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专题一：集合、常用逻辑用语、复数
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
集合与常用逻辑用语 2025年Ⅰ卷2 2025年Ⅱ卷3、4 补集的概念及其运算； 交集的概念及其运算； 求分式不等式的解集
2024年Ⅰ卷1 2024年Ⅱ卷2 交集的概念及其运算； 全称、特称命题的否定及其真假判断
2023年Ⅰ卷1 2023年Ⅰ卷7 2023年Ⅱ卷2 交集的概念及其运算； 判断充分和必要条件； 根据集合的包含关系求参数
2022年Ⅰ卷1 2022年Ⅱ卷1 交集的概念及其运算； 交集的概念及其运算
2021年Ⅰ卷1 2021年Ⅱ卷2 交集的概念及其运算； 交集、补集的概念及其运算
复数及其应用 2025年Ⅰ卷1 2025年Ⅱ卷2 复数的定义及其乘法运算； 复数的除法运算
2024年Ⅰ卷2 2024年Ⅱ卷1 复数的除法运算； 复数的模
2023年Ⅰ卷2 2023年Ⅱ卷1 复数的除法运算及共轭复数的计算； 复数的乘法运算及其象限对应
2022年Ⅰ卷2 2022年Ⅱ卷2 复数的运算及共轭复数的计算； 复数的乘法运算
2021年Ⅰ卷2 2021年Ⅱ卷1 复数的乘法运算及共轭复数的计算； 复数的除法运算及复数的坐标对应
近五年新高考中，集合、复数为必考基础题，常置于选择前2题，难度低、分值稳定。集合核心考查交并补运算，多与一元二次、分式不等式结合，偶涉含参、新定义问题；复数侧重复数四则运算、共轭复数、模及几何意义，考查基础运算能力。常用逻辑用语极少单独命题，多融合其他考点，重点考查充要条件判定、全称与特称命题否定，侧重逻辑推理，整体考查稳中有变，聚焦基础与核心素养。
【易错点提醒】
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【错解】忽略的定义域限制，漏掉，错选A项.
【正解】由，得，故，
由得，得，故，所以，故选C．
2．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【错解】集合未看到整数的要求，错选C项.
【正解】由题意，得
因为，即，解得或
则，所以，故选D.
3．设集合，．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【错解】端点的取舍易出现错误，导致错选C项.
【正解】因为，且，
所以，即实数的取值范围是，故选：D.
4．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【错解】误将前后都否定，错选D．，.
【正解】命题“，”的否定是“，”．故选：C．
5．“”成立的充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【错解】（1）分不清谁是条件（2）疏漏的符号，错选 D
【正解】对于由可得，不能得出，故A错误；
对于由可得，能得出，但不能得出，故B正确；
对于由可得，是的充要条件，故C错误；
对于由若，不能得出，故D错误．
故选B．
6．复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【错解】误将看成，错选A项.
【正解】由得：,
∴，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选：D.
7.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【错解】读不懂新概念或看不懂新情境，导致无从下手.
【正解】由欧拉公式得，因此化为，
则，即，
所以，故选：A
【典型真题】
1.集合间的基本关系
【2023新课标Ⅱ卷】设集合，，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】B 【分析】本题主要考查集合的子集，属于容易题．根据，四个选项逐一带入即可判断．
【解答】
解：若，此时，，不满足题意
若，此时，，满足题意．
若，此时，，不满足题意．
若，此时，，不满足题意．
2.集合的基本运算
（1）【2025·新课标Ⅰ卷】已知集合，，则中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为，所以， 中的元素个数为，
故选：C．
（2）【2025·新课标Ⅱ卷】）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求出集合后结合交集的定义可求.
【详解】，故，
故选：D.
3.常用逻辑用语
（1）【2024新课标Ⅱ卷】已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题. 故选：B
（2）【2025北京高考】已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
4.复数的概念及几何意义
【2025新课标Ⅰ卷】的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为，所以其虚部为1，
故选：C.

5.复数的四则运算
（1）【2024新课标Ⅰ卷】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【解答】因为，所以.
