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第一章 特殊平行四边形
1.3 矩形的性质与判定
课时2 矩形的判定
北师大版九年级数学上册 · 新授课
O
A
B
C
D
学习目标
1. 理解并掌握矩形的两个常用判定定理；
2. 能证明“有三个角是直角的四边形是矩形”；
3. 能证明并运用“对角线相等的平行四边形是矩形”；
4. 会结合等腰三角形、勾股定理和面积计算解决矩形判定问题.
本课重点：根据角或对角线条件判定矩形.
复习导入
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
O
A
B
C
D
矩形的性质：四个角都是直角；对角线相等且互相平分.
思考：把这些性质反过来，能得到判定矩形的方法吗？
新知探究
一：三个直角判定矩形.
观察四边形 ABCD，若其中有三个角是直角，则该四边形是什么四边形？
A
B
C
D
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
理由方向：先说明它是平行四边形，再用定义判定为矩形.
新知探究
已知：四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°。
求证：四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
证明：∵ ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又 ∵ ∠A=90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.
巩固训练
1.四边形 ABCD 中，∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°.
判断四边形 ABCD 的形状.
解析：三个角是直角的四边形是矩形。这里已经给出三个直角，可直接应用判定定理1.
答案：四边形 ABCD 是矩形.
新知探究
二、对角线相等
从性质“矩形的对角线相等”反过来思考：
如果一个平行四边形的对角线相等，它一定是矩形吗？
O
A
B
C
D
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
注意：这里的前提必须是平行四边形.
新知探究
已知： ABCD 中，对角线 AC、BD 相等。
求证： ABCD 是矩形。
O
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB=DC，AB∥DC。
又 ∵ BC=CB，AC=DB，
∴ △ABC≌△DCB。
∴ ∠ABC=∠DCB。
∵ AB∥DC，∴ ∠ABC+∠DCB=180°，
∴ ∠ABC=∠DCB=90°， ABCD 是矩形。
巩固训练
2.判断：对角线相等的四边形一定是矩形.
解析：错误.判定定理要求“四边形是平行四边形”这个前提；只有对角线相等，不能保证它是矩形.
答案：错误.应改为“对角线相等的平行四边形是矩形”.
例题讲解
例2.如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB=4，求 ABCD 的面积。
O
A
B
C
D
思路：先由 OA=OB 推出 AC=BD，判定 ABCD 是矩形，再计算面积.
新知探究
O
A
B
C
D
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD.
又 ∵ △ABO 是等边三角形，AB=4，∴ OA=OB=AB=4.
∴ AC=2OA=8，BD=2OB=8，AC=BD.
∴ ABCD 是矩形，∴ ∠ABC=90°.
在 Rt△ABC 中，AC=8，AB=4，
BC=.
∴ =AB·BC=4×=,
答： ABCD 的面积为
巩固训练
3.已知：如图，在 平行四边形ABCD 中，M 是 AD 的中点，且 MB=MC.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
M
N
证明：取 BC 的中点 N，连接 MN.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，M、N 分别为 AD、
BC 的中点，∴ MN∥AB.
又 ∵ MB=MC，N 是 BC 的中点，∴ MN⊥BC.
∴ AB⊥BC，即 ∠ABC=90°，平行四边形ABCD 是矩形.
巩固训练
4.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，OA=OB.求证：平行四边形ABCD 是矩形.
O
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC，
OB=OD.又 ∵ OA=OB，∴ AC=2OA，BD=2OB，
AC=BD.
∴ 平行四边形ABCD 是矩形.
归纳总结
方法梳理：看条件选判定
1. 已知一个四边形有三个直角 → 直接判定为矩形；
2. 已知平行四边形有一个直角 → 用定义判定为矩形；
3. 已知平行四边形对角线相等 → 用判定定理2；
4. 若只给出 OA=OB，可先结合平行四边形对角线互相平分推出 AC=BD.
易错提醒：不能把“对角线相等的四边形”直接判定为矩形.
巩固训练
5.下列说法是否正确？若不正确，请说明原因.
（1）有两个角是直角的四边形一定是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形一定是矩形.
解析：（1）错误，两个直角不足以保证四边形是平行四边形或有三个直角；（2）正确，符合判定定理2.
答案：（1）错误；（2）正确.
课堂总结
矩形的判定方法：
1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2. 有三个角是直角的四边形是矩形；
3. 对角线相等的平行四边形是矩形.
证明策略：先判断题目给的是角条件还是对角线条件，再补足“平行四边形”或“直角”这一步.
当堂检测
1. 下列条件中，能判定平行四边形ABCD 是矩形的是（ ）
A. AB=BC B. AC⊥BD
C. AC=BD D. ∠A=∠C
O
A
B
C
D
解析：对角线相等的平行四边形是矩形.
答案：C.
当堂检测
2. 有三个角是______的四边形是矩形.
3. 对角线______的平行四边形是矩形.
4. 平行四边形ABCD 中，对角线交于点 O，若 OA=OB，则 AC______BD，可判定 平行四边形ABCD 是______.
O
A
B
C
D
解析：第4题中，平行四边形对角线互相平分，所以 AC=2OA，BD=2OB。
答案：直角；相等；=，矩形.
当堂检测
5. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，OA=5，OB=5.求证：平行四边形ABCD 是矩形.
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A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
又 ∵ OA=OB=5，
∴ AC=2OA=10，BD=2OB=10，AC=BD.
∴平行四边形ABCD 是矩形.

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