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专题三：不等式
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
等式与不等式 2025年Ⅰ卷8 2025年Ⅱ卷4 2023年Ⅰ卷1 2022年Ⅰ卷7 2021年Ⅱ卷7 利用图像比较大小 分式不等式的求解 一元二次不等式的求解 作差法构造函数比较大小 找中间值比较大小
基本不等式 2023年Ⅰ卷22 2022年Ⅰ卷18 2022年Ⅱ卷12 2021年Ⅰ卷5 基本不等式的应用 基本不等式求和的最小值 基本不等式的应用 基本不等式和椭圆定义的结合
近五年新高考不再单独把不等式设大题，弱化独立考点，强化工具属性，多融合集合、函数、导数、数列考查。小题每年必考，以选择、填空为主：常考不等式性质比大小、一元二次不等式解集，常结合集合运算、指对函数出题，属于基础送分题。基本不等式是高频难点，多放在多选、填空压轴，侧重一正二定三相等、1的代换、构造定值求最值，偶尔结合柯西不等式考查。绝对值、分式、高次不等式多作为解题工具，很少单独命题；解答题集中在导数压轴，以恒成立、能成立、不等式放缩证明为主。
【易错点提醒】
误用不等式性质
已知为实数,则是的（）
A.充分不必要条件 　 B.必要不充分条件 C. 充要条件　　 D. 既不充分也不必要条件
【错解】C
【错因分析】误用的不等式性质，没有弄清谁是条件,谁是结论.
【正解】B
【纠错笔记】p是q的充分条件,p的充分条件是q.
2.忽略限制条件
若,则a的取值范围是 .
【错解】因为,两边取倒数得,所以.
【错因分析】忽略的情况
【正解】当时,当时两边取倒数得,所以,所以a的取值范围是
【纠错笔记】若,则时才能得到.
3.同向相乘出错
若,,求的取值范围.
【错解】
【错因分析】利用不等式同向相乘,忽略不等式两边为正.的前提条件
【正解】当时得,当时,当时,所以,综上可得的取值范围是.
【纠错笔记】若,则充分条件包含充要条件与充分不必要条件.
4.利用同向相加求范围出错
设，若，则的取值范围是_________.
【错解】由已知得①,②,
①＋②得，又由①可得,③
②＋③得,又,
∴的取值范围是．
【错因分析】范围扩大.
【正解】　由 得
又，故.
【纠错笔记】在求式子的范围时,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等号不能同时取到,会导致范围扩大.
解分式不等式忽略分母不为零
解不等式.
【错解】或.
【错因分析】忽略.
【正解】且或，
所以的解集为
【纠错笔记】且.
6.连续使用基本不等式忽略等号能否同时成立
已知且,则的最小值是________．
【错解】，，
∴x＋y的最小值为.
【错因分析】取等号的条件是,
即,取等号的条件是与矛盾.
【正解】，当且仅当时取等号∴当时,.
【纠错笔记】多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.
7. 使用基本不等式求和的最值忽略各项为正
函数的值域为 .
【错解】，所以的值域为 .
【错因分析】忽略时
【正解】当时,,当时,,所以的值域为.
【纠错笔记】利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等.
8. 解含有参数的不等式分类不当致误
解关于的不等式.
【错解】原不等式化为.
∴当时,不等式的解集为，当时,不等式的解集为.
【错因分析】解本题容易出现的错误是：(1)认定这个不等式就是一元二次不等式,忽视了对时的讨论；(2)在不等式两端约掉系数时,若,忘记改变不等号的方向；(3)忽视了对根的大小的讨论,特别是等根的讨论；(4)分类讨论后,最后对结论不进行整合．
【正解】当时,不等式的解集为．
当时,不等式化为
当时,原不等式等价于,不等式的解集为；
当时,,不等式的解集为；
当时,,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为.
综上所述,当时,不等式的解集为；当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为；当时,不等式的解集为；当a>1时,不等式的解集为.
【纠错笔记】解形如的不等式,应对系数分进行讨论,还要讨论各根的大小,最后根据不同情况分别写出不等式的解集．
【典型真题】
比较大小
（2022年全国甲，第12题）已知，则（ ）
B. C. D.
思路分析：
思路探求
（3）比较与的大小，同上面的思路
详细答案：A
方法一：由可得，而，
所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.
综上，，故选A.
方法二：由可得，由于，构造函数，则，所以在内单调递增，即，所以.又，所以，故选A.
