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第一章 特殊平行四边形
1.4 正方形的性质与判定
课时1 正方形的性质
北师大版九年级数学上册 · 新授课
O
A
B
C
D
学习目标
学习目标
1. 理解正方形与矩形、菱形之间的关系；
2. 掌握正方形的边、角、对角线性质；
3. 能证明正方形四个角都是直角、四条边都相等；
4. 会运用正方形性质解决线段相等、垂直和简单证明问题.
本课重点：正方形同时具有矩形和菱形的所有性质.
复习导入
思考：正方形是菱形吗？正方形是矩形吗？
O
A
B
C
D
正方形既是矩形，又是菱形.
因此，正方形具有矩形和菱形的所有性质.
新知探究
一、从矩形得到什么
因为正方形是矩形，所以正方形具有矩形的性质：
1. 正方形的四个角都是直角；
2. 正方形的对角线相等且互相平分.
A
B
C
D
几何语言：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD.
新知探究
二、从菱形得到什么
因为正方形是菱形，所以正方形具有菱形的性质：
1. 正方形的四条边都相等；
2. 正方形的对角线互相垂直；
3. 每条对角线平分一组对角.
O
A
B
C
D
几何语言：AB=BC=CD=DA，AC⊥BD.
归纳总结
定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
理由：正方形是矩形，所以四个角都是直角；正方形是菱形，所以四条边都相等.
定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
理由：正方形是矩形，所以对角线相等且互相平分；正方形是菱形，所以对角线互相垂直.
补充：正方形的每条对角线平分一组对角.
巩固训练
1.下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A. 四个角都是直角 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
解析：矩形一定有四个直角、对角线相等且互相平分，但对角线不一定互相垂直；正方形作为菱形具有对角线互相垂直的性质.
答案：C.
新知探究
三、对角线中的直角三角形
连接正方形 ABCD 的对角线 AC.
A
B
C
D
在 Rt△ABC 中，AB=BC.
所以正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.
常用结论：若边长为 a，则对角线长为 .
巩固训练
2.如图，正方形 ABCD 的边长为 6，求对角线 AC 的长.
A
B
C
D
6
6
解析：在 Rt△ABC 中，AB=BC=6,
AC =AB +BC =6 +6 =72,
AC=,
答案：.
例题讲解
如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE=CF.
BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
思路：先证明 △BCE≌△DCF，得到 BE=DF，再延长 BE 与 DF 相交证明垂直.
A
B
C
D
E
F
新知探究
延长 BE，交 DF 于点 M.
由 △BCE≌△DCF，得 ∠CBE=∠CDF.
又 ∵ ∠DCF=90°，
∴ ∠CDF+∠F=90°.
∴ ∠CBE+∠F=90°.
∴ ∠BMF=90°，即 BE⊥DF.
A
B
C
D
E
F
M
结论：BE=DF，且 BE⊥DF.
新知探究
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ BC=DC，∠BCE=90°.
又 ∵ F 在 BC 的延长线上，∴ ∠DCF=90°.
∴ ∠BCE=∠DCF.
又 ∵ CE=CF，
∴ △BCE≌△DCF.
∴ BE=DF.
A
B
C
D
E
F
巩固训练
3.如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF、DF。请找出图中的一对全等三角形，并证明.
O
A
B
C
D
F
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB=AD，∠BAF=∠FAD.
又 ∵ AF=AF，
∴ △ABF≌△ADF.
巩固训练
4.如图，E、F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，且 BE=DF.求证：四边形 AECF 是菱形.
O
A
B
C
D
E
F
证明：正方形的对角线互相垂直平分，设交点为 O.
由 BE=DF 可得 OE=OF，且 AC⊥BD.
∴ 四边形 AECF 的对角线 AC、EF 互相垂直平分.
∴ 四边形 AECF 是菱形.
归纳总结
方法梳理：正方形性质的用法.
1. 证明线段相等：常用四边相等、对角线相等或全等三角形；
2. 证明垂直：常用正方形四角直角、对角线互相垂直；
3. 证明角相等：常用每条对角线平分一组对角；
4. 计算长度：常连接对角线，构造等腰直角三角形.
易错提醒：题目图形中给出的点和线段必须与性质对应，不能凭图形感觉直接下结论.
课堂总结
正方形的性质：
1. 正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
2. 正方形的对角线相等、互相垂直且互相平分；
3. 正方形的每条对角线平分一组对角.
本质理解：正方形 = 矩形性质 + 菱形性质.
当堂检测
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 正方形只有矩形的性质
B. 正方形只有菱形的性质
C. 正方形的对角线相等且互相垂直平分
D. 正方形的对角线不一定平分角
O
A
B
C
D
解析：正方形既是矩形又是菱形，所以对角线相等、互相垂直且互相平分.
答案：C.
当堂检测
2. 正方形的四条边______，四个角都是______。
3. 正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，则 AC______BD，AC______BD。
4. 若正方形边长为 5，则对角线长为______。
O
A
B
C
D
解析：利用正方形的边、角、对角线性质；第4题由勾股定理得.
答案：相等；直角；=，⊥；.
当堂检测
5. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.求证：△AOB 是等腰直角三角形.
O
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC=BD，且 OA=1/2AC，OB=1/2BD.
∴ OA=OB.
又 ∵ 正方形的对角线互相垂直，∴ OA⊥OB.
∴ △AOB 是等腰直角三角形.

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