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专题五：三角函数与解三角形
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
三角函数 2025年Ⅰ卷4 2025年Ⅱ卷8 2025年 Ⅱ卷15 正切函数的性质； 同角三角函数的关系 半角公式； 余弦函数的相位求解、三角恒等变换函数值域与单调区间分析
2024年Ⅰ卷4 2024年Ⅰ卷7 2024年Ⅱ卷7 三角函数恒等变换； 三角函数图像； 三角函数恒等变换
2023年Ⅰ卷8 2023年Ⅱ卷7 2023年Ⅱ卷16 三角函数恒等变换； 三角函数恒等变换 半角公式； 正弦函数图像和性质
2022年Ⅰ卷6 2022年Ⅱ卷6 正弦函数的性质 （对称中心）； 求w的值
2021年Ⅰ卷4 2021年Ⅰ卷6 2021年Ⅱ卷6 正弦函数单调区间； 三角恒等变换； 三角恒等变换
解三角形 2025年Ⅰ卷11 2025年Ⅱ卷5 解三角形； 已知三边求角
2024年Ⅰ卷15 2024年Ⅱ卷16 2024年Ⅱ卷18 正弦定理和余弦定理； 余弦定理 三角形面积公式； 正弦定理和余弦定理 角平分线
2023年Ⅰ卷15 2023年Ⅱ卷17 正弦定理和余弦定理求高； 正弦定理和余弦定理 中线
2022年Ⅰ卷18 2022年Ⅱ卷18 求角和最值问题； 求角和面积
2021年Ⅰ卷19 2021年Ⅱ卷18 正弦定理和余弦定理求边求角； 正弦定理和余弦定理求边求角
近五年新高考中，新高考始终重视对正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式等基础知识的考查，解答题基本围绕这些核心内容命题，只要掌握基础就能拿到大部分分数。综合性与交汇性增强。三角函数与导数、向量、复数、不等式等知识的结合越来越多；创新性与应用性提升。反套路命题增多，如2025年的解三角形多选题，打破了常规的边/角求解模式，侧重考查思维的灵活性；解三角形的实际应用（测量问题）虽出现频率不高，但仍是命题的潜在热点。“多解”与“陷阱”设置。 利用正弦定理时，易出现“两解”的情况，命题常通过设置此类陷阱考查思维的严谨性。
【易错点提醒】
任意角和弧度制及三角函数的概念
（2007·四川·高考真题）下面有5个命题：
①函数的最小正周期是；②终边在轴上的角的集合是；
③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点；
④把函数的图象向右平移得到的图象；
⑤角为第一象限角的充要条件是．
其中，真命题的编号是______（写出所有真命题的编号）．
同角三角函数的关系及诱导公式
若，则= ．
三角恒等变换
（2025新高考Ⅱ卷8）已知，，则　　
A． B． C． D．
三角函数的图像与性质
（1）三角函数的定义域、值域与最值
函数的最大值为__________.
（2）三角函数的周期性、奇偶性、对称性、单调性
函数的单调递减区间是
（3）三角函数中ω的求解
若函数在上有4个最值，则的取值范围是 ．
函数的图象及应用
（1）函数的图象及变换
把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
（2）由图象确定函数的解析式
已知函数，，的部分图象如图所示，则( )
的最小正周期为 B. 当时，的最大值为
C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在点处的切线方程为1
【典型真题】
三角函数图像与性质
【2025北京卷8】设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【2025.天津卷8】 ，，在，上单调递增，且为它的一条对称轴，，是它的一个对称中心，当，时，的最小值为　　
A． B． C．1 D．0
2. 三角恒等变换
【2024·新高考2卷】 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
求A．
若，，求的周长．
与解三角形有关的最值问题
【2022年全国甲卷理16】已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
4. 以三角形为背景的数学建模
【2021年全国甲】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为()(　　)
A．346 B．373 C．446 D．473
5. 解三角形定理的综合应用
【2021·新高考Ⅰ卷19题】记的内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【教材好题】
三角函数
已知函数的最大值为1，
求常数的值；
求函数的单调递减区间；
