资源简介

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专题四：排列组合与二项式定理
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
排列与组合 2024·全国甲卷 16 2024·新课标Ⅱ卷14 2023·全国甲卷（文）4 2022·新高考全国Ⅱ卷5 2021·全国甲卷（文）10 有限制条件的排列问题
2024·天津13 2023·新课标Ⅰ卷13 2023·新课标Ⅱ卷13 2023·全国甲卷（理）9 2023·全国乙卷（理）7 2022·新高考全国Ⅰ卷5 2022·全国乙卷（理）13 2021·全国乙卷（理）6 组合问题
二项式定理 2025·上海4 2025·天津11 2024·天津11 2024·北京4 2023·天津11 2022·新高考全国Ⅰ卷13 2022·天津 11 2021·北京11 2021·天津11 求二项式展开式的特定项
2025·北京12 2022·北京8 2022·浙江12 2021·浙江13 二项式展开式项的系数和
2024·全国甲卷（理）13 2023年Ⅱ卷2 项的系数最值问题
有限制条件的排列是高频热点，近 5 年多次考查 “有限制条件的排列问题”，题目常通过 “相邻 / 不相邻”“特殊元素优先”“位置限制””等经典模型设置，侧重逻辑推理和分类讨论思想的应用；组合问题则多与实际场景结合（如分配问题、选组问题），强调对 “无序性”本质的理解。
二项式定理特定项与系数计算是考查重点，其中近5年“求二项式展开式的特定项”（如常数项、指定次数项）考查频率最高，核心是利用通项公式求解，需注意符号、系数与二项式系数的区别；“系数和”问题（如赋值法求各项系数和、奇数项/偶数项系数和）也频繁出现，侧重对赋值法的灵活应用；系数最值问题偶有出现，注重逻辑分析，虽然考查次数较少，但系数最值问题常涉及不等式求解或单调性分析，需结合二项式系数的增减性规律（中间项最大），体现对知识深度的要求。
【易错点提醒】
易错点1、计数时混淆有序与定序
1、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
易错点2、混淆均匀分组与部分均匀分组致错
1、(2025·江西赣州上犹县一模)身高互不相同的6个人呈2横排3纵列照相，每个人都比他同列身后的人个子矮，则不同的排法种数是 种．
2．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ）
A．72 B．108 C．216 D．432
易错点3、混淆排列与组合导致计数错误
1．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是(　 )
A．1 260 B．2 025 C．2 520 D．5 040
易错点4、考虑问题不全面导致漏计出错
1、如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为(　 )
A．10 B．40 C．44 D．70
易错点5、混淆二项式系数之和与所有项系数之和出错
1．已知的展开式中各项的二项式系数的和为256，则这个展开式中项的系数是_____．
易错点6、利用分步乘法原理计数,分步标准错误
1、把3个不同的小球投入到4个盒子,所有可能的投法共有(　　)
A．24种 B．4种 C． 种 D．种
易错点7、混淆二项式系数与项的系数致错
1．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ．
易错点8、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r项致错
1．（2025·上海宝山·三模）在的展开式中，第2项和第4项的系数相同，则 .
易错点9、混淆二项式系数之和与所有项系数之和出错
1．已知的展开式中各项的二项式系数的和为256，则这个展开式中项的系数是_____．
易错点10、混淆二项式展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项致错
1．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
【典型真题】
知识点1：排列组合问题
1.(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　)
A．120种 B．60种 C．30种 D．20种
2.(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_______ 种．(用数字作答)
3．（2023 新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有　　
A．种 B．种 C．种 D．种
知识点2：利用二项式定理求项的系数
1.（2022新高考Ⅰ卷第 13 题）的展开式中的系数_____________（用数字作答）.
知识点3：利用二项式定理求系数和问题
1.（2022 北京）若，则　　
A．40 B．41 C． D．
2．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ．
知识点4:求二项式展开式的特定项
1.（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ．
知识点5：二项式定理综合问题
1.设数列的前项和为，已知．
（1）若，设，证明：恰有个零点；
（2）若，证明：．
【教材好题】
1.（人教B版选择性必修第二册P20例5）要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学：
(1) 如果每个人都得3本，则共有不同的分法多少种？
(2) 如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有不同的分法多少种？
2.（人教A版选择性必修第三册P38T8）某种产品的加工需要经过5道工序。
(1)如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
(2)如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
(3)如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
(4)如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
3．（人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2）在的展开式中，的系数为（ ）
A．0 B．20 C．10 D．
4.（人教A版选择性必修第三册P34练习T1） ________.