方法总结：比较大小的常用方法有单调性法、中间量法、作差作商法、构造函数法、图象法.本题的关键是指对互化后，利用放缩法比较大小，或构造函数后用其单调性比较大小.本题在解决过程中借助指对互化、基本不等式等知识进行条件分析，应用指对运算技能完成数式的化简，应用演绎推理的技能完成基本不等式的放缩，运算放缩法、构造函数法将问题进行有效转化.
不等式性质
（2025·北京丰台·一模）已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】选项A：举反例：取，，，，则，，
显然不成立，因此A不恒成立；
选项B：，举反例：取，，，，则，，显然不成立，故B不恒成立；
选项C：，由于指数函数 是严格递增函数，和分别推出和，
因此恒成立，因此C恒成立；
选项D：，举反例：取，，，，则，，
显然不成立，因此D不恒成立.故选：C.
基本不等式
（2025·北京·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A,当时，，故A错误；
对于BD，取，此时，，故BD错误；对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C.
（2024北京高考）．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【思路分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
不等式中的恒成立问题
（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为
【答案】
【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【详解】设，原题转化为求的最小值，原不等式可化为对任意的，，
不妨代入，得，得，
当时，原不等式可化为，即，
观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，
此时，，说明时，均可取到，满足题意，故的最小值为.
故答案为：
【教材好题】
人教B版（2020年）必修一P81页练习题2-2C第3题：
已知，求的最小值，以及y取得最小值时x的值．
【详解】因为，
所以，即，因为，所以。
则。
那么，即y的最小值为5。
当且仅当时，等号成立，即，解得。
故函数的最小值为5，此时。
方法总结：
1．利用基本不等式求最值应满足的三个条件要谨记
(1)一正：各项或各因式均为正；
(2)二定：和或积为定值；
(3)三相等：各项或各因式能取到使等号成立的值．
利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．
人教A版（2019年）必修一P58页复习参考题二第5题：
若正数a,b满足ab＝a＋b＋3.求ab的取值范围.
【分析】根据基本不等式化为关于二次不等式，解得范围，即得ab的取值范围.
【详解】由于，所以有，即，所以.
人教A版（2019年）必修一P39页探究：
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
【详解】如图:
设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为，则大正方形的面积为，四个矩形的面积和为，显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和，所以所以（当且仅当时取等号）.
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专题三：不等式
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
等式与不等式 2025年Ⅰ卷8 2025年Ⅱ卷4 2023年Ⅰ卷1 2022年Ⅰ卷7 2021年Ⅱ卷7 利用图像比较大小 分式不等式的求解 一元二次不等式的求解 作差法构造函数比较大小 找中间值比较大小
基本不等式 2023年Ⅰ卷22 2022年Ⅰ卷18 2022年Ⅱ卷12 2021年Ⅰ卷5 基本不等式的应用 基本不等式求和的最小值 基本不等式的应用 基本不等式和椭圆定义的结合
近五年新高考不再单独把不等式设大题，弱化独立考点，强化工具属性，多融合集合、函数、导数、数列考查。小题每年必考，以选择、填空为主：常考不等式性质比大小、一元二次不等式解集，常结合集合运算、指对函数出题，属于基础送分题。基本不等式是高频难点，多放在多选、填空压轴，侧重一正二定三相等、1的代换、构造定值求最值，偶尔结合柯西不等式考查。绝对值、分式、高次不等式多作为解题工具，很少单独命题；解答题集中在导数压轴，以恒成立、能成立、不等式放缩证明为主。
【易错点提醒】
误用不等式性质
已知为实数,则是的（）
A.充分不必要条件 　 B.必要不充分条件 C. 充要条件　　 D. 既不充分也不必要条件
2.忽略限制条件
若,则a的取值范围是 .
3.同向相乘出错
若,,求的取值范围.
4.利用同向相加求范围出错
设，若，则的取值范围是_________.
解分式不等式忽略分母不为零
解不等式.
6.连续使用基本不等式忽略等号能否同时成立
已知且,则的最小值是________．
7. 使用基本不等式求和的最值忽略各项为正
函数的值域为 .
8. 解含有参数的不等式分类不当致误
解关于的不等式.
【典型真题】
比较大小
（2022年全国甲，第12题）已知，则（ ）
B. C. D.
不等式性质
（2025·北京丰台·一模）已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
基本不等式
（2025·北京·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2024北京高考）．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
不等式中的恒成立问题
（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为
【教材好题】
人教B版（2020年）必修一P81页练习题2-2C第3题：
已知，求的最小值，以及y取得最小值时x的值．
人教A版（2019年）必修一P58页复习参考题二第5题：
若正数a,b满足ab＝a＋b＋3.求ab的取值范围.
人教A版（2019年）必修一P39页探究：
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
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