求使成立的的取值集合．
解三角形
已知分别为的三个内角的对边，
求；
若，的面积为，求
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专题五：三角函数与解三角形
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
三角函数 2025年Ⅰ卷4 2025年Ⅱ卷8 2025年 Ⅱ卷15 正切函数的性质； 同角三角函数的关系 半角公式； 余弦函数的相位求解、三角恒等变换函数值域与单调区间分析
2024年Ⅰ卷4 2024年Ⅰ卷7 2024年Ⅱ卷7 三角函数恒等变换； 三角函数图像； 三角函数恒等变换
2023年Ⅰ卷8 2023年Ⅱ卷7 2023年Ⅱ卷16 三角函数恒等变换； 三角函数恒等变换 半角公式； 正弦函数图像和性质
2022年Ⅰ卷6 2022年Ⅱ卷6 正弦函数的性质 （对称中心）； 求w的值
2021年Ⅰ卷4 2021年Ⅰ卷6 2021年Ⅱ卷6 正弦函数单调区间； 三角恒等变换； 三角恒等变换
解三角形 2025年Ⅰ卷11 2025年Ⅱ卷5 解三角形； 已知三边求角
2024年Ⅰ卷15 2024年Ⅱ卷16 2024年Ⅱ卷18 正弦定理和余弦定理； 余弦定理 三角形面积公式； 正弦定理和余弦定理 角平分线
2023年Ⅰ卷15 2023年Ⅱ卷17 正弦定理和余弦定理求高； 正弦定理和余弦定理 中线
2022年Ⅰ卷18 2022年Ⅱ卷18 求角和最值问题； 求角和面积
2021年Ⅰ卷19 2021年Ⅱ卷18 正弦定理和余弦定理求边求角； 正弦定理和余弦定理求边求角
近五年新高考中，新高考始终重视对正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式等基础知识的考查，解答题基本围绕这些核心内容命题，只要掌握基础就能拿到大部分分数。综合性与交汇性增强。三角函数与导数、向量、复数、不等式等知识的结合越来越多；创新性与应用性提升。反套路命题增多，如2025年的解三角形多选题，打破了常规的边/角求解模式，侧重考查思维的灵活性；解三角形的实际应用（测量问题）虽出现频率不高，但仍是命题的潜在热点。“多解”与“陷阱”设置。 利用正弦定理时，易出现“两解”的情况，命题常通过设置此类陷阱考查思维的严谨性。
【易错点提醒】
任意角和弧度制及三角函数的概念
（2007·四川·高考真题）下面有5个命题：
①函数的最小正周期是；②终边在轴上的角的集合是；
③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点；
④把函数的图象向右平移得到的图象；
⑤角为第一象限角的充要条件是．
其中，真命题的编号是______（写出所有真命题的编号）．
【错解】对轴线角理解不准确；①②④在范围内，终边在直线轴上的角为，所以终边在轴上的角的集合是：
【正解】①函数，最小正周期是；
②终边在轴上的角的集合应该是；
③因为函数的导数，所以函数单调递增．
又易知，所以在同一坐标系中，
函数的图象和函数的图象只有一个公共点，是原点；
④把函数的图象向右平移得到，即得到的图象；
⑤“角为第一象限角”是“”的充分不必要条件．故答案为：①④
同角三角函数的关系及诱导公式
若，则= ．
【错解】==1
【正解】由于，故==
三角恒等变换
（2025新高考Ⅱ卷8）已知，，则　　
A． B． C． D．
【错解】未精确角的取值范围，，，
【正解】选D. 解法一（正弦二倍角）因为，，
所以，所以，所以，即，
所以，，所以选A
则．故选：．
解法二【四川泸州代尔宁】（余弦二倍角）根据，
因为，所以，所以，选择D
解法三【山西临汾刘亚丽】(万能公式）因为，所以又因为，所以
根据万能公式有，所以
三角函数的图像与性质
（1）三角函数的定义域、值域与最值
函数的最大值为__________.
【错解】换元时忘记写t的取值范围。换元后，二次函数在闭区间的最值直接带端点，不看对称轴。应用换元法结合正弦函数值域结合二次函数得出最大值.
【正解】设，则，对称轴为，所以当，单调递减，
当，单调递增，当时，，当时，，
所以函数的最大值为.
（2）三角函数的周期性、奇偶性、对称性、单调性
函数的单调递减区间是
【易错点】求函数的单调区间时，易忽视A与ω的符号致误：当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后，确定函数解析前面的符号对单调性的影响后再求解.
【错解】令,得求三角函数中，正弦型函数的单调区间时，函数的x前的系数为负数，未化简为正数就直接求解，导致出错.
【正解】，令，得
（3）三角函数中ω的求解
若函数在上有4个最值，则的取值范围是 ．
【错解】因为，则，因为在上有4个最值，
所以解得。错误原因在于未分析清楚端点值能否取等号。
【正解】因为，则因为在上有4个最值，所以，
解得.
