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八年级数学（人教版）下学期期末压轴题训练
第二十二章 函数
一、选择题
已知函数（，为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）
A． B． C． D．
如图1，在菱形中，，点为边的中点，动点从点出发，沿边→方向匀速运动，运动到点时停止，设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
如图1，在中，动点P从点B出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为，则中边上的高为（ ）

A． B． C． D．
如图，在等腰中，，点是内部一点，点沿折线运动，最终停在点，运动速度为个单位每秒，运动时间记为，连接、，与的面积比记为，关于的函数图象如右图所示，则图中的值为（ ）
A． B． C． D．
如图，在矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向运动，动点同时从点出发，以的速度沿→→→的方向运动，两动点到达点停止运动．设点运动的时间为（），的面积为（），则下列关于的函数图象正确的是（ ）
A．B．C． D．
如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为（）
A． B． C． D．
如图1，点P从边长为6的正方形的顶点A出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到边的中点E．点P的运动路程为x，设，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则m的值为（ ）
A．3 B．6
C． D．
如图①，在中， ，E、F分别是边，上的动点，且， D是的中点，连接，，，设，的面积为y，图②是y关于x的函数图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．是等腰直角三角形 B．
C．的周长可以等于12 D．四边形的面积为4
如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图像，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．当时，的面积为24 D．平行四边形的周长为40
如图1，已知等边，点P从点A出发沿折线以的速度匀速移动，到达点C时停止，而点Q在边上随点P移动，且始终保持．设运动的时间为t，，y关于t的大致函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ）
A．的边长为4 B．当时，
C．若，则 D．当时，y随t的增大而减小
二、填空题
定义，即当时，；当时，，则_____．
如图1，在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为厘米秒，秒时点的速度变为厘米秒，秒后点以厘米秒速度匀速运动．如图是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时秒；④当的值为时，点运动的路程为厘米．其中正确结论的个数是____．
如图1，在同一平面内放置的和矩形，与在一条直线上，点在的延长线上，将以1个单位／秒的速度沿向点运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒，设矩形与重合部分的面积为，与的函数图象如图2所示，它是由线段，和曲线三部分组成．根据图中信息可知，的长为___________，的值为___________．
如图①，在中，，为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图②所示，则的长为___________．
如图正方形，点为边上一个动点，连接，作于点，连接，以长为横坐标，以长为纵坐标，绘制图象如图所示，则的最小值为______．
如图，点为菱形边上一点，将菱形沿直线翻折，点的对应点落在的延长线上．动点从点出发，在射线上以每秒个单位长度运动．设点运动的时间为，的面积为，图为关于的函数图象，则菱形面积为______．
三、解答题
综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．将矩形对折，使点落在边上的点处，得到折痕，点和点分别在线段和线段上，折痕与对角线交于点．打开铺平，得到图．
若点与点重合，，，求折痕的长度；
若矩形变成边长为的正方形，其他条件不变，如图．
当点为的中点时，线段_______；
若，，请求出关于的函数，并求出自变量的取值范围．
如图，在中，，，，、是边上的两个动点．其中点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒．、两点同时出发，当其中一点到达终点则运动停止，设它们的运动时间为秒．
当点在边上运动，且使是等腰三角形，求的值；
当点在边上运动，求的面积与时间的关系式；
当点在边上运动时，是否存在某一时刻，点恰好在线段的垂直平分线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
当点在边上运动时，是否存在某一时刻，平分，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
如图1，在长方形中，，，点P从点A出发，沿路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为，点Q的速度为，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为，点Q的速度变为．图2是点P出发x秒后，的面积与的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后的面积与的函数关系图象．
动点P在线段_____上运动时，保持不变；动点Q到达点A时，x的值为_____；
求a，b的值；
若与的和为，请求出满足条件的x的取值范围；
当P、Q两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围．
综合实践：
如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
数学小组的同学对题目进行了以下改编，请解答．
改编1：如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．请用等式直接写出线段，，的数量关系．______________
改编2：在正方形中，点E在对角线上运动（不与B、D重合），点F在直线上，，．若，设，的面积为S．求S关于x的函数关系式．
阅读与理解