5.（人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T6）用二项式定理证明能被8整除．
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专题四：排列组合与二项式定理
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
排列与组合 2024·全国甲卷 16 2024·新课标Ⅱ卷14 2023·全国甲卷（文）4 2022·新高考全国Ⅱ卷5 2021·全国甲卷（文）10 有限制条件的排列问题
2024·天津13 2023·新课标Ⅰ卷13 2023·新课标Ⅱ卷13 2023·全国甲卷（理）9 2023·全国乙卷（理）7 2022·新高考全国Ⅰ卷5 2022·全国乙卷（理）13 2021·全国乙卷（理）6 组合问题
二项式定理 2025·上海4 2025·天津11 2024·天津11 2024·北京4 2023·天津11 2022·新高考全国Ⅰ卷13 2022·天津 11 2021·北京11 2021·天津11 求二项式展开式的特定项
2025·北京12 2022·北京8 2022·浙江12 2021·浙江13 二项式展开式项的系数和
2024·全国甲卷（理）13 2023年Ⅱ卷2 项的系数最值问题
有限制条件的排列是高频热点，近 5 年多次考查 “有限制条件的排列问题”，题目常通过 “相邻 / 不相邻”“特殊元素优先”“位置限制””等经典模型设置，侧重逻辑推理和分类讨论思想的应用；组合问题则多与实际场景结合（如分配问题、选组问题），强调对 “无序性”本质的理解。
二项式定理特定项与系数计算是考查重点，其中近5年“求二项式展开式的特定项”（如常数项、指定次数项）考查频率最高，核心是利用通项公式求解，需注意符号、系数与二项式系数的区别；“系数和”问题（如赋值法求各项系数和、奇数项/偶数项系数和）也频繁出现，侧重对赋值法的灵活应用；系数最值问题偶有出现，注重逻辑分析，虽然考查次数较少，但系数最值问题常涉及不等式求解或单调性分析，需结合二项式系数的增减性规律（中间项最大），体现对知识深度的要求。
【易错点提醒】
易错点1、计数时混淆有序与定序
1、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
【错解】，原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列方法有种．
【错因】忽略了不改变原来的节目顺序这一条件，即原来的七个节目是定序的。
【正解】原先七个节目的不同安排方法共有种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有＝720(种)．
易错点2、混淆均匀分组与部分均匀分组致错
1、(2025·江西赣州上犹县一模)身高互不相同的6个人呈2横排3纵列照相，每个人都比他同列身后的人个子矮，则不同的排法种数是 种．
【错解】540，先将6名学生均分成三组方法数为,再按顺序依次站好队，根据分步计数原理合要求的安排方法数为540．
【正解】90 [将6个人平均分成三组，有种方法，再进行全排，有＝＝15×6＝90(种)排法．故答案为90．]
2．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ）
A．72 B．108 C．216 D．432
【错解】A，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法，所以共有种不同的分配方案.
【错因】该题为部分均匀分组，应除以，而不是.
【正解】C，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法，所以共有种不同的分配方案.
易错点3、混淆排列与组合导致计数错误
1．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是(　 )
A．1 260 B．2 025 C．2 520 D．5 040
【错解】先从10人中选出2人承担甲任务；再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种．故选A.
【错因】本题是组合问题，是无序的，不是排列问题。
【正解】选C，先从10人中选出2人承担甲任务；再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种．故选C.
易错点4、考虑问题不全面导致漏计出错
1、如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为(　 )
A．10 B．40 C．44 D．70
【错解】选B，由题意可知，阴数为2,4,6,8，阳数为1,3,5,7,9，若选取3个数的和为奇数，则3个数都为奇数，共有种方法；所以满足题意的方法共有10种．
【错因】没有考虑两偶一奇的情况，
【正解】选B，由题意可知，阴数为2,4,6,8，阳数为1,3,5,7,9，若选取3个数的和为奇数，则有两类：一类是3个数都为奇数，共有种方法；另一类是两偶一奇，共有种方法，所以满足题意的方法共有10＋30＝40种．故选B.
易错点5、混淆二项式系数之和与所有项系数之和出错
1．已知的展开式中各项的二项式系数的和为256，则这个展开式中项的系数是_____．
【错解】令，则，则，的展开式的通项为
由得，所以所求展开式中项的系数是.
【错因】混淆二项式系数之和与所有项系数之和，本题是说的展开式中各项的二项式系数的和为256，
【正解】依题意，则，的展开式的通项为
，由，得，所以所求展开式中项的系数是
易错点6、利用分步乘法原理计数,分步标准错误
1、把3个不同的小球投入到4个盒子,所有可能的投法共有(　　)
A．24种 B．4种 C． 种 D．种
【错解】因为每个盒子有三种投入方法,共4个盒子,所以共有3×3×3×3＝(种)投法．
【错因】没有考虑每个球只能投入一个盒子中,导致错误
【正解】第1个球投入盒子中有4种投法；第2个球投入盒子中也有4种投法；第3个球投入盒子中也有4种投法．只要把这3个球投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理可得共有种方法．
易错点7、混淆二项式系数与项的系数致错
1．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ．
【错解】答案10，由通项公式，令，得
所以的系数为，故答案为10.
【错因】错把二项式系数当成项的系数.
【正解】答案80，由通项公式，令，得
令，得，可得项的系数为
易错点8、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r项致错
1．（2025·上海宝山·三模）在的展开式中，第2项和第4项的系数相同，则 .