函数的图象及应用
（1）函数的图象及变换
把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【易错点】不能确定正确的平移量致误：三角函数图象平移变换中，注意由的图象变换得到的图象时，平移量为，而不是｜φ｜，另外要弄清楚平移的方向.
【正解】 ，
横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数，
再把图象向右平移个单位长度得：
．选D
（2）由图象确定函数的解析式
已知函数，，的部分图象如图所示，则( )
的最小正周期为 B. 当时，的最大值为
C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在点处的切线方程为1
【错解】代点坐标求解时出错，导致范围过大
错误原因在于未注意到是位于单调递减区间内的零点，导致代点求值时范围太大不够精确。
【正解】选.由题图可知，，，即，又，所以，由五点作图法可得 ,,解得,.又由函数图象得，,即,解得，所以，，对于，的最小正周期为 ，故正确；
对于，当时，，所以，所以的最大值为2，故错误；
对于，当时，，，所以函数的图象不关于点对称，故错误；
对于，由，可得，，所以函数在点处的切线方程为，故正确.故选.
【典型真题】
三角函数图像与性质
【2025北京卷8】设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【思维导图】
【详解】解法一：函数，
设函数的最小正周期为，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即.综上，的最小值为4.故选C.
解法二：因为，
当时，函数的最小正周期为，此时不满足，所以D选项不正确；
当时，函数的最小正周期为，此时满足，且，且当，即为函数的零点，所以C选项，又因为求的最小值，故选C.
【方法提炼】1.辅助角公式；2.周期公式；3.三角函数图像.
【2025.天津卷8】 ，，在，上单调递增，且为它的一条对称轴，，是它的一个对称中心，当，时，的最小值为　　
A． B． C．1 D．0
【详解】解法一：因为在，上单调递增，且为它的一条对称轴，
可得，即，，①
因为的图象关于，对称，所以，，②
且，，解得，，
因为在，上单调递增，所以，解得，所以，
根据①②，可得，因为，所以，故，
当，时，，，可得的最小值为．
解法二：∵在上单调递增，∴，即
∵是对称轴，是对称中心，∴即解得
∵是的对称轴，∴即，又，∴设t=，∵∴∴。
【方法提炼】
1.熟练掌握正弦函数、余弦函数的图象及性质，明晰由特殊到一般的研究方法. 2.熟悉特殊角的三角函数值.
2. 三角恒等变换
【2024·新高考2卷】 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
求A．
若，，求的周长．
【思维导图】
【详解】（1）解法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
解法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，又，故
解法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，又，故
解法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式，，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，又，故
解法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，又，故
（2）由题设条件和正弦定理，
又，则，进而，得到，于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，故的周长为
【方法提炼】三角形两角和的正弦公式、辅助角公式； 三角形正弦定理、余弦定理的应用。
与解三角形有关的最值问题
【2022年全国甲卷理16】已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【思维导图】
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.
【方法提炼】将转化为关于BD的函数。
4. 以三角形为背景的数学建模
【2021年全国甲】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为()(　　)
A．346 B．373 C．446 D．473
【思维导图】
【解析】过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：，
而，
所以，所以．故选：B．
【方法提炼】将的长度转化为题中易求线段的长度。
5. 解三角形定理的综合应用
【2021·新高考Ⅰ卷19题】记的内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【思维导图】
【官方解析】
解：（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，
因为，所以，即．又因为，所以．
（2）解法一：【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．所以．
解法二：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，故有，从而．
由，即，即，即，故，即，
又，所以，则．
解法三：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．故．
【方法提炼】
1.由条件入手,利用正弦定理、倍角公式等进行转化，确定△ABC的内角B,进而明确研究△ABC面积的表达式.
2.根据面积公式将面积的取值范围车专化为a的取值范围，并由已知条件确定取值范围.
【教材好题】
三角函数
已知函数的最大值为1，
（1）求常数的值；（2）求函数的单调递减区间；（3）求使成立的的取值集合．
【详解】(1)函数,
化简得：
的最大值为,,解得：.
由(1)可得,根据三角函数的性质可得：
，解得：
的单调递减区间为
由题意，即，
可得：，，解得：
成立的的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦公式，辅助角公式，三角函数的性质的运用.
解三角形
已知分别为的三个内角的对边，
求；
若，的面积为，求
解:(1) 由正弦定理得：，，
即，,,
由为三角形内角可得，，从而.
，从而，由，得，解得：
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