定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点，的“和谐点”．例如，，当点满足，，则称点是点，的“和谐点”．
直接写出点，的“和谐点”的坐标_____________；
已知点是点，的“和谐点”，当点向左平移个单位得点，求点的坐标；
点，点，点是点，的“和谐点”．
求与之间的函数关系式；若直线交轴于点，当时，求点的坐标．
如图，在正方形中，为的中点．以为原点，、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．正方形的边长是4．点从点出发，沿向点运动，同时点从点出发．沿向点运动，点的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．当点运动到点时，、两点同时停止运动，设点运动的时间为秒．的面积为．
求关于的函数关系式，以及的取值范围；
在平面直角坐标系中画出的图象，并写出一条函数的性质；
已知的图象如图所示，请直接写出时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
综合应用
近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要万元．
①该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
②若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案．
现有新能源甲、乙两辆新能源汽车，甲新能源车从A地去B地，乙新能源车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙新能源车离A点的距离分别为、（）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
①A、B两地之间的路程为 ；
②经 小时，甲、乙两新能源车相遇，此时距B地的距离为 ；
③甲出发 小时后，甲、乙两新能源车相距．
参考答案
1．B
解：令，则，
图象与轴的交点在轴上方，
，
解得，
令，得，
解得，
图象与轴交点在轴左侧，
，
解得，
，，
，且无法确定的符号．
2．D
解：连接与交于点，连接，如图：
∵四边形是菱形，，
∴，，，，，
∴是等边三角形，
∴；
∵，，
∴，
∴，
当点、、三点共线时，最小，最小值为的长，
即点在上运动时，分为三个阶段：
第一阶段，随的增大而减小，
第二阶段：点与点、三点共线，的值最小，
第三阶段：随的增大而增大．
由图2可知，点在上运动时，的最小值为，即；
∵，点为边的中点，
∴，，
设，则，
在中，，
即，
解得（负值舍去），
∴，
∴菱形的面积．
3．D
解：过点A作于点D，过点C作于点E，
当与重合时，长度最小，对应函数图象的最低点，
∴，，
∴在中，由勾股定理得：．
当运动到点时，由图可知， ，
∴在中，由勾股定理得：，
∴．
∵．
∴ ，
解得 ．
∴中边上的高为．
4．C
解：由函数图像可知：当时，开始变化，说明此时点P到达点D，
，
设点P到的距离为，到的距离为，
、，
，
点P在上运动时，恒成立，
，
，
过D作于点E，于点F，
，
，
四边形是矩形，
、，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
、，
，
在中，由勾股定理得：，
由函数图象得：点P走完的时间为，运动速度为个单位每秒，
．
5．C
解：动点从点出发，以的速度沿向运动，
点运动停止运动，
又，，
当运动时，点运动到点，点运动到点，
四边形是矩形，
，，，
，
，
当时，点停止运动，点在上运动，
，，
当时，点停止运动，点在上运动，
当时，如下图所示，
其中，，
四边形是矩形，
，，，
，
当时，函数图象是抛物线上的一段；
，
当时，点停止运动，点在上运动，
如下图所示，
，
当时，函数图象是直线上的一段；
当时，点停止运动，点在上运动，
如下图所示，
，
，
当时，函数图象是直线上的一段，
综上所述，，
关于的函数图象如下图所示：
6．C
解：∵的底边长为，边上的高为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值．
7．C
解：如图，连接交于点，连接，
∵正方形边长为，
∴，，
∵为的中点，
∴，，
结合图2可得：时，，，，
∴，
∴在的垂直平分线上，即在线段上，
∵点P从边长为6的正方形的顶点A出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到边的中点E．
∴当重合时，满足，
∴，
∴．
8．C
解：由题意，，为等腰直角三角形，，，
，
，
，
，
，
，
该二次函数图象的对称轴为直线，
由图②可知，对称轴为，
，
解得：，
，
当时，，
故选项B正确．
连接，
是的中点，，，
，，，，
在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
故选项正确．
，
，
，
，
四边形的面积为，
故选项正确．
由知，
作于点，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
当时，，，
当或时，，，
，
为等腰直角三角形，，
，
的周长，
周长的最小值为，
周长的最大值为，
，
的周长不可能等于12，
故选项不正确．
9．C
解：当点P运动到点B处时，，即，
当点P运动到点D处时，，
，故A结论错误，不符合题意；
当点P运动到点D处时，，即，故B结论错误，不符合题意；
当时，点P在中点处，
如图，作，
，，
∴，
∴，
∴，
点P在中点处，
∴，故C结论正确，符合题意；
的周长为，故D结论错误，不符合题意；
10．D
解：当点在上运动时，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴
∴，即，
∴当时，即为的边长，
∵从图象上可知：当时，，
∴的边长为4，故A正确；
∵当时，点运动了
∴
又∵的边长为4，
∴
∴此时点为中点，如图所示：
又∵是等边三角形，
∴，故B正确；
∵点P从点A出发沿折线以的速度匀速移动，
∴当时，点P都在边上，
∴，
∴，故C正确；
∵当时，点不断靠近点，y随t的增大而减小；
当时，点与点重合，此时y减小为；
当时，即点过了点后，y会从开始增大，
∴D错误．
11．2027
解：∵，
∴，，
原式
．
12．个
解：①在长方形中，，当在上运动时，的面积，
由图，时，
代入得：，
解得，
初始速度为，因此秒，
秒时，同理得，刚好到达点，
从到，共秒，走了，
因此速度，结论①正确；
②总路程为，前秒走了，
剩余路程，速度为，
剩余时间秒，
总时间秒，结论②错误；
③∵长，速度为，
∴用时秒，结论③正确；
④前秒路程：，秒共秒，
路程：，
总路程，不是；结论④错误；
正确的结论是①、③，共个．
13．5 7
解：当时，点G与点C重合，此时移动距离为，
在矩形中；
当时，如图所示，
此时移动距离为，
当时，点刚好到达点B，如图所示，
此时移动距离为，矩形与重合部分是梯形，其面积为，
∴，即，
解得：，
∴，
