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1.2 课时1 菱形的性质
第一章 特殊平行四边形
1.探索并证明菱形的性质定理.
2.掌握菱形的性质定理，能根据菱形的性质及面积计算公式进行相关的计算.
1.菱形：有一组 相等的平行四边形叫作菱形.
2.菱形是轴对称图形，它有 对称轴.
3.菱形是特殊的平行四边形，具有一般平行四边形的所有性质，菱形还具有哪些特殊的性质呢？
邻边
两条
四边形 平行四边形 菱形
边
角
对角线
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
？
？
A
B
C
D
O
？
做一做：结合图形可知，菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.猜想菱形的两条对称轴之间有什么位置关系 菱形有哪些相等的线段
猜想1：菱形的四条边都相等.
猜想2：菱形的两条对称轴互相垂直，且每一条对角线平分一组对角.
探究一：菱形的性质定理
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD.
求证：AB = BC = CD =AD；
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
猜想1：菱形的四条边都相等.
证明：(1)∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD， ∴AO⊥BD，即AC⊥BD.
A
B
C
O
D
猜想2：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角.
已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.
求证： (1)AC⊥BD；
(2)AC平分∠BAD和∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC.
求证：(2)AC平分∠BAD和∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC.
证明：(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，BO=DO，
又∵AO=AO，∴△AOB△AOD(SSS)，
∴∠BAO=∠DAO，同理可证∠BCO=∠DCO，
即AC平分∠BAD和∠BCD，
同理可证：BD平分∠ABC和∠ADC.
A
B
C
O
D
四边形 菱形
边
角
对角线
对边平行，四条边都相等
对角相等
对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
菱形的性质定理：
1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A.两组对边分别平行
B.对角线互相平分
C.两组对角分别相等
D.邻角相等
E.对角线相等
F.一组邻边相等
G.对角线互相垂直
FG
做一做：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠BAD=60°，BD =6.先求一求AB和AC的长度，再算一算菱形的面积.
A
B
C
O
D
(1) ∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = AD(菱形的四条边相等），
AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直) ，
OB=OD=BD =×6=3(菱形的对角线互相平分).
在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.∴AB = BD = 6.
探究二：菱形的性质的应用
在RtΔAOB中，由勾股定理得OA2+OB2=AB2，
∴OA ===.
∴AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）.
A
B
C
O
D
(2)菱形的对角线把菱形分为四个全等的直角三角形,
S菱形ABCD=4×S△AOB
=4×AO×BO
=4××3×
=18.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD = S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
菱形的面积 = 对角线乘积的一半
想一想：我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢？尝试归纳你的发现.
A
B
C
D
O
∴S菱形ABC== AC·BD= ××6=18
2.已知菱形的两对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.
解：如图，∵四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，AO=AC=4，BO=BD=3，
在Rt△AOB中，AB===5，
∴C菱形ABCD=4AB=4×5=20，
S菱形ABCD=AC·BD=×6×8=24.
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
周长=边长的四倍
面积=底×高 = 对角线乘积的一半
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
C
2.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为______．
1
3.如图，菱形ABCD的周长为40cm，AC=10cm.
(1)求这个菱形的每一个内角的度数；
(2)求这个菱形另一条对角线的长.
解：(1)∵ AB=BC=40÷4=10 ， AC=10 ，
∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°，
∴∠BAD=2×60°=120 °.
∵菱形对角相等，∴四个内角分别为60°,120 °,60°,120 °.
(2)∵AC=10 ，∴AO=5,又∠AOB=90 °,
在 Rt△AOB中，AB=10 ，AO=5 ，由勾股定理BO===5BD=10cm.
A
B
C
D
O
4.如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积.
A　
B　
C　
D　
O　
解：∵花坛ABCD是菱形，
（m2）.

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