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第一章 特殊平行四边形
1 认识特殊的平行四边形
北师大版九年级数学上册 · 新授课
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
学习目标
1. 从边和角的特殊性认识菱形、矩形、正方形；
2. 能说出三种特殊平行四边形的定义，并用几何语言表示；
3. 能画出平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系图；
4. 初步感受“一般”与“特殊”的关系，发展分类讨论意识.
本课重点：菱形、矩形、正方形的定义及其关系.
复习导入
平行四边形已有知识
平行四边形的性质：
A
B
C
D
1. 两组对边分别平行且相等。
2. 两组对角分别相等，邻角互补。
3. 对角线互相平分。
思考：如果边或角再“特殊”一些，会得到哪些特殊成员？
观察下面图案，它们都含有平行四边形，你能发现哪些“特殊”之处？
地砖
窗格
装饰
发现：可以从“边是否相等”“角是否为直角”来分类。
新知探究
从边看菱形
新知探究
从边看菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
注意：定义中必须先是“平行四边形”。
几何语言：
在 ABCD 中，若 AB=AD，
则 ABCD 是菱形.
巩固训练
认识菱形
1.判断：只要一个四边形有一组邻边相等，它就是菱形.
解析：不正确.菱形的定义是“有一组邻边相等的平行四边形”，不能把“平行四边形”省略.
答案：错误.
新知探究
从角看矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
E
F
G
H
几何语言：
在 EFGH 中，若 ∠E=90°，
则 EFGH 是矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
巩固训练
认识矩形
2.如图，在 ABCD 中，∠A=90°。判断 ABCD 是什么特殊平行四边形。
A
B
C
D
解析：四边形 ABCD 已经是平行四边形，又有一个角是直角，符合矩形定义。
答案： ABCD 是矩形。
新知探究
边和角都特殊的正方形
定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
P
Q
R
S
几何语言：
在 PQRS 中，若 PQ=QR，且 ∠P=90°，
则 PQRS 是正方形。
正方形既特殊在“边”，也特殊在“角”。
巩固训练
认识正方形
3.在一个平行四边形中，已知一组邻边相等，并且有一个角是直角。这个四边形是什么图形？
解析：一组邻边相等使它具有菱形特征；一个角是直角使它具有矩形特征。两者同时满足，就是正方形。
答案：正方形。
新知探究
关系图
用“一般”与“特殊”的眼光整理上述四种图形的关系.
平行四边形
菱形
矩形
正方形
正方形既可以看作特殊的菱形，也可以看作特殊的矩形。
巩固训练
巩固训练四：补全关系
4.请用文字说明平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系。
解析：菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形；正方形既是特殊的菱形，也是特殊的矩形。
答案：平行四边形包含菱形、矩形、正方形；菱形与矩形的交集是正方形。
新知探究
对称性初探
折一折、想一想：
1. 菱形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
2. 矩形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
3. 正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
观察结论：菱形、矩形都有两条对称轴，正方形有四条对称轴。
巩固训练
对称性
5.填空：菱形、矩形、正方形都是轴对称图形。其中菱形有______条对称轴，矩形有______条对称轴，正方形有______条对称轴。
解析：菱形的对称轴是两条对角线所在直线；矩形的对称轴是两组对边中点连线所在直线；正方形同时具有这两类对称轴。
答案：2，2，4。
例题讲解
分类判断
例：在平行四边形 ABCD 中，根据下列条件判断它是什么特殊平行四边形。
（1）AB=AD；
（2）∠A=90°；
（3）AB=AD，且 ∠A=90°。
解析：（1）菱形；（2）矩形；（3）正方形。
巩固训练
分类判断
6.在 ABCD 中，若 AB=BC，且 ∠B=90°，判断 ABCD 是什么图形。
解析：AB=BC 表示一组邻边相等，∠B=90° 表示有一个角是直角。平行四边形同时满足这两个条件。
答案： ABCD 是正方形。
巩固训练
教材应用：菱形中的角度
7.如图，在菱形 ABCD 中，AB=AD，∠ABD=30°，求 ∠C 的度数。
A
B
C
D
解析：AB=AD，所以 △ABD 是等腰三角形，∠ADB=∠ABD=30°。
∠BAD=180°-30°-30°=120°。菱形是平行四边形，对角相等，所以 ∠C=120°。
答案：120°。
归纳总结
本节课认识了三类特殊平行四边形：
1. 菱形：有一组邻边相等的平行四边形。
2. 矩形：有一个角是直角的平行四边形。
3. 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形。
核心方法：从“边”和“角”的特殊条件进行分类。
当堂检测
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的矩形不一定是正方形
D. 正方形不是平行四边形
解析：A 缺少“平行四边形”条件；C 中矩形邻边相等就是正方形；D 错。
答案：B。
当堂检测
2. 有一组邻边相等的平行四边形叫做______。
3. 有一个角是直角的平行四边形叫做______。
4. 正方形既可以看作特殊的______，也可以看作特殊的______。
解析：直接根据定义和关系图填写。
答案：菱形；矩形；菱形，矩形。
当堂检测
5. 如图，在 ABCD 中，AB=AD，∠A=90°。判断 ABCD 是什么特殊平行四边形，并说明理由。
A
B
C
D
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB=AD，
∴ ABCD 是菱形。
又 ∵ ∠A=90°，∴ ABCD 是矩形。
∴ ABCD 同时是菱形和矩形，即正方形。

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