当时，如图所示，此时移动距离为，
重合部分是五边形，其面积为梯形的面积减去的面积，
∵，，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴重合部分的面积为：
14．10
解：由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12．
点是的中点，
当点运动到点时，，
，
，
．
15．/
解：由图可知，当时，，
如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
如图，取的中点，连接、，
在中，点为斜边的中点，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值．
16．
解：由图2，得，，
∴，
由翻折可知，，，
在中，由勾股定理，得，
∵四边形为菱形，
∴，
∴菱形的面积为：．
17．（1）解：当点与点重合，此时与重合，
如图，连接，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠性质可得，，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴折痕的长为；
（2）解：如图，过作于点，作于点，连接，则，
由折叠性质可知，，
∵四边形是正方形，
∴，平分，
∴，
∴四边形是矩形，
∵平分，，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
当点为的中点时，
∴，
∴，
∴；
如图，过作于点，作于点，连接，则，
由折叠性质可知，，
同得是等腰直角三角形，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴关于的函数关系式为．
18．（1）解：∵，，，
∴，，
∵点、的速度都为每秒，
∴，，，
∵是等腰三角形，，
∴，即，
解得：．
（2）解：如图，当点在边上运动时，
∵，，
∴．
（3）解：如图所示，设是垂直平分线，
∵点、的速度都为每秒，
∴点走完全程的时间为，点走完全程的时间为，
∵其中一点到达终点则运动停止，
∴，
∵，，
∴，，
∵是垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，符合题意，
∴存在某一时刻，点恰好在线段的垂直平分线上，．
（4）解：如图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
解得：，
∴，
∴．符合题意，
∴存在某一时刻，平分，．
19．（1）解：长方形中，，，
，
当动点P在线段上运动时，，保持不变；
由图3知，动点Q到达点A时，x的值为28；
（2）解：由图2得，点P到达点B所用时间为：，
，
解得；
由图3得，点Q从点C到点A所用时间为： ，
，
解得；
（3）解：由题意知，当时，点P到达点B，时，点P到达点C，时，点P到达点D，
当时，点Q到达点C，时，点Q到达点B，时，点Q到达点A，
结合图2，3，可得：
当时，，，
令，得：，
解得；
当时，，，
满足，
综上可得，x的取值范围为或；
（4）解：设动点P，Q走过的路程为，，
当时，
，，
；
当时，
，
，
当时，，
解得（舍去），
当时，，
解得，
综上可得，当或时，P、Q两个动点所走过的路程比为．
20．（1）解：，
理由：∵，，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：，
理由：如图，过点E作交于点M，过点E作交于点N，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，点E在正方形的对角线上，
∴四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
即．
（3）解：改编1：，
理由：如图，过点A作交于点H，过点F作交的延长线于点G，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
改编2：如图，过点A作交于点P，
分情况讨论：
①当点E靠近点B时，过点F作交于点Q，
∵，，是等腰直角三角形，
∴，，，
易证得：，
∴，
∴；
②当点E靠近点D时，过点F作交的延长线于点Q，
易证得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，S与x的函数关系式为：．
21．（1）解：设和谐点，，，
，，
点的坐标为；
（2）解：设点，
是点，的“和谐点”，
，，
，
将点向左平移个单位，横坐标减，纵坐标不变，得的坐标为，即；
（3）解：点是点，的“和谐点”，
，，
由整理得，
将代入的表达式得，
即与之间的函数关系式为；
直线交轴于点，
点在轴，
点在轴上，，
轴，
点的横坐标与点的横坐标相同，即，
将代入得，
解得，
将代入得横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
22．(1)（1）解：∵E为的中点，
∴
由题意得：，
分两种情况：
①时，如图，
由题意得：，，
∴，
；
②时，如图
由题意得：，，
∴，，，
，
∴
，
∴S关于x的函数关系式为
；
(2)解：图象如下：
函数性质：当或时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小；
(3)或．
23．（1）解：①设该小区新建一个地上充电桩需x万元，一个地下充电桩需y万元，
根据题意列二元一次方程组得：，
解得，
答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元；
②设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，
根据题意列一元一次不等式组得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为18，19，20，
∴共有3种建造方案，
方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；
方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；
方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩
（2）解：①根据图象可知，甲从A到B总距离为，
因此A、B两地之间的路程为；
②甲速度：，乙速度：，
设t小时相遇，两人路程和为总路程：，
解得：，
相遇时甲走了，距B地距离为，
故经2小时，甲、乙两新能源车相遇，此时距B地的距离为；
③设甲出发后甲、乙两人相距．
分三种情况：
相遇前，，
解得：；
相遇后且乙到达终点前，，
解得：，，不合题意，舍去；
乙到达终点后，，
解得：；
综上可知，甲出发或后甲、乙两人相距．

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