，-1)，当=+时，点B的坐标为（ ）
A. (2，6) B. (-1，-6) C. (0，-1) D. (-4，5)
【答案】B
7. 模长忘记开方
已知单位向量，的夹角为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8. 共线向量忽视方向相同相反
在中，点满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【典型真题】
1.向量加法
【2025新高考Ⅰ卷6】帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图（风速的大小和向量的大小相同，单位，则真风为　　
等级 风速大小 名称
2 轻风
3 微风
4 和风
5 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
【解析】：如图：视风风速对应向量的坐标为，
船速对应向量的坐标为，所以船行风速对应的向量坐标为，
设真风风速对应向量为，则，所以，
所以，故真风为轻风．故选：．
2.向量垂直
【2024新高考Ⅰ卷3】已知向量，，若，则　　
A． B． C．1 D．2
【解析】解法一：，，则，
∵，∴，解得．故选：．
解法二：，∴
3.向量的模
【2023新高考Ⅱ卷13】已知向量，满足，，则______．
【解析】解法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
解法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.故答案为：.
4.向量线性运算
【2022新高考Ⅰ卷3】在中，点在边上，．记，，则　　
A． B． C． D．
【解析】【解法一】如图，
，
，即．故选：．
【解法二】∵BD=2DA，∴，∴，解得=3n 2m.
【解法三】：取C为直角，并以C为原点，CA、CB所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设A(3a,0),B(0,3b)，由BD=2DA知D为靠近A的三等分点，从而D(2a,b)，∴。
【解法四】：设，则，
与条件=2()对比，得1 x=y= 2，解得x=3，y= 2，故．
5.向量的夹角
【2022新高考Ⅱ卷4】已知向量，，，若，，，则　　
A． B． C．5 D．6
【解析】【解法一】向量，，，
，
，，，
，，解得实数．故选：．
【解法二】，，，，，，
，，，解得实数．故选：．
【解法三】记,,,由题意可得，OC为OA与OB为邻边的棱形对角线，且，故.故选: C.
6.数量积运算
【2021新高考Ⅰ卷10】已知为坐标原点，点，，，，，则　　
A． B．
C． D．
【解析】：，，，，，
，，
，，，
，，
则，，则，故正确；
，
，
，故错误；
，
，
，故正确；
，
，
，故错误．
故选：．
【教材好题】
1．（人教A版习题）若非零向量与满足，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
【详解】，
的角平分线与垂直，
，，
，，
为等边三角形．故选：D．
2．（人教A版习题）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标.
【详解】由已知
，
，
∴点的坐标为.
3．（人教A版习题）如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
【详解】设，，，则.
由，可设，
又，，可设，
∵，
∴，
综上，有，即，
由于与不共线，则，解得，
∴.同理，，.
∴.
4.（人教A版习题）如图，在⊙中，是不是只需知道⊙的半径或弦的长度，就可以求出的值？
【详解】只与弦的长度有关，与半径无关．
理由如下：设⊙的半径为，的长度为，取的中点，连接，则.在中，，，，
∴.
5.（人教A版例题）用向量方法证明两角差的余弦公式
证明:如图,在平面直角坐标系内作单位圆,以轴的非负半轴为始边作角,它们的终边与单位圆的交点分别为.则
，
由向量数量积的坐标表示,有
设与的夹角为,则
所以
另一方面,由图(1)可知，；由图(2)可知,.
于是.所以
于是.
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