（2）【2025新课标Ⅱ卷】已知，则（ ）
A． B． C． D．1
【分析】由复数除法即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：A.
【教材好题】
1.集合
请解决下列问题：
（1）设，若，求的值；
（2）已知集合，若，求实数a的取值范围.
【详解】（1）由于，所以，且，.
（2），且，
如图所示.
【点睛】本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力.
2、常用逻辑用语
将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定:
(1)平行四边形的对角线互相平分; (2)三个连续整数的乘积是6的倍数;
(3)三角形不都是中心对称图形; (4)一元二次方程不总有实数根.
【详解】(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;
它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分;
(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;
它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数;
(3)存在一个三角形不是中心对称图形;
它的否定:所有的三角形都是中心对称图形;
(4)存在一个一元二次方程没有实数根;
它的否定:任意一元二次方程都有实数根.
3、复数
设，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）； （2）.
【详解】
（1）由得，向量的模等于1，所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆.
（2）不等式可化为不等式
不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z的集合.容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（图7.1-5）.
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专题一：集合、常用逻辑用语、复数
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
集合与常用逻辑用语 2025年Ⅰ卷2 2025年Ⅱ卷3、4 补集的概念及其运算； 交集的概念及其运算； 求分式不等式的解集
2024年Ⅰ卷1 2024年Ⅱ卷2 交集的概念及其运算； 全称、特称命题的否定及其真假判断
2023年Ⅰ卷1 2023年Ⅰ卷7 2023年Ⅱ卷2 交集的概念及其运算； 判断充分和必要条件； 根据集合的包含关系求参数
2022年Ⅰ卷1 2022年Ⅱ卷1 交集的概念及其运算； 交集的概念及其运算
2021年Ⅰ卷1 2021年Ⅱ卷2 交集的概念及其运算； 交集、补集的概念及其运算
复数及其应用 2025年Ⅰ卷1 2025年Ⅱ卷2 复数的定义及其乘法运算； 复数的除法运算
2024年Ⅰ卷2 2024年Ⅱ卷1 复数的除法运算； 复数的模
2023年Ⅰ卷2 2023年Ⅱ卷1 复数的除法运算及共轭复数的计算； 复数的乘法运算及其象限对应
2022年Ⅰ卷2 2022年Ⅱ卷2 复数的运算及共轭复数的计算； 复数的乘法运算
2021年Ⅰ卷2 2021年Ⅱ卷1 复数的乘法运算及共轭复数的计算； 复数的除法运算及复数的坐标对应
近五年新高考中，集合、复数为必考基础题，常置于选择前2题，难度低、分值稳定。集合核心考查交并补运算，多与一元二次、分式不等式结合，偶涉含参、新定义问题；复数侧重复数四则运算、共轭复数、模及几何意义，考查基础运算能力。常用逻辑用语极少单独命题，多融合其他考点，重点考查充要条件判定、全称与特称命题否定，侧重逻辑推理，整体考查稳中有变，聚焦基础与核心素养。
【易错点提醒】
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．设集合，．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．“”成立的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
6．复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【典型真题】
1.集合间的基本关系
【2023新课标Ⅱ卷】设集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.集合的基本运算
（1）【2025·新课标Ⅰ卷】已知集合，，则中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
（2）【2025·新课标Ⅱ卷】）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
3.常用逻辑用语
（1）【2024新课标Ⅱ卷】已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
（2）【2025北京高考】已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.复数的概念及几何意义
【2025新课标Ⅰ卷】的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
5.复数的四则运算
（1）【2024新课标Ⅰ卷】若，则（ ）
A． B． C． D．
（2）【2025新课标Ⅱ卷】已知，则（ ）
A． B． C． D．1
【教材好题】
1.集合
请解决下列问题：
（1）设，若，求的值；
（2）已知集合，若，求实数a的取值范围.
2、常用逻辑用语
将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定:
(1)平行四边形的对角线互相平分; (2)三个连续整数的乘积是6的倍数;
(3)三角形不都是中心对称图形; (4)一元二次方程不总有实数根.
3、复数
设，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）； （2）.
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