【错解】答案6，其展开式的通项公式为.令,得=,解得
【错因】误认为第二项是，第四项是而错误.
【正解】答案4，那么对于二项式，其展开式的通项公式为
求第项的系数：令，可得第项为，所以第项的系数为
求第项的系数：令，可得第项为，所以第项的系数为
因为第项和第项的系数相同，所以，由于可得：
得,即解得或，因为为正整数，所以舍去，故
易错点9、混淆二项式系数之和与所有项系数之和出错
1．已知的展开式中各项的二项式系数的和为256，则这个展开式中项的系数是_____．
【错解】令，则，则，的展开式的通项为由得，所以所求展开式中项的系数是.
【错因】混淆二项式系数之和与所有项系数之和，本题是说的展开式中各项的二项式系数的和为256，
【正解】依题意，则，的展开式的通项为，由，得，所以所求展开式中项的系数是
易错点10、混淆二项式展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项致错
1．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
【错解】答案252，由题展开式通项公式为，且，所以各项系数中的最大的值为=252.
【错因】混淆二项式展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项.
【正解】答案5，由题展开式通项公式为，且，
设展开式中第项系数最大，则，，即，又，故，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.
【典型真题】
知识点1：排列组合问题
1.(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　)
A．120种 B．60种 C．30种 D．20种
答案：B 先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有种安排方式，所以不同的安排方式共有＝60(种)．故选B．
2.(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_______ 种．(用数字作答)
答案：64
法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案．综上，不同的选课方案共有＝64(种)．
法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有＝48(种)选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种)．
方法总结：当完成一件事可以通过多种不同方案实现，且这些方案之间是互斥的（即不同时使用同一种方案的方法）时，应当考虑用分类加法原理,当完成一件事需要多个步骤，每一步都有不同的方法数，应当考虑分步乘法原理.
3．（2023 新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有　　
A．种 B．种 C．种 D．种
答案：初中部和高中部分别有400和200名学生，人数比例为，
则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，则有种．故选：．
方法总结：当总体由差异明显的几部分构成时，采用分层抽样的方法，也称为按比例抽样，组合数公式和分步乘法原理的应用是解决本题的关键，利用分步乘法计数原理时，注意将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当各步骤都完成了，这件事才能完成.
知识点2：利用二项式定理求项的系数
1.（2022新高考Ⅰ卷第 13 题）的展开式中的系数_____________（用数字作答）.
思路分析：
详细答案：
方法一：因为 ，所以 的展开式中含 的项为，的展开式中 的系数为-28
方法二：将原式看作9个因式相乘，先第一个因式用1乘，则其余八个选六个用y乘，或者第一个因式用乘，则其余八个选5个用y乘，则.
方法总结：这是一道难度较大的创新性排列组合试题.关键是发现：一定是偶数，这样就找到了变化中的不变量。
知识点3：利用二项式定理求系数和问题
1.（2022 北京）若，则　　
A．40 B．41 C． D．
思路分析：
详细答案：
法一：，可得，，，
，故答案为：41．
法二：，
令，可得，再令，可得，
两式相加处以2可得，，故选：
2．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ．
思路分析：利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值.
详细答案：令，则，又，
故，
令，则，
令，则，故 ， 故答案为：.
知识点4:求二项式展开式的特定项
1.（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ．
详解:展开式的通项公式为，当时，，
即展开式中的系数为. 故答案为：
知识点5：二项式定理综合问题
1.设数列的前项和为，已知．
（1）若，设，证明：恰有个零点；
（2）若，证明：．
解：（1）由已知可得：
所以
所以
因为，，所以，在上单调递增
又因为
，因为
当时，
所以，恰有个零点 7分
（2）设函数
又知
当，则 ，所以
当，则 ，所以
所以在上单调递增；在上单调递减
所以，即
方法总结：二项式定理可以与函数导数、数列、不等式等交汇命题.关键是观察理解代数结构，灵活的运用二项式定理等解决问题。
【教材好题】
1.（人教B版选择性必修第二册P20例5）要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学：
(1) 如果每个人都得3本，则共有不同的分法多少种？
(2) 如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有不同的分法多少种？
【答案】（1）1680 （2）7560
2.（人教A版选择性必修第三册P38T8）某种产品的加工需要经过5道工序。
(1)如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
(2)如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
(3)如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
(4)如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
【答案】（1）96 （2）36 （3）48 （4）72
3．（人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2）在的展开式中，的系数为（ ）
A．0 B．20 C．10 D．
【答案】A
【分析】先求得展开式的通项公式，分别求和的项，结合题意即可求得答案.
【详解】由题意得展开式的通项公式为，
令，，令，，所以的系数为0.故选：A
4.（人教A版选择性必修第三册P34练习T1） ________.
【答案】 【详解】由组合数的性质知，，，
所以.
5.（人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T6）用二项式定理证明能被8整除．
【分析】根据，按照二项式定理展开，化简后，根据展开式的各式都含有因数8可得它能被8整除.
【详解】证明：
能被8整除. 所以能被8